--- title: "O formalismo da mecânica quântica" book: "Física universitária — 3.º ano" subject: physics language: pt chapter: 8 exercises: 12 source: https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/8-o-formalismo-da-mecanica-quantica --- # Capítulo 8 — O formalismo da mecânica quântica Pegue três filtros polarizadores. Dois deles, cruzados a $90^\circ$, bloqueiam a luz por completo; deslize o terceiro entre eles a $45^\circ$ e a luz *passa* — acrescentar um obstáculo abre o caminho. Nenhuma imagem de filtros como peneiras sobrevive a esse experimento; o que sobrevive é a álgebra linear: a polarização de um fóton é um *vetor*, cada filtro a mede ao longo de um eixo e a projeta, e as probabilidades são componentes ao quadrado. Este capítulo instala essa álgebra como o verdadeiro fundamento da mecânica quântica. As funções de onda dos capítulos anteriores eram uma vestimenta concreta de um corpo mais abstrato: os estados são vetores num [espaço de Hilbert](#def-b3-quantum-formalism-state), os observáveis são [operadores hermitianos](#def-b3-quantum-formalism-observable), os valores medidos são [autovalores](#def-b3-quantum-formalism-observable), as probabilidades são produtos escalares ao quadrado, e a evolução é gerada pela [hamiltoniana](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/2-mecanica-hamiltoniana#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian). Cinco postulados, todos já em ação em tudo o que calculamos — e, uma vez enunciados com clareza, poderosos o bastante para tratar sistemas que nenhuma onda sobre uma reta descreve: a polarização do fóton, o spin do elétron e os neutrinos cuja identidade oscila ao atravessar a Terra. ## 8.1 Os estados são vetores **Definição 8.1 (Espaço de estados, kets e produtos escalares).** Os estados de um sistema quântico formam um espaço vetorial complexo com produto interno — um *espaço de Hilbert* $\mathcal H$ (a matemática é desenvolvida no volume de matemática do terceiro ano). Um estado é um vetor, escrito como um *ket* $\ket\psi$, normalizado: $\braket\psi\psi = 1$. O produto interno de dois estados é o número complexo $\braket\varphi\psi$, antilinear na primeira posição, com $\braket\varphi\psi = \braket\psi\varphi^*$. Numa base ortonormal $\{\ket{e_i}\}$, $$ \ket\psi = \sum_i c_i\ket{e_i} , \qquad c_i = \braket{e_i}\psi , \qquad \sum_i|c_i|^2 = 1 . $$ A função de onda dos capítulos anteriores é a família das componentes de $\ket\psi$ ao longo da posição: $\psi(x) = \braket{x}{\psi}$; nada se perde, e sistemas de espaço de estados *finito* — inimagináveis como ondas — tornam-se descritíveis. **Exemplo 8.2 (A polarização do fóton: um mundo bidimensional).** Um fóton que segue pelo eixo $z$ carrega um estado de polarização num [espaço de Hilbert](#def-b3-quantum-formalism-state) *bidimensional*, com base $\ket H$ (horizontal) e $\ket V$ (vertical). A luz polarizada num ângulo $\theta$ é a superposição $$ \ket\theta = \cos\theta\,\ket H + \sin\theta\,\ket V , $$ e a polarização circular é a combinação complexa $(\ket H \pm \iu\ket V)/\sqrt2$: o fato de os coeficientes serem complexos não é enfeite, é física. Todo sistema quântico de dois níveis — o spin, a molécula de amônia, um qubit supercondutor — é este mesmo espaço vetorial em outra roupagem. ![Um estado de polarização como vetor: suas componentes ao quadrado na base de um analisador são as probabilidades dos resultados — a geometria tornada probabilidade.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-quantum-formalism/fig-588464873e4c.svg) *Um estado de polarização como vetor: suas componentes ao quadrado na base de um analisador são as probabilidades dos resultados — a geometria tornada probabilidade.* ## 8.2 Os observáveis são operadores **Definição 8.3 (Observáveis).** Um *observável* é um operador linear $\hat A$ sobre $\mathcal H$ que é *hermitiano*: $\braket{\varphi}{\hat A\psi} = \braket{\hat A\varphi}{\psi}$ para todos os estados (em linguagem matricial, $A = A^{*\top}$). Seus *autovetores* e *autovalores*, $\hat A\ket{a} = a\ket{a}$, carregam a física: os $a$ são os valores que se podem medir. Casos familiares: a posição ($\hat x$: multiplicação por $x$), o momento ($\hat p = -\iu\hbar\,\dd/\dd x$), a energia ($\hat H = \hat p^2/2m + V(\hat x)$) — e, em duas dimensões, qualquer matriz hermitiana $2\times2$. **Teorema 8.4 (Por que hermitiano).** Um [operador hermitiano](#def-b3-quantum-formalism-observable) tem [autovalores](#def-b3-quantum-formalism-observable) reais, e autovetores de [autovalores](#def-b3-quantum-formalism-observable) distintos são ortogonais; nos espaços deste livro, seus autovetores formam uma base ortonormal de $\mathcal H$ (o *teorema espectral*, demonstrado em dimensão finita no volume de matemática do segundo ano; para os operadores ilimitados $\hat x$, $\hat p$ e $\hat H$, o enunciado completo pertence à teoria espectral do terceiro ano e é admitido). Os valores medidos têm de ser reais, e resultados distinguíveis têm de ser ortogonais: a hermiticidade é exatamente a condição para que um operador possa representar uma medida. **Demonstração parcial.