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title: "O oscilador harmônico quântico"
book: "Física universitária — 3.º ano"
subject: physics
language: pt
chapter: 9
exercises: 12
source: https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/9-o-oscilador-harmonico-quantico
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# Capítulo 9 — O oscilador harmônico quântico

Quase nada na natureza é exatamente um oscilador harmônico, e quase tudo é aproximadamente um: qualquer sistema afastado de um equilíbrio estável — a ligação de uma molécula, um átomo num cristal, uma ponte, um modo do campo eletromagnético — sente uma força restauradora proporcional ao deslocamento, porque todo potencial suave é uma parábola no fundo do seu poço. Quem resolve o oscilador quântico uma vez resolve, portanto, as pequenas vibrações do mundo inteiro. Este capítulo o resolve no estilo algébrico que se tornou a assinatura da mecânica quântica: dois [operadores de escada](#def-b3-harmonic-oscillator-ladder) sobem e descem uma escada perfeitamente regular de níveis $\big(n +
\tfrac12\big)\hbar\omega$, sendo o meio degrau de baixo — a [energia de ponto zero](#thm-b3-harmonic-oscillator-spectrum) — um teorema, e não uma opção. As consequências vão de por que o hélio nunca congela até como uma molécula de dióxido de carbono, ressoando no seu próprio $\hbar\omega$, intercepta o calor que a Terra emite.

## 9.1 A escada

**Definição 9.1 (Operadores de escada).**

Para $\hat H = \hat p^2/2m + \tfrac12 m\omega^2\hat x^2$, introduza o par adimensional e não hermitiano

$$
\hat a = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\Big(\hat x +
\frac{\iu\hat p}{m\omega}\Big) , \qquad
\hat a^\dagger = \sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\Big(\hat x -
\frac{\iu\hat p}{m\omega}\Big) .
$$

A partir de $[\hat x, \hat p] = \iu\hbar$:

$$
[\hat a, \hat a^\dagger] = 1 , \qquad
\hat H = \hbar\omega\Big(\hat N + \tfrac12\Big) , \quad
\hat N = \hat a^\dagger\hat a .
$$

$\hat N$ é hermitiano; seus [autovalores](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/8-o-formalismo-da-mecanica-quantica#def-b3-quantum-formalism-observable) contarão *quanta*, e $\hat a$, $\hat a^\dagger$ — os operadores de *aniquilação* e de *criação* — retirarão e acrescentarão um.

**Teorema 9.2 (O espectro, só por álgebra).**

Os [autovalores](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/8-o-formalismo-da-mecanica-quantica#def-b3-quantum-formalism-observable) de $\hat H$ são exatamente

$$
E_n = \Big(n + \tfrac12\Big)\hbar\omega , \qquad n = 0, 1, 2, \dots
$$

— uma escada infinita de degraus iguais $\hbar\omega$ acima de um nível fundamental que *não* é nulo: a *[energia de ponto zero](#thm-b3-harmonic-oscillator-spectrum)* $\tfrac12\hbar\omega$. Os autoestados normalizados $\ket n$ são ligados por

$$
\hat a\ket n = \sqrt n\,\ket{n - 1} , \qquad
\hat a^\dagger\ket n = \sqrt{n + 1}\,\ket{n + 1} ,
\qquad
\ket n = \frac{(\hat a^\dagger)^n}{\sqrt{n!}}\,\ket0 .
$$

**Demonstração.** Do [comutador](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/8-o-formalismo-da-mecanica-quantica#def-b3-quantum-formalism-commutator), $\hat N\hat a = \hat a(\hat N - 1)$: se $\ket\nu$ é autovetor de $\hat N$ com [autovalor](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/8-o-formalismo-da-mecanica-quantica#def-b3-quantum-formalism-observable) $\nu$, então $\hat a\ket\nu$ é um autovetor de [autovalor](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/8-o-formalismo-da-mecanica-quantica#def-b3-quantum-formalism-observable) $\nu - 1$ (ou o vetor nulo). Cada descida só é permitida enquanto $\nu \ge 0$, pois $\nu = \braket{\nu}{\hat
N\nu} = \|\hat a\ket\nu\|^2 \ge 0$; a descida tem, portanto, de terminar, e só termina num estado com $\hat a\ket{\nu_0}
= 0$, donde $\nu_0 = 0$. Assim, $\nu$ percorre os inteiros não negativos. As normalizações seguem de $\|\hat a\ket n\|^2 = n$ e $\|\hat a^\dagger\ket n\|^2 = n + 1$. ∎