** $a\braket aa = \braket{a}{\hat Aa} = \braket{\hat Aa}{a} = a^*\braket aa$: $a$ é real. Para $\hat A\ket a = a\ket a$ e $\hat A\ket b = b\ket b$: $a\braket ba = \braket{b}{\hat Aa} = \braket{\hat Ab}{a} = b\braket ba$, logo $(a - b)\braket ba = 0$. ∎ **Exemplo 8.5 (Um observável de dois níveis).** No espaço de polarização, na base $(\ket H, \ket V)$, considere $$ \hat A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix} : $$ hermitiana; [autovalores](#def-b3-quantum-formalism-observable) $\pm1$; autovetores $(\ket H \pm \ket V)/\sqrt2$ — as polarizações a $\pm45^\circ$. Medir $\hat A$ *significa* perguntar “diagonal ou antidiagonal?”, e a base de autovetores é o par de respostas dessas perguntas. Cada polarizador a $45^\circ$ do experimento de abertura é esta matriz feita de vidro. ## 8.3 Os postulados **Teorema 8.6 (As regras da mecânica quântica).** *(P1)* O estado de um sistema é um [ket](#def-b3-quantum-formalism-state) normalizado $\ket\psi$ em seu [espaço de Hilbert](#def-b3-quantum-formalism-state). *(P2)* Toda grandeza mensurável é um [operador hermitiano](#def-b3-quantum-formalism-observable) $\hat A$. *(P3)* Os únicos resultados possíveis de medir $\hat A$ são seus [autovalores](#def-b3-quantum-formalism-observable). *(P4)* Num estado $\ket\psi$, o resultado $a$ ocorre com probabilidade $\mathcal P(a) = |\braket a\psi|^2$ (a regra de Born; para um [autovalor](#def-b3-quantum-formalism-observable) degenerado, some as componentes ao quadrado sobre o autoespaço dele). A média de muitas repetições é $\langle\hat A\rangle = \bra\psi\hat A\ket\psi$. *(P5)* Imediatamente após uma medida que deu $a$, o estado é a projeção (normalizada) de $\ket\psi$ sobre o autoespaço de $a$ — o *colapso*: a medida é uma interação que deixa o sistema no estado correspondente à sua própria resposta. *(P6)* Entre medidas, o estado evolui de modo unitário segundo a equação de Schrödinger $\iu\hbar\,\dfrac{\dd}{\dd t}\ket{\psi(t)} = \hat H\ket{\psi(t)}$. **Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎ **Exemplo 8.7 (Os três polarizadores, calculados).** Luz vertical encontra um analisador cruzado a $90^\circ$: $|\braket HV|^2 = 0$ — extinção. Insira um polarizador a $45^\circ$: o estado $\ket V$ o atravessa com probabilidade $|\braket{45^\circ}{V}|^2 = \tfrac12$ e *colapsa* em $\ket{45^\circ}$ (P5); esse estado atravessa então o analisador horizontal com probabilidade $|\braket{H}{45^\circ}|^2 = \tfrac12$. Transmissão líquida $\tfrac14$ em vez de zero: o filtro do meio não “abre um buraco” — ele realiza uma medida, e o colapso reprepara o fóton. Nenhuma peneira clássica faz isso; uma projeção não faz outra coisa. ![O experimento dos três polarizadores como três medidas sucessivas: projetar, colapsar, projetar de novo. Um filtro a mais aumenta a luz transmitida — impossível para peneiras, automático para projeções.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-quantum-formalism/fig-a59c2cc91a09.svg) *O experimento dos três polarizadores como três medidas sucessivas: projetar, colapsar, projetar de novo. Um filtro a mais *aumenta* a luz transmitida — impossível para peneiras, automático para projeções.* **Observação 8.8 (O que o colapso não permite).** O colapso é instantâneo no formalismo, e as correlações quânticas entre partículas distantes são reais e medidas — mas nenhuma *mensagem* viaja sobre elas: os resultados num detector, lidos isoladamente, são indistinguíveis de lançamentos de moeda, faça-se o que se fizer longe dali. A aleatoriedade quântica também é irredutível: a regra de Born dá probabilidades mesmo quando o estado é conhecido *por completo* — não há mais nada a saber. Os dois enunciados são teoremas do formalismo, testados com alta precisão; o desconforto com eles é respeitável e moveu um século de experimentos, todos os quais a mecânica quântica venceu. ## 8.4 Comutadores e incerteza **Definição 8.9 (Comutador; observáveis compatíveis).** O *comutador* de dois operadores é $[\hat A, \hat B] = \hat A\hat B - \hat B\hat A$. O exemplo fundador, a partir de $\hat p = -\iu\hbar\,\dd/\dd x$: $$ [\hat x, \hat p] = \iu\hbar . $$ Dois observáveis são *compatíveis* quando $[\hat A, \hat B] = 0$: eles admitem então uma base comum de autovetores e podem ser conhecidos simultaneamente; medir um não perturba um estado bem definido no outro. Um conjunto de observáveis que comutam e cuja base comum de autovetores é única (um *CCOC*) é o que significa “rotular completamente um estado” — os rótulos $(n_1, n_2, n_3)$ da caixa eram exatamente isso. **Teorema 8.10 (A relação de incerteza, no caso geral).