![A escada do oscilador: degraus iguais , subidos por a e descidos por a, apoiados num piso meio degrau acima da energia de repouso clássica.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-harmonic-oscillator/fig-d09e9e127826.svg)

*A escada do oscilador: degraus iguais $\hbar\omega$, subidos por $\hat a^\dagger$ e descidos por $\hat a$, apoiados num piso meio degrau acima da [energia de repouso](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/5-dinamica-relativistica#def-b3-relativistic-dynamics-momentum-energy) clássica.*

**Proposição 9.3 (Os estados no espaço).**

O estado fundamental é a gaussiana

$$
\varphi_0(x) = \Big(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\Big)^{1/4}
\eu^{-m\omega x^2/2\hbar} ,
$$

obtida resolvendo a equação de *primeira ordem* $\hat a\varphi_0
= 0$; ela satura a desigualdade de Heisenberg, $\Delta x\,\Delta p =
\hbar/2$, com $\Delta x = \sqrt{\hbar/2m\omega}$. Aplicar $\hat a^\dagger$ repetidamente gera $\varphi_n$: um polinômio de grau $n$ (com $n$ nós) vezes a mesma gaussiana. Para $n$ grande, $|\varphi_n|^2$ oscila rapidamente em torno da distribuição clássica do tempo de permanência, máxima perto dos pontos de retorno — o princípio da correspondência em imagem.

**Demonstração parcial.** $\hat a\varphi_0 = 0$ se lê $\varphi_0' = -(m\omega/\hbar)x
\varphi_0$: a gaussiana, normalizada. Saturação: a gaussiana é o caso de igualdade do [Teorema 8.10](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/8-o-formalismo-da-mecanica-quantica#thm-b3-quantum-formalism-uncertainty). A estrutura polinomial decorre de $\hat a^\dagger$ ser de primeira ordem em $x$ e $\dd/\dd x$; o enunciado para $n$ grande é verificado no [Exercício 9.12](#exo-b3-harmonic-oscillator-12). ∎

![À esquerda: as densidades de probabilidade mais baixas (deslocadas verticalmente): uma gaussiana sem nós e, depois, n nós para _n. À direita: para n grande, a densidade quântica oscila em torno da distribuição clássica, que se acumula nos pontos de retorno, onde a massa oscilante se demora.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-harmonic-oscillator/fig-6739b83e98cc.svg)

*À esquerda: as densidades de probabilidade mais baixas (deslocadas verticalmente): uma gaussiana sem nós e, depois, $n$ nós para $\varphi_n$. À direita: para $n$ grande, a densidade quântica oscila em torno da distribuição clássica, que se acumula nos pontos de retorno, onde a massa oscilante se demora.*

## 9.2 A energia de ponto zero é real

**Observação 9.4 (Por que o piso não pode ser mais baixo).**

Um estado de energia nula exigiria $\langle\hat p^2\rangle =
\langle\hat x^2\rangle = 0$: perfeitamente parado *e* perfeitamente centrado, o que $\Delta x\,\Delta p \ge \hbar/2$ proíbe. O estado fundamental é o melhor compromisso que a desigualdade permite, e $\tfrac12\hbar\omega$ é o aluguel. Não se trata de uma constante de contabilidade: o movimento de ponto zero borra os padrões de difração de raios X no zero absoluto; ele dá aos isótopos mais leves ligações efetivas mais fracas (H$_2$ e D$_2$ se dissociam a energias mensuravelmente diferentes a partir do mesmo poço eletrônico); e no hélio ele é tão violento — átomos leves, atração débil — que o líquido *nunca* congela sob sua própria pressão de vapor: é o único elemento ainda líquido no zero absoluto, solidificando-se apenas com a ajuda de 25 atmosferas.