** Em qualquer estado, os desvios padrão de dois observáveis obedecem a $$ \Delta A\;\Delta B \ \ge\ \tfrac12\,\big|\langle[\hat A, \hat B]\rangle\big| . $$ Para $\hat x$ e $\hat p$: $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$ — a relação de Heisenberg, agora um teorema de álgebra linear, e não uma heurística. A incompatibilidade é quantitativa: o tamanho do [comutador](#def-b3-quantum-formalism-commutator) fixa o piso da nitidez conjunta. **Demonstração parcial.** Sejam $\hat\alpha = \hat A - \langle A\rangle$ e $\hat\beta = \hat B - \langle B\rangle$. A desigualdade de Cauchy–Schwarz do volume de matemática do terceiro ano dá $\Delta A^2\Delta B^2 = \|\hat\alpha\psi\|^2\|\hat\beta\psi\|^2 \ge |\braket{\hat\alpha\psi}{\hat\beta\psi}|^2$; a parte imaginária desse produto é $\tfrac1{2\iu}\langle[\hat A, \hat B]\rangle$, e $|z|^2 \ge (\operatorname{Im}z)^2$. ∎ **Observação 8.11 (A sombra clássica).** Divida por $\iu\hbar$ e faça $\hbar \to 0$: os [comutadores](#def-b3-quantum-formalism-commutator) se tornam os [colchetes de Poisson](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/2-mecanica-hamiltoniana#def-b3-hamiltonian-mechanics-poisson) do [Capítulo 2](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/2-mecanica-hamiltoniana#ch-b3-hamiltonian-mechanics), com $\{x, p\} = 1$ ecoando $[\hat x, \hat p] = \iu\hbar$, e os colchetes de momento angular ali calculados voltarão como [comutadores](#def-b3-quantum-formalism-commutator), inalterados, no [Capítulo 10](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/10-momento-angular-quantico#ch-b3-quantum-angular-momentum). A regra de Dirac — colchete clássico vezes $\iu\hbar$ — é como o esqueleto da mecânica sobreviveu à revolução. ## 8.5 Evolução e conservação **Proposição 8.12 (Evolução das médias; grandezas conservadas).** Para um [observável](#def-b3-quantum-formalism-observable) sem dependência explícita do tempo, $$ \frac{\dd\langle\hat A\rangle}{\dd t} = \frac{\iu}{\hbar}\,\big\langle[\hat H, \hat A]\big\rangle . $$ Um [observável](#def-b3-quantum-formalism-observable) que comuta com a [hamiltoniana](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/2-mecanica-hamiltoniana#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) se conserva — suas probabilidades, e não apenas sua média, ficam congeladas; de novo as simetrias entregam leis de conservação, agora sob a forma de comutação. Os estados estacionários são os autovetores de $\hat H$, que evoluem apenas pela fase $\eu^{-\iu Et/\hbar}$; uma superposição de dois níveis bate na frequência de Bohr $(E_2 - E_1)/h$, como os poços do volume do segundo ano já mostravam. **Demonstração.** Derive $\bra\psi\hat A\ket\psi$ e insira P6 e sua conjugada: $$ \frac{\dd\langle\hat A\rangle}{\dd t} = \frac{\iu}{\hbar}\bra\psi\hat H\hat A\ket\psi - \frac{\iu}{\hbar}\bra\psi\hat A\hat H\ket\psi = \frac{\iu}{\hbar}\,\langle[\hat H, \hat A]\rangle . \qedhere $$ ∎ **Método 8.13 (Mecânica quântica matricial).** Para qualquer problema de número finito de níveis: (1) escolha uma base adequada à pergunta (os eixos do analisador, os autoestados de energia); (2) escreva os estados como vetores coluna e os observáveis como matrizes hermitianas; (3) diagonalize o que é medido — os [autovalores](#def-b3-quantum-formalism-observable) são os resultados, e as componentes ao quadrado, as probabilidades; (4) faça os autoestados de energia evoluírem pelas fases $\eu^{-\iu E_it/\hbar}$ e reexprima-os na base da medida; (5) depois de uma medida, recomece do estado projetado. Todo o [Problema 8.1](#pb-b3-quantum-formalism-1) é esta receita aplicada a um universo de dois níveis. ![Três polarizadores sobre uma bancada: cada um é uma medida, que projeta o estado da luz sobre um eixo. Cruze dois e nada passa; deslize um terceiro entre eles, em ângulo, e a luz volta — os postulados deste capítulo, executados sobre uma mesa.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-quantum-formalism/img-345c818e9390.jpg) *Três polarizadores sobre uma bancada: cada um é uma medida, que projeta o estado da luz sobre um eixo. Cruze dois e nada passa; deslize um terceiro entre eles, em ângulo, e a luz volta — os postulados deste capítulo, executados sobre uma mesa.* ## 8.6 Exercícios **Exercício 8.1 ★.** Numa base ortonormal $(\ket1, \ket2)$, sejam $\ket\psi = (2\ket1 + \iu\ket2)/\sqrt5$ e $\ket\varphi = (\ket1 - \ket2)/\sqrt2$. (a) Verifique as normalizações. (b) Calcule $\braket\varphi\psi$ e $\braket\psi\varphi$. (c) A probabilidade de encontrar $\ket\psi$ no estado $\ket\varphi$. (d) Construa o estado ortogonal a $\ket\psi$ (a menos de fase). **Solução de Exercício 8.1.** (a) $(4 + 1)/5 = 1$ e $(1 + 1)/2 = 1$. (b) $\braket\varphi\psi = (2 - \iu)/\sqrt{10}$; $\braket\psi\varphi = (2 + \iu)/\sqrt{10}$: conjugados. (c) $|(2 - \iu)|^2/10 = 1/2$. (d) Resolva $\braket\psi\chi = 0$: $\ket\chi = (\ket1 - 2\iu\ket2)/\sqrt5$. **Exercício 8.2 ★.** Quais destas matrizes são hermitianas e, para as que são, quais são os [autovalores](#def-b3-quantum-formalism-observable) e os autovetores normalizados? $$ \begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix} , \quad \begin{pmatrix}0 & -\iu\\ \iu & 0\end{pmatrix} , \quad \begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix} , \quad \begin{pmatrix}2 & 1-\iu\\ 1+\iu & 3\end{pmatrix} . $$ **Solução de Exercício 8.2.** A primeira: hermitiana; $\pm1$ com $(\ket1 \pm \ket2)/\sqrt2$. A segunda: hermitiana; $\pm1$ com $(\ket1 \pm \iu\ket2)/\sqrt2$. A terceira: não hermitiana (a transposta conjugada difere). A quarta: hermitiana; $\lambda^2 - 5\lambda + 4 = 0$ dá $1$ e $4$, com autovetores $\big({-(1 - \iu)}\ket1 + \ket2\big)/\sqrt3$ e $\big(\ket1 + (1 + \iu)\ket2\big)/\sqrt3$. **Exercício 8.3 ★.** Luz polarizada num ângulo $\alpha$ encontra um analisador num ângulo $\beta$. (a) Escreva os dois estados na base $(\ket H, \ket V)$ e calcule a probabilidade de transmissão. (b) Recupere a lei de Malus. (c) Para um fluxo de $N$ fótons, qual é a variância do número transmitido? (d) Luz circular $(\ket H + \iu\ket V)/\sqrt2$ sobre um analisador linear em ângulo qualquer: transmissão? Explique a independência da resposta em relação ao ângulo. **Solução de Exercício 8.3.** (a) $\braket\beta\alpha = \cos\beta\cos\alpha + \sin\beta\sin\alpha = \cos(\beta - \alpha)$: probabilidade $\cos^2(\beta - \alpha)$. (b) Intensidade $\propto$ número de fótons: Malus. (c) Cada fóton é uma tentativa independente: variância $N\mathcal P(1 - \mathcal P)$ — o próprio ruído certifica os fótons. (d) $|\cos\beta + \iu\sin\beta|^2/2 = 1/2$ para todo $\beta$: a luz circular não elege eixo transversal algum. **Exercício 8.4 ★.** (a) Demonstre que $[\hat x, \hat p] = \iu\hbar$ agindo sobre uma função de teste. (b) Calcule $[\hat x^2, \hat p]$ e $[\hat x, \hat p^2]$. (c) Mostre que $[\hat A, \hat B\hat C] = [\hat A, \hat B]\hat C + \hat B[\hat A, \hat C]$. (d) Deduza $[\hat x, \hat p^n] = \iu\hbar\,n\hat p^{n-1}$ e interprete: que operação clássica $[\hat x, \cdot\,]$ imita? **Solução de Exercício 8.4.** (a) $(\hat x\hat p - \hat p\hat x)f = -\iu\hbar(xf' - (xf)') = \iu\hbar f$. (b) $[\hat x^2, \hat p] = 2\iu\hbar\hat x$; $[\hat x, \hat p^2] = 2\iu\hbar\hat p$. (c) Some e subtraia $\hat B\hat A \hat C$. (d) Indução com (c): $\iu\hbar\,n\hat p^{n-1}$ — $[\hat x, \cdot]$ age como $\iu\hbar\,\partial/\partial p$, a sombra quântica do [colchete de Poisson](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/2-mecanica-hamiltoniana#def-b3-hamiltonian-mechanics-poisson) com $x$. **Exercício 8.5 ★★.** Medidas sucessivas. Um fóton começa como $\ket V$. (a) Ele encontra polarizadores a $45^\circ$ e depois a $0^\circ$ (horizontal): calcule a probabilidade de sobreviver aos dois, com o colapso intermediário explicitado. (b) Substitua o polarizador do meio por dois, a $30^\circ$ e $60^\circ$: transmissão? (c) Com $N - 1$ polarizadores intermediários em passos de $90^\circ/N$: mostre que a probabilidade de sobrevivência é $\cos^{2N}(\pi/2N)$ e avalie-a para $N = 2, 5, 20$. (d) O limite $N \to \infty$ gira a polarização *sem* perda alguma: comente (essa rotação “de Zenão quântico” é usada em qubits reais). **Solução de Exercício 8.5.** (a) $|\braket{45^\circ}{V}|^2 = \tfrac12$, colapso, depois $|\braket{H}{45^\circ}|^2 = \tfrac12$: total $\tfrac14$. (b) Tomando-os na ordem $60^\circ$, $30^\circ$ (três passos de $30^\circ$): $(\cos^230^\circ)^3 = 27/64 \approx 0.42$. (c) Cada passo de $\pi/2N$ passa com $\cos^2(\pi/2N)$: sobrevivência $[\cos^2(\pi/2N)]^N = 0.25$, $0.60$ e $0.88$ para $N = 2, 5, 20$. (d) Quando $N \to \infty$ a sobrevivência tende a $1$: muitas medidas suaves conduzem o estado por $90^\circ$ sem perda alguma — a medida usada como volante. **Exercício 8.6 ★★.** No espaço de dois níveis, $\hat A = \begin{pmatrix}0&1\\1&0 \end{pmatrix}$ e $\hat B = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$. (a) Calcule $[\hat A, \hat B]$: são compatíveis? (b) O estado é $\ket1$: dê a estatística dos resultados de medir $\hat B$ e depois a de medir $\hat A$ *depois* de uma medida de $\hat B$ ter dado $+1$. (c) Meça $\hat A$ primeiro (resultado $+1$), depois $\hat B$, depois $\hat A$ de novo: com que probabilidade o $\hat A$ final *contradiz* o primeiro? (d) O que um [comutador](#def-b3-quantum-formalism-commutator) nulo teria implicado para (c)? **Solução de Exercício 8.6.** (a) $[\hat A, \hat B] = \begin{pmatrix}0 & -2\\ 2 & 0\end{pmatrix} \neq 0$: incompatíveis. (b) $\hat B$ sobre $\ket1$: $+1$ com certeza, sem necessidade de colapso; $\hat A$ dá então $\pm1$ com probabilidade $\tfrac12$ cada. (c) Depois de $\hat A \to +1$, o estado é $(\ket1 + \ket2)/\sqrt2$; $\hat B$ o colapsa em $\ket1$ ou $\ket2$ (cada um com $\tfrac12$); de qualquer modo, o $\hat A$ final dá $\pm1$ com probabilidade $\tfrac12$: contradição com probabilidade $\tfrac12$. (d) Observáveis que comutam compartilham autoestados: a medida do meio não perturbaria, e a repetição concordaria com certeza. **Exercício 8.7 ★★.