**Exemplo 9.5 (Escalas de ℏω\hbar\omegaℏω).**

Ligação do monóxido de carbono ($\omega = 4.1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$): $\hbar\omega =
0.27\,\mathrm{eV}$, dez vezes o $k_{\text{B}}T$ da temperatura ambiente — as vibrações moleculares estão paradas no ar do dia a dia, e é por isso que as capacidades térmicas dos diatômicos intrigaram o século XIX. Um pêndulo ($\omega = 5\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$): $\hbar\omega = 3 \times 10^{-15}\,\mathrm{eV}$, irremediavelmente além da resolução — o limite da correspondência. Um espelho do LIGO de $40\,\mathrm{kg}$, suspenso de modo a oscilar a $100\,\mathrm{Hz}$, tem como modo de oscilador a amplitude de ponto zero $\Delta x =
\sqrt{\hbar/2m\omega} \approx 5 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}$ — e o observatório resolve rotineiramente deslocamentos *nesse* piso quântico: o movimento de ponto zero de um objeto de quarenta quilogramas é hoje um [vínculo](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/1-mecanica-lagrangiana#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) de engenharia ([Exercício 9.3](#exo-b3-harmonic-oscillator-3)).

## 9.3 Estados coerentes: a face clássica do oscilador quântico

**Definição 9.6 (Estados coerentes).**

Um *estado coerente* $\ket\alpha$ é um autovetor do [operador de aniquilação](#def-b3-harmonic-oscillator-ladder), $\hat a\ket\alpha = \alpha\ket\alpha$, com $\alpha$ um número complexo qualquer. Expandido na escada,

$$
\ket\alpha = \eu^{-|\alpha|^2/2}\sum_{n=0}^\infty
\frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}}\,\ket n :
$$

a contagem quântica segue uma distribuição de Poisson, de média $\langle\hat
N\rangle = |\alpha|^2$ e dispersão $\Delta N = |\alpha|$.

**Proposição 9.7 (Por que os lasers são clássicos).**

Um [estado coerente](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent) é a gaussiana do estado fundamental deslocada no [espaço de fases](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/2-mecanica-hamiltoniana#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian); sob a evolução do oscilador ele *permanece* coerente, com $\alpha(t) = \alpha\,\eu^{-\iu\omega t}$: seu centro executa exatamente o movimento clássico, $\langle\hat x\rangle(t) =
x_0\cos\omega t + \cdots$, ao passo que suas larguras permanecem para sempre no mínimo $\Delta x\,\Delta p = \hbar/2$ — um pacote de onda que nunca se espalha. Os [estados coerentes](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent) são o modo como um oscilador quântico imita um clássico; a luz de um laser é um [estado coerente](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent) de um modo do campo, com número de fótons poissoniano (o *ruído de disparo* de todo fotodetector) e campo oscilando como Maxwell dizia.

**Demonstração parcial.** A expansão decorre de escrever $\ket\alpha = \sum c_n\ket n$ em $\hat a\ket\alpha = \alpha\ket\alpha$: $c_n = \alpha c_{n-1}/\sqrt
n$. Evolução: cada $\ket n$ ganha $\eu^{-\iu(n + 1/2)\omega t}$, o que se ressoma num [estado coerente](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent) de $\alpha\eu^{-\iu\omega t}$ (a menos de fase global). $\langle\hat x\rangle \propto
\operatorname{Re}\alpha(t)$, a partir de $\hat x \propto \hat a +
\hat a^\dagger$. Que o estado seja a gaussiana deslocada é aqui admitido. ∎

![Retrato no espaço de fases (compare com o ): o estado fundamental é uma mancha de incerteza mínima na origem; um estado coerente é a mesma mancha deslocada, girando a sem se deformar — a melhor imitação de uma oscilação clássica que a mecânica quântica consegue.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-5/b3-harmonic-oscillator/fig-823b4a2e1b3b.svg)

*Retrato no [espaço de fases](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/2-mecanica-hamiltoniana#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) (compare com o [Capítulo 2](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/2-mecanica-hamiltoniana#ch-b3-hamiltonian-mechanics)): o estado fundamental é uma mancha de incerteza mínima na origem; um [estado coerente](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent) é a mesma mancha deslocada, girando a $\omega$ sem se deformar — a melhor imitação de uma oscilação clássica que a mecânica quântica consegue.*

**Método 9.8 (Álgebra do oscilador).**

(1) Exprima o que se pede em $\hat a$ e $\hat a^\dagger$: $\hat x
= \sqrt{\hbar/2m\omega}\,(\hat a + \hat a^\dagger)$, $\hat p =
\iu\sqrt{m\hbar\omega/2}\,(\hat a^\dagger - \hat a)$. (2) Empurre os $\hat a$ para a direita com $[\hat a, \hat a^\dagger] = 1$; use $\hat a\ket0 = 0$. (3) Elementos de matriz: $\hat x$ liga apenas degraus vizinhos — a regra de seleção $\Delta n = \pm1$ da espectroscopia vibracional. (4) Toda [hamiltoniana](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/2-mecanica-hamiltoniana#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) quadrática (osciladores acoplados, circuitos, modos de campo) se diagonaliza em escadas independentes: encontre primeiro os [modos normais](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/1-mecanica-lagrangiana#prop-b3-lagrangian-mechanics-modes) e quantize cada um. (5) Números antes de tudo: $\hbar\omega$ contra $k_{\text{B}}T$ decide se o sistema é quântico ou clássico antes de qualquer álgebra.

## 9.4 Exercícios

**Exercício 9.1 ★.**

(a) Verifique $[\hat a, \hat a^\dagger] = 1$ a partir de $[\hat x, \hat p] =
\iu\hbar$. (b) Verifique $\hat H = \hbar\omega(\hat a^\dagger\hat a +
\tfrac12)$ por expansão direta. (c) Inverta para exprimir $\hat x$ e $\hat p$. (d) Mostre que $\hat N$ é hermitiano e explique por que $\hat a$ sozinho não poderia ser um observável.

**Solução de Exercício 9.1.**

(a) Ao expandir, os termos em $\hat x^2$ e $\hat p^2$ se cancelam entre $\hat a\hat a^\dagger$ e $\hat a^\dagger\hat a$, restando $(m\omega/2\hbar)(-2\iu/m\omega)[\hat x, \hat p] =
(-\iu/\hbar)(\iu\hbar) = 1$. (b) $\hat a^\dagger\hat a = (m\omega\hat x^2/2\hbar) +
(\hat p^2/2m\hbar\omega) - \tfrac12$: multiplique por $\hbar\omega$. (c) $\hat x = \sqrt{\hbar/2m\omega}\,(\hat a + \hat a^\dagger)$, $\hat p
= \iu\sqrt{m\hbar\omega/2}\,(\hat a^\dagger - \hat a)$. (d) $\hat
N^\dagger = \hat a^\dagger\hat a = \hat N$; $\hat a$ não é hermitiano, e seus “[autovalores](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/8-o-formalismo-da-mecanica-quantica#def-b3-quantum-formalism-observable)” $\alpha$ são complexos — nenhum aparelho de medida os devolve.

**Exercício 9.2 ★.**

No autoestado $\ket n$: (a) mostre que $\langle\hat x\rangle =
\langle\hat p\rangle = 0$; (b) calcule $\langle\hat x^2\rangle$ e $\langle\hat p^2\rangle$; (c) deduza $\Delta x\,\Delta p = (n +
\tfrac12)\hbar$; (d) verifique a razão do virial $\langle E_k\rangle =
\langle E_p\rangle$.

**Solução de Exercício 9.2.**

(a) $\hat x$ e $\hat p$ deslocam $n$ de $\pm1$: os elementos diagonais se anulam. (b) $\langle\hat x^2\rangle = (\hbar/2m\omega)(2n + 1)$, $\langle\hat p^2\rangle = (m\hbar\omega/2)(2n + 1)$ (os termos $\hat
a\hat a^\dagger + \hat a^\dagger\hat a$). (c) $\Delta x\Delta p
= (n + \tfrac12)\hbar$: só o estado fundamental é mínimo. (d) As duas médias valem $E_n/2$: a equipartição do oscilador clássico, nível a nível.