** (a) Para o estado gaussiano do [Exercício 7.1](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/7-a-equacao-de-schrodinger-em-tres-dimensoes#exo-b3-schrodinger-three-dimensions-1) restrito a uma dimensão, calcule $\Delta x$ e $\Delta p$ (use o par de Fourier ou integre) e verifique a igualdade na relação de Heisenberg. (b) Que estados saturam o teorema geral de incerteza (enuncie a condição a partir do caso de igualdade em Cauchy–Schwarz)? (c) Um elétron confinado a $\Delta x = 0.1\,\mathrm{nm}$: qual a escala mínima de energia cinética? (d) O mesmo para uma bolinha de gude ($10\,\mathrm{g}$) localizada num mícron: conclua. **Solução de Exercício 8.7.** (a) $\Delta x = \sigma$ e $\Delta p = \hbar/2\sigma$ (a transformada de Fourier de uma gaussiana de largura $\sigma$ tem largura $1/2\sigma$ em $k$): produto exatamente $\hbar/2$. (b) Igualdade em Cauchy–Schwarz: $\hat\beta\ket\psi \propto \hat\alpha\ket\psi$ com razão puramente imaginária — para $x, p$ essa equação diferencial só tem soluções gaussianas. (c) $\Delta p \ge 5.3 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $E \sim \Delta p^2/2m_{\text{e}} \approx 1\,\mathrm{eV}$ — os átomos são máquinas de elétron-volt porque são caixas de ångström. (d) $\Delta v \ge 5 \times 10^{-27}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: nada, nunca. **Exercício 8.8 ★★.** (a) A partir da [Proposição 8.12](#prop-b3-quantum-formalism-evolution), recupere o par de Ehrenfest para $\hat x$ e $\hat p$ com $\hat H = \hat p^2/2m + V$. (b) Mostre que a paridade $\hat\Pi$ ($\hat\Pi\psi(x) = \psi(-x)$) é hermitiana, tem quadrado igual à identidade e tem [autovalores](#def-b3-quantum-formalism-observable) $\pm1$. (c) Mostre que $[\hat H, \hat\Pi] = 0$ para um potencial simétrico e conclua que os níveis não degenerados têm paridade definida. (d) Que fato observado sobre os níveis de um poço duplo simétrico isso explica (lembre o dubleto da amônia do volume do segundo ano)? **Solução de Exercício 8.8.** (a) $[\hat H, \hat x] = -\iu\hbar\hat p/m$ e $[\hat H, \hat p] = \iu\hbar V'(\hat x)$ dão $\dd\langle x\rangle/\dd t = \langle p\rangle/m$ e $\dd\langle p\rangle/\dd t = -\langle V'\rangle$. (b) Uma mudança de variável no produto interno mostra a hermiticidade; $\hat\Pi^2 = \mathbb 1$ obriga os [autovalores](#def-b3-quantum-formalism-observable) a $\pm1$. (c) $V(-x) = V(x)$ torna $\hat H$ cego à paridade; um autoestado não degenerado tem então de ser também autoestado de $\hat\Pi$: par ou ímpar. (d) O dubleto quase degenerado do poço duplo simétrico: um estado par e um ímpar — o par de inversão da amônia, separado por tunelamento, que irradia a $24\,\mathrm{GHz}$. **Exercício 8.9 ★★.** Um CCOC em ação. Na caixa quadrada bidimensional, o nível $E \propto 5$ é gerado por $\ket{1,2}$ e $\ket{2,1}$. (a) Mostre que a energia sozinha não rotula os estados. (b) Seja $\hat S$ a troca $x \leftrightarrow y$: mostre que $\hat S$ é hermitiano, comuta com $\hat H$ e encontre seus autoestados dentro do nível. (c) Verifique que o par $(\hat H, \hat S)$ rotula univocamente cada estado desse nível. (d) Dê a moral geral: a degenerescência significa que o conjunto de rótulos ainda não estava completo, e a simetria fornece o rótulo que falta. **Solução de Exercício 8.9.** (a) Os dois estados compartilham $E$: anunciar a energia deixa duas possibilidades. (b) $\hat S$ troca os rótulos: é hermitiano, tem quadrado igual à identidade e comuta com o $\hat H$ simétrico; dentro do nível, seus autoestados são $(\ket{1,2} \pm \ket{2,1})/\sqrt2$, com [autovalores](#def-b3-quantum-formalism-observable) $\pm1$. (c) $(E, +)$ e $(E, -)$: rótulos únicos. (d) Uma degenerescência é um endereço incompleto; a simetria que a causa também fornece o dígito que falta. **Exercício 8.10 ★★★.** Incerteza energia–tempo, honestamente. Para um [observável](#def-b3-quantum-formalism-observable) $\hat A$ qualquer, defina o tempo de evolução $\tau_A = \Delta A\,/\,|\dd\langle\hat A\rangle/\dd t|$ — o tempo que a média leva para se deslocar de um desvio padrão. (a) A partir do [Teorema 8.10](#thm-b3-quantum-formalism-uncertainty) e da [Proposição 8.12](#prop-b3-quantum-formalism-evolution), demonstre que $\Delta E\;\tau_A \ge \hbar/2$. (b) Por que isso *não* é uma incerteza entre dois observáveis (o que é o tempo, no formalismo)? (c) Aplique-a a um estado atômico excitado de vida média $10\,\mathrm{ns}$: largura de linha. (d) Aplique-a ao seu relógio de pulso: quão bem definida pode ser a energia de um sistema em que algo muda visivelmente a cada segundo? **Solução de Exercício 8.10.** (a) $\Delta E\,\Delta A \ge \tfrac12|\langle[\hat H, \hat A]\rangle| = \tfrac\hbar2|\dd\langle A\rangle/\dd t|$; divida. (b) O tempo é um parâmetro da teoria, não um operador: a relação limita quão *depressa* algo mensurável pode evoluir, dada a dispersão de energia. (c) $\Delta E \sim \hbar/2\tau = 3.3 \times 10^{-8}\,\mathrm{eV}$: uma largura de linha natural de alguns megahertz. (d) Uma mudança visível por segundo exige apenas $\Delta E \gtrsim 5 \times 10^{-35}\,\mathrm{J}$ — para energias macroscópicas, [vínculo](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/1-mecanica-lagrangiana#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) nenhum: os relógios podem tiquetaquear. **Exercício 8.11 ★★★.** Demonstração do teorema de incerteza. Com $\hat\alpha, \hat\beta$ como no texto: (a) justifique $\Delta A^2 = \|\hat\alpha\ket\psi\|^2$ usando a hermiticidade; (b) aplique Cauchy–Schwarz e separe $\braket{\hat\alpha\psi}{\hat\beta\psi}$ em partes hermitiana e anti-hermitiana, identificando-as com as médias do anticomutador e do [comutador](#def-b3-quantum-formalism-commutator); (c) conclua e diga quando vale a igualdade; (d) mostre que, para $[\hat A, \hat B] = \iu\hbar$, nenhum estado pode ser autovetor de qualquer um dos observáveis mantendo finitos os dois desvios — e reconcilie isso com as ondas planas. **Solução de Exercício 8.11.** (a) $\|\hat\alpha\psi\|^2 = \braket{\psi}{\hat\alpha^2\psi} = \Delta A^2$ pela hermiticidade de $\hat\alpha$. (b) $\braket{\hat\alpha \psi}{\hat\beta\psi} = \tfrac12\langle\{\hat\alpha, \hat\beta\}\rangle + \tfrac12\langle[\hat A, \hat B]\rangle$: o primeiro termo é real (parte hermitiana), o segundo é puramente imaginário. (c) $|z|^2 \ge (\operatorname{Im}z)^2$ dá o teorema; a igualdade exige vetores proporcionais *e* média nula do anticomutador. (d) Um autoestado de $\hat A$ tem $\Delta A = 0$, o que força $0 \ge \hbar/2$: impossível para estados normalizáveis. As ondas planas só “conseguem” isso por serem idealizações não normalizáveis, fora do [espaço de Hilbert](#def-b3-quantum-formalism-state). **Exercício 8.12 ★★★.** A panela vigiada. Um sistema de dois níveis começa em $\ket1$ e sua [hamiltoniana](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/2-mecanica-hamiltoniana#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) impõe uma oscilação do tipo Rabi: após um tempo $t$, o estado é $\cos(\omega t)\ket1 + \sin(\omega t)\ket2$ (tome isso como dado). (a) Sem medida alguma, quando a transferência para $\ket2$ é completa? (b) Meça “em que estado?” nos instantes $T/N, 2T/N, \dots$ com $T = \pi/2\omega$: mostre que a probabilidade de encontrar o sistema *ainda* em $\ket1$ em todas as verificações é $[\cos^2(\pi/2N)]^N$. (c) Avalie-a para $N = 1, 4, 20, 100$ e mostre que ela tende a $1$: a observação frequente congela a evolução (o efeito Zenão quântico, observado com íons aprisionados em 1990). (d) Explique numa frase que postulado faz o congelamento. **Solução de Exercício 8.12.** (a) Em $\omega t = \pi/2$, isto é, $t = T$. (b) A cada verificação o estado girou de $\pi/2N$; ele é encontrado em $\ket1$ com $\cos^2(\pi/2N)$ e *colapsa de volta* a $\ket1$; as verificações são independentes, daí o produto. (c) $0$, $0.53$, $0.88$, $0.98$: vigiada de perto o bastante, a panela nunca ferve. (d) O postulado da projeção (P5): cada observação devolve a evolução à linha de partida. ![O congresso Solvay de 1927 (fotografia de Benjamin Couprie, domínio público): as pessoas que construíram os postulados deste capítulo, numa só sala — e ainda discutindo, naquela mesma semana, o que significa medir.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-quantum-formalism/img-d8bbe6da071f.jpg) *O congresso Solvay de 1927 (fotografia de Benjamin Couprie, domínio público): as pessoas que construíram os postulados deste capítulo, numa só sala — e ainda discutindo, naquela mesma semana, o que significa medir.* ## 8.7 Problema: Neutrinos que trocam de traje em pleno voo **Problema 8.1.** Problema de fim de semana — oscilações de dois níveis através da Terra Os neutrinos nascem em reações nucleares como estados de *sabor* — neutrino do elétron $\ket{\nu_e}$ ou neutrino do múon $\ket{\nu_\mu}$ — mas *se propagam* como autoestados de energia (de massa) $\ket{\nu_1}, \ket{\nu_2}$. As duas bases não coincidem: estão giradas por um *ângulo de mistura* $\theta$, $$ \ket{\nu_e} = \cos\theta\,\ket{\nu_1} + \sin\theta\,\ket{\nu_2} , \qquad \ket{\nu_\mu} = -\sin\theta\,\ket{\nu_1} + \cos\theta\,\ket{\nu_2} . $$ A descoberta de que os neutrinos, por isso, *oscilam* entre sabores em pleno voo — e portanto têm massa — rendeu o Prêmio Nobel de 2015. Este problema deduz o efeito sem nada além deste capítulo. Um neutrino ultrarrelativístico de momento $p$ e massa $m_i$ tem energia $E_i \approx pc + m_i^2c^4/2pc \approx E + m_i^2c^4/2E$. **Parte I — Montando o formalismo.** 1. Verifique que, sendo $(\ket{\nu_1}, \ket{\nu_2})$ ortonormal, $(\ket{\nu_e}, \ket{\nu_\mu})$ também o é. 2. Por que a base de propagação tem de ser a base de autoestados de *energia* , qualquer que seja a base em que o neutrino nasceu? (Que postulado governa o voo livre?) 3. Um neutrino do múon nasce em $t = 0$ . Escreva $\ket{\psi(0)}$ na base de massa. 4. Escreva $\ket{\psi(t)}$ , com cada componente de massa carregando sua fase $\eu^{-\iu E_it/\hbar}$ . 5. Mostre que uma fase *global* é irrelevante e fatore $\eu^{-\iu E_1t/\hbar}$ : só a fase *relativa* $\Delta\phi = (E_2 - E_1)t/\hbar$ dirige a física. 6. Exprima $E_2 - E_1$ em função de $\Delta m^2 = m_2^2 - m_1^2$ e de $E$ , para neutrinos ultrarrelativísticos. **Parte II — A fórmula da oscilação.** 7. Calcule a amplitude $\braket{\nu_e}{\psi(t)}$ . 8. Mostre que a probabilidade de aparecimento é $$\mathcal P_{\nu_\mu \to \nu_e}(t) = \sin^2(2\theta)\,\sin^2\Big(\frac{\Delta\phi}{2}\Big) .$$ (Use $2\sin\theta\cos\theta = \sin2\theta$.) 9. Verifique os dois limites de sanidade: $\theta = 0$ e $m_1 = m_2$ . O que, portanto, qualquer oscilação observada prova? 10. Com $t \approx L/c$, mostre que $$\mathcal P = \sin^2(2\theta)\, \sin^2\Big(\frac{\Delta m^2c^4}{4\hbar c}\,\frac{L}{E}\Big) ,$$ e defina o comprimento de oscilação $L_{\text{osc}} = 4\pi\hbar cE/\Delta m^2c^4$. 11. Mostre que a probabilidade de sobrevivência é $\mathcal P_{\nu_\mu \to \nu_\mu} = 1 - \mathcal P_{\nu_\mu\to\nu_e}$ : onde a unitariedade foi usada? 12. Por que a oscilação mede apenas $\Delta m^2$ , nunca as massas em si? **Parte III — Ler os experimentos.** Neutrinos atmosféricos do múon ($E \approx 1\,\mathrm{GeV}$) chovem sobre um detector, vindos de cima ($L \approx 15\,\mathrm{km}$) e de baixo, atravessando a Terra ($L \approx 12\,800\,\mathrm{km}$). O Super-Kamiokande (1998) achou o fluxo de baixo reduzido à metade e o fluxo de cima intacto. 13. Usando $\hbar c = 197\,\mathrm{MeV}\,\mathrm{fm}$ , mostre a forma prática $\dfrac{\Delta m^2c^4\,L}{4\hbar cE} = 1.27\, \dfrac{\Delta m^2c^4\,[\mathrm{eV}^{2}]\ L\,[\mathrm{km}]} {E\,[\mathrm{GeV}]}$ . 14. Se a oscilação deve estar *bem desenvolvida* em $L = 12\,800\,\mathrm{km}$ , mas ser *desprezível* a $15\,\mathrm{km}$ para $E = 1\,\mathrm{GeV}$ , delimite grosseiramente $\Delta m^2c^4$ . 15. O valor medido é $\Delta m^2c^4 \approx 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2}$ : calcule o comprimento de oscilação a $1\,\mathrm{GeV}$ e confira-o contra as duas linhas de base. 16. A supressão de baixo é próxima de $1/2$ , e não de $0$ : mostre que *fazer a média* de $\sin^2$ sobre muitos comprimentos de oscilação (e sobre as energias) dá $\tfrac12\sin^22\theta$ , e deduza que a mistura atmosférica é quase *máxima* ( $\theta \approx 45^\circ$ ). 17. O que $\Delta m^2c^4 = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2}$ dá para a massa mais pesada sozinha, se a mais leve for desprezível — e compare com a massa do elétron: quão estranhamente leves são os neutrinos? 18. Os antineutrinos de reator têm $E \approx 4\,\mathrm{MeV}$ . Usando a mesma fórmula do $1.27$ , mostre que uma linha de base de um a dois quilômetros está sintonizada com a separação de $2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2}$ (o experimento Daya Bay), enquanto $L \approx 180\,\mathrm{km}$ (KamLAND) está sintonizada com a separação “solar” menor, $7.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}^{2}$ — verifique as duas numericamente. **Parte IV — O que isso significa.** 19. O Sol emite $\nu_e$ ; durante décadas os detectores contaram apenas um terço do previsto. Explique o “problema dos neutrinos solares” e sua resolução, em uma frase cada. 20. Por que as oscilações forçaram a conclusão de que os neutrinos *têm massa* , contra a contabilidade original do Modelo Padrão? 21. Um sistema quântico que mantém coerência de fase ao longo de $12800$ quilômetros: o que isso diz sobre quão fracamente os neutrinos interagem, e por que o detector precisa ser enorme? 22. O sabor é um [observável](#def-b3-quantum-formalism-observable) : por que o operador dele não comuta com a [hamiltoniana](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/2-mecanica-hamiltoniana#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) livre, e que lei de conservação, portanto, *não* está disponível para o sabor (enquanto a energia e o momento continuam conservados)? 23. A natureza tem três sabores e três massas: por que, ainda assim, o tratamento de dois níveis descreve tão bem cada experimento? (Considere a hierarquia dos dois $\Delta m^2$ e qual deles cada linha de base resolve.) 24. No formalismo deste capítulo, nomeie exatamente que ingredientes produziram a oscilação: que descompasso de bases, que postulado, que fase. 25. Resuma o resultado central: um ângulo de rotação perto de $45^\circ$ e uma separação $\Delta m^2c^4 = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2}$ fazem desaparecer um neutrino do múon de GeV com comprimento de oscilação $\sim1000\,\mathrm{km}$ — álgebra linear de dois níveis, confirmada através do corpo da Terra. **Solução de Problema 8.1.** **1.** Uma rotação leva um par ortonormal a um par ortonormal: $\braket{\nu_e}{\nu_\mu} = -\cos\theta\sin\theta + \sin\theta\cos\theta = 0$. **2.** P6: o voo livre é gerado por $\hat H$, cujos autoestados evoluem autonomamente por fases — qualquer que tenha sido a base escolhida pela produção. **3.** $\ket{\psi(0)} = \ket{\nu_\mu} = -\sin\theta\ket{\nu_1} + \cos\theta\ket{\nu_2}$. **4.** $\ket{\psi(t)} = -\sin\theta\,\eu^{-\iu E_1t/\hbar} \ket{\nu_1} + \cos\theta\,\eu^{-\iu E_2t/\hbar}\ket{\nu_2}$. **5.** As fases globais somem de todo $|\braket\cdot\cdot|^2$: guarde $\Delta\phi = (E_2 - E_1)t/\hbar$. **6.** $E_2 - E_1 = (m_2^2 - m_1^2)c^4/2E = \Delta m^2c^4/2E$. **7.** $\braket{\nu_e}{\psi(t)} = \eu^{-\iu E_1t/\hbar} \sin\theta\cos\theta\,(\eu^{-\iu\Delta\phi} - 1)$. **8.** $|\cdots|^2 = \sin^2\theta\cos^2\theta\,|{\eu^{-\iu \Delta\phi} - 1}|^2 = \sin^22\theta\,\sin^2(\Delta\phi/2)$. **9.** Sem mistura, ou sem separação de massas: nenhuma oscilação. Toda oscilação observada prova $\theta \neq 0$ *e* $m_1 \neq m_2$ — os neutrinos pesam. **10.** Substitua $\Delta\phi = \Delta m^2c^4L/2\hbar cE$; $L_{\text{osc}}$ faz o argumento valer $\pi$. **11.** As duas probabilidades de sabor são componentes ao quadrado numa base ortonormal de um estado normalizado: somam $1$ — a unitariedade da evolução preservou a norma. **12.** Só a fase *relativa* é [observável](#def-b3-quantum-formalism-observable), e ela contém $E_2 - E_1 \propto m_2^2 - m_1^2$: as massas absolutas se cancelam. **13.** $\dfrac{L}{4\hbar cE}$ nas unidades enunciadas: $10^{3}\,\mathrm{m}/(4 \times 1.973 \times 10^{-7}\,\mathrm{eV}\,\mathrm{m} \times 10^{9}) = 1.27$ por $\mathrm{eV}^{2}$. **14.** Bem desenvolvida embaixo: $1.27\,\Delta m^2 \times 12800 \gtrsim 1$, isto é, $\Delta m^2c^4 \gtrsim 6 \times 10^{-5}\,\mathrm{eV}^{2}$; desprezível em cima: $1.27\,\Delta m^2 \times 15 \ll 1$, isto é, $\ll 5 \times 10^{-2}$: algo em torno de $10^{-4}$–$10^{-2}\,\mathrm{eV}^{2}$. **15.** $L_{\text{osc}} = \pi E/(1.27\,\Delta m^2c^4) \approx 990\,\mathrm{km}$ a $1\,\mathrm{GeV}$: os $15\,\mathrm{km}$ ficam intactos e os $12\,800\,\mathrm{km}$ são treze comprimentos completos — exatamente o padrão observado. **16.** Ao longo de muitos comprimentos e de uma faixa de energias, $\langle\sin^2\rangle = \tfrac12$: supressão $\tfrac12\sin^22 \theta$; a metade medida força $\sin^22\theta \approx 1$, $\theta \approx 45^\circ$ — a natureza escolheu a mistura máxima. **17.** $m_2c^2 \approx \sqrt{2.5 \times 10^{-3}} = 0.05\,\mathrm{eV}$: dez milhões de vezes mais leve que o elétron — a matéria mais leve conhecida, e ninguém ainda sabe por quê. **18.** Daya Bay: $1.27 \times 2.5 \times 10^{-3} \times 1.5/0.004 \approx 1.2$ — da ordem de um, sintonizado; KamLAND: $1.27 \times 7.5 \times 10^{-5} \times 180/0.004 \approx 4.3$ — da ordem de um para a separação solar: cada linha de base é um interferômetro ajustado a um $\Delta m^2$. **19.** O problema: só um terço dos $\nu_e$ previstos do Sol chegava. A solução: os dois terços que faltavam chegam com outros sabores, nos quais os $\nu_e$ se converteram por rotação (o SNO contou o total e inocentou o Sol). **20.** A oscilação exige $\Delta m^2 \neq 0$: ao menos um neutrino é massivo — a primeira física de laboratório além do Modelo Padrão original. **21.** Coerência de fase ao longo de $10^7$ metros significa que praticamente *nada* interagiu no caminho: seções de choque tão pequenas que se precisam de quilotoneladas de água para pescar um punhado — daí as cinquenta mil toneladas do Super-Kamiokande. **22.** Os operadores de sabor são diagonais na base de sabor, que não é a base de energia: $[\hat H, \text{sabor}] \neq 0$ — o sabor simplesmente não é grandeza conservada no voo livre, ao passo que a energia e o momento são. **23.** As duas separações diferem por um fator trinta: para um dado $L/E$, uma oscilação está ativa e a outra ou congelada ou completamente promediada — cada experimento vê um sistema efetivo de dois níveis. **24.** Base de produção $\neq$ base de propagação (a rotação $\theta$); P6 fornece as duas fases; a regra de Born transforma a fase relativa numa probabilidade. **25.** $\theta \approx 45^\circ$ e $\Delta m^2c^4 = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{eV}^{2}$ dão a um neutrino do múon de GeV um comprimento de oscilação perto de $1000\,\mathrm{km}$: álgebra linear de dois níveis, verificada através do planeta, e um Prêmio Nobel pelo desaparecimento de metade de um fluxo.