**Exercício 9.3 ★.**

Amplitudes de ponto zero $\Delta x = \sqrt{\hbar/2m\omega}$: calcule-as para (a) a molécula de CO ($\mu = 1.14 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$, $\omega =
4.1 \times 10^{14}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$), comparando com o comprimento de ligação de $0.11\,\mathrm{nm}$; (b) um átomo de hidrogênio num sólido ($m =
1.7 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$, $\hbar\omega = 0.1\,\mathrm{eV}$); (c) um espelho do LIGO ($m = 40\,\mathrm{kg}$, $f = 100\,\mathrm{Hz}$); (d) ordene os três como frações do tamanho de seus sistemas e comente quem é “quântico”.

**Solução de Exercício 9.3.**

(a) $\Delta x = 3.4\,\mathrm{pm}$: três por cento da ligação — uma molécula é um objeto ligeiramente borrado mesmo à temperatura nula. (b) $14\,\mathrm{pm}$, mais de um décimo de ångström: o hidrogênio é o átomo mais borrado de qualquer cristal, o que o espalhamento de nêutrons vê diretamente. (c) $4.6 \times 10^{-20}\,\mathrm{m}$ — vinte e cinco ordens abaixo do tamanho do espelho, e ainda assim a leitura do LIGO o alcança. (d) Em fração: molécula $3\%$, hidrogênio $\sim15\%$, espelho $\sim10^{-19}$: “quântico” não é uma questão de ser pequeno, mas de $\hbar\omega$ contra todo o resto — e, no entanto, com finesse bastante, até quarenta quilogramas mostram o seu piso.

**Exercício 9.4 ★.**

(a) Usando as relações da escada, calcule $\bra m\hat x\ket n$ e mostre que se anula a menos que $m = n \pm 1$. (b) Deduza a regra de seleção vibracional $\Delta n = \pm1$ para a absorção de luz (o acoplamento é $\propto\hat x$). (c) Por que uma molécula heteronuclear (CO) absorve luz infravermelha e a N$_2$ não? (d) As moléculas reais mostram linhas fracas de “sobretom” em $\approx 2\hbar\omega$: o que isso revela sobre o potencial?

**Solução de Exercício 9.4.**

(a) $\bra m\hat x\ket n = \sqrt{\hbar/2m\omega}\,(\sqrt n\,
\delta_{m,n-1} + \sqrt{n + 1}\,\delta_{m,n+1})$. (b) A interação com a luz, $\propto\hat x$, só pode subir ou descer um degrau: $\Delta n =
\pm1$, uma frequência infravermelha por modo. (c) A vibração do CO modula um dipolo não nulo; a nuvem de carga simétrica do N$_2$ não produz dipolo algum em nenhum estiramento: é inativo no infravermelho. (d) Os sobretons só existem porque o potencial verdadeiro não é exatamente quadrático: a anarmonicidade mistura degraus e permite fracamente $\Delta n = 2$ — e aproxima os degraus altos entre si, como mostram os espectros reais.

**Exercício 9.5 ★★.**

(a) Resolva $\hat a\varphi_0 = 0$ como equação diferencial e normalize. (b) Gere $\varphi_1$ e $\varphi_2$ aplicando $\hat a^\dagger$. (c) Verifique $\varphi_1 \perp \varphi_0$ só pela paridade. (d) Esboce as três densidades e confira a contagem de nós.

**Solução de Exercício 9.5.**

(a) $\varphi_0' = -(m\omega/\hbar)x\varphi_0$: a gaussiana normalizada do texto. (b) $\varphi_1 \propto x\eu^{-m\omega
x^2/2\hbar}$; $\varphi_2 \propto (2m\omega x^2/\hbar -
1)\eu^{-m\omega x^2/2\hbar}$. (c) $\varphi_0$ é par e $\varphi_1$ é ímpar: o integrando da superposição é ímpar. (d) Zero, um e dois nós — o teorema da oscilação em miniatura.

**Exercício 9.6 ★★.**

Antecipando Boltzmann. Um conjunto de osciladores idênticos à temperatura $T$ ocupa o nível $n$ com probabilidade $\propto
\eu^{-E_n/k_{\text{B}}T}$ (volume do segundo ano, fator de Boltzmann). (a) Mostre que o número quântico médio é $\langle n\rangle =
1/(\eu^{\hbar\omega/k_{\text{B}}T} - 1)$. (b) Avalie-o para a vibração do CO a $300\,\mathrm{K}$ e a $2000\,\mathrm{K}$. (c) Mostre que a energia média tende a $k_{\text{B}}T$ em alta temperatura (equipartição recuperada) e a $\tfrac12\hbar\omega$ em baixa. (d) A que temperatura uma vibração de $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ (a flexão do dióxido de carbono) tem $\langle n\rangle = 0.1$?

**Solução de Exercício 9.6.**

(a) Com $x = \hbar\omega/k_{\text{B}}T$: $\langle n\rangle =
\sum n\eu^{-nx}/\sum\eu^{-nx} = 1/(\eu^x - 1)$. (b) CO a $300\,\mathrm{K}$: $x = 10.4$, $\langle n\rangle \approx 3 \times 10^{-5}$ — parado; a $2000\,\mathrm{K}$: $x = 1.57$, $\langle n\rangle = 0.26$ — despertando. (c) $\langle E\rangle = \hbar\omega(\langle n\rangle +
\tfrac12) \to k_{\text{B}}T$ para $x \ll 1$; $\to \tfrac12\hbar
\omega$ para $x \gg 1$. (d) $\eu^x = 11$: $x = 2.4$, $T =
\hbar\omega/2.4k_{\text{B}} \approx 400\,\mathrm{K}$ — a atmosfera da Terra mantém a flexão do dióxido de carbono parcialmente acesa.

**Exercício 9.7 ★★.**

Estatística dos [estados coerentes](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent). (a) A partir da expansão de $\ket\alpha$, mostre que $\mathcal P(n)$ é uma poissoniana de média $|\alpha|^2$. (b) Mostre que $\langle\hat N\rangle = |\alpha|^2$ e $\Delta N = |\alpha|$. (c) Um laser de $1\,\mathrm{mW}$ a $633\,\mathrm{nm}$: fótons por segundo e a flutuação relativa $\Delta N/\langle N\rangle$ em um segundo. (d) Ruído de disparo: mostre que a razão ruído-sinal da fotocorrente cai como $1/\sqrt{\langle N\rangle}$ — por que os feixes intensos parecem lisos.

**Solução de Exercício 9.7.**

(a) $\mathcal P(n) = |c_n|^2 = \eu^{-|\alpha|^2}|\alpha|^{2n}/n!$: poissoniana. (b) A média e a variância de uma poissoniana valem ambas $|\alpha|^2$. (c) $3.2 \times 10^{15}$ fótons por segundo; $\Delta N/\langle N\rangle =
1/\sqrt{\langle N\rangle} \approx 1.8 \times 10^{-8}$. (d) A fotocorrente herda a dispersão poissoniana: ruído sobre sinal $\propto 1/\sqrt N$ — o piso de ruído de disparo, audível na luz fraca, desprezível na intensa.

**Exercício 9.8 ★★.**

Evolução de um [estado coerente](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent). (a) Aplique as fases de evolução à expansão e mostre que se obtém $\ket{\alpha(t)}$ com $\alpha(t) =
\alpha\eu^{-\iu\omega t}$ (a menos de uma fase global). (b) Deduza $\langle\hat x\rangle(t)$ e $\langle\hat p\rangle(t)$ e compare com a solução clássica. (c) Por que um autoestado de energia, apesar de estacionário, *não* descreve um pêndulo que oscila — e que característica do [estado coerente](#def-b3-harmonic-oscillator-coherent) descreve? (d) Estime $|\alpha|$ para um pêndulo real ($10\,\mathrm{g}$, amplitude de $10\,\mathrm{cm}$, $1\,\mathrm{Hz}$) e comente.

**Solução de Exercício 9.8.**

(a) Cada termo ganha $\eu^{-\iu n\omega t}$ (fase global à parte): a soma é de novo coerente, com $\alpha\eu^{-\iu\omega t}$. (b) $\langle\hat x\rangle = \sqrt{2\hbar/m\omega}\,
\operatorname{Re}\,\alpha(t)$: um cosseno puro em $\omega$, com amplitude e fase fixadas por $\alpha$ — exatamente clássico. (c) A densidade de um autoestado nunca se move; o pêndulo que vemos é uma superposição coerente de muitos degraus cujas fases conspiram para oscilar. (d) $E
\approx 2 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}$, $\hbar\omega \approx 6.6 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}$: $n
\sim 3 \times 10^{30}$, $|\alpha| \sim 2 \times 10^{15}$ — o movimento macroscópico é coerência com números quânticos astronômicos.

**Exercício 9.9 ★★.**

O circuito LC quântico. Uma malha supercondutora com $L =
10\,\mathrm{nH}$ e $C = 0.4\,\mathrm{pF}$ faz a carga e o fluxo oscilarem como $x$ e $p$. (a) Sua frequência de ressonância (volume do primeiro ano) e o quantum $\hbar\omega$ em $\text{µ}\mathrm{eV}$. (b) Abaixo de que temperatura vale $k_{\text{B}}T \ll \hbar\omega$, de modo que o circuito fique no estado fundamental? (c) Por que os qubits supercondutores são operados em refrigeradores de diluição a $20\,\mathrm{mK}$? (d) A flutuação de tensão de ponto zero $\Delta V = \Delta q/C$ com $\Delta q =
\sqrt{\hbar\omega C/2}$: avalie-a.

**Solução de Exercício 9.9.**

(a) $\omega = 1/\sqrt{LC} = 1.6 \times 10^{10}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ($f =
2.5\,\mathrm{GHz}$); $\hbar\omega = 10\,\text{µ}\mathrm{eV}$. (b) $\hbar\omega/k_{\text{B}} = 0.12\,\mathrm{K}$: bem abaixo de uns $100\,\mathrm{mK}$. (c) A $20\,\mathrm{mK}$, a excitação térmica vale $\eu^{-6} \sim 2 \times 10^{-3}$: o circuito fica em $\ket0$, pronto para ser um qubit — a temperatura ambiente enterraria o quantum sob $10^3$ quanta térmicos. (d) $\Delta q = \sqrt{\hbar\omega C/2} =
5.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ (algumas cargas de elétron); $\Delta V = \Delta q/C
\approx 1.4\,\text{µ}\mathrm{V}$ de zumbido irredutível.

**Exercício 9.10 ★★★.**

Van der Waals a partir do movimento de ponto zero. Modele dois átomos neutros à distância $R$ como dois osciladores dipolares idênticos (carga $e$, massa $m$, frequência $\omega_0$) cujos deslocamentos se acoplam pela energia dipolar $\lambda\,x_1x_2$, com $\lambda = e^2/2\pi\varepsilon_0R^3$. (a) Mostre que as coordenadas normais $(x_1 \pm x_2)/\sqrt2$ oscilam a $\omega_\pm = \omega_0\sqrt{1 \pm \lambda/m\omega_0^2}$. (b) A energia fundamental é $\tfrac\hbar2(\omega_+ + \omega_-)$: expanda até segunda ordem em $\lambda$ e mostre que a energia de interação vale

$$
\Delta E = -\frac{\hbar\lambda^2}{8m^2\omega_0^3}
\ \propto\ -\frac{1}{R^6} .
$$

(c) Por que essa atração é universal — presente mesmo entre átomos sem dipolo permanente algum? (d) A lei $1/R^6$ é a força de van der Waals das correções de gás real do volume do primeiro ano: o que, microscopicamente, está “flutuando” — e o que aconteceria com essa força num mundo com $\hbar = 0$?

**Solução de Exercício 9.10.**

(a) Em coordenadas normais, a [hamiltoniana](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/2-mecanica-hamiltoniana#def-b3-hamiltonian-mechanics-hamiltonian) se separa em dois osciladores com $m\omega_\pm^2 = m\omega_0^2 \pm \lambda$. (b) $\sqrt{1 + u} + \sqrt{1 - u} \approx 2 - u^2/4$: $\Delta E =
\tfrac\hbar2(\omega_+ + \omega_- - 2\omega_0) =
-\hbar\omega_0\lambda^2/8m^2\omega_0^4 =
-\hbar\lambda^2/8m^2\omega_0^3$, e $\lambda \propto 1/R^3$ dá $1/R^6$. (c) Ela não precisa de dipolos permanentes — só das *flutuações* de ponto zero da nuvem de carga de cada átomo, que o acoplamento correlaciona de modo que a atração supere a repulsão. (d) A grandeza que flutua é o dipolo instantâneo do estado fundamental; com $\hbar = 0$ o estado fundamental estaria imóvel e sem dipolo, e a cola de van der Waals — lagartixas, gases liquefeitos, boa parte da matéria mole — desapareceria.

**Exercício 9.11 ★★★.**

Bandas laterais de um íon aprisionado. Um íon numa armadilha harmônica ($f =
1\,\mathrm{MHz}$) absorve luz de laser. Como o íon se move, seu espectro de absorção mostra a linha eletrônica em $\nu_0$ ladeada por linhas em $\nu_0 \pm f$: transições que mudam o número quântico *de movimento* de $\mp1$ ao mesmo tempo que o eletrônico. (a) Quanto vale $\hbar\omega_{\text{arm}}$ em $\mathrm{neV}$, e por que resolver bandas laterais exige uma linha muito estreita? (b) Excitar a linha $\nu_0 - f$ retira um quantum de movimento por ciclo: explique o *resfriamento por banda lateral* até o estado fundamental. (c) Uma vez que $\langle n\rangle \approx
0$, a banda lateral inferior desaparece por completo — por que essa assimetria é uma prova de se ter alcançado o estado fundamental quântico? (d) É assim que o estado fundamental de movimento de um único átomo — e o dos espelhos de escala quilograma do LIGO, por outros meios — é certificado: diga que “temperatura” o íon alcançou para $f = 1\,\mathrm{MHz}$ e $\langle n\rangle = 0.05$.

**Solução de Exercício 9.11.**

(a) $hf = 4.1\,\mathrm{neV}$: a linha óptica precisa ser mais estreita que um megahertz — só as transições “de relógio”, de vida longa, servem. (b) Um fóton da banda lateral vermelha eleva o íon eletronicamente e ao mesmo tempo *retira* um quantum de movimento; o decaimento seguinte devolve, em média, a energia eletrônica na frequência da portadora: cada ciclo extrai $\hbar\omega_{\text{arm}}$ de movimento. (c) A partir de $n = 0$ não sobra nada a retirar: o desaparecimento da banda lateral vermelha é um certificado sem ruído de fundo do estado fundamental. (d) $\langle n\rangle = 0.05$: $T = \hbar\omega/k_{\text{B}}\ln21
\approx 16\,\text{µ}\mathrm{K}$.

**Exercício 9.12 ★★★.**

O limite clássico, quantitativamente. Um oscilador clássico de amplitude $A$ passa em $[x, x + \dd x]$ a fração $\dd
t/T = \dd x/\pi\sqrt{A^2 - x^2}$. (a) Deduza essa distribuição do tempo de permanência. (b) Para o estado quântico $n$, tome $A_n$ de $E_n =
\tfrac12 m\omega^2A_n^2$ e compare a distribuição clássica com o (dado) $|\varphi_n|^2$ promediado localmente: onde as duas concordam e onde precisam diferir? (c) Mostre que o espaçamento relativo entre níveis vizinhos, $\Delta E/E$, se anula como $1/n$: a energia se torna efetivamente contínua. (d) Para o pêndulo do [Exercício 9.8](#exo-b3-harmonic-oscillator-8)(d), estime $n$ e $\Delta
E/E$ e conclua o argumento da correspondência numa frase.

**Solução de Exercício 9.12.**

(a) $\dd t = \dd x/|v|$ com $v = \omega\sqrt{A^2 - x^2}$, ao longo do semiperíodo $T/2 = \pi/\omega$. (b) Elas concordam em médias locais na região classicamente permitida; precisam diferir nos pontos de retorno (divergência clássica, picos quânticos finitos) e além deles (caudas quânticas na região proibida). (c) $\Delta E/E = 1/(n +
\tfrac12)$. (d) $n \sim 3 \times 10^{30}$: espaçamento de uma parte em $10^{30}$ — nenhuma medida concebível resolve a escada, e a mecânica parece contínua.

## 9.5 Problema: A molécula que aquece a Terra

**Problema 9.1.**

Problema de fim de semana — a escada quântica do dióxido de carbono e o efeito estufa

Uma molécula de dióxido de carbono é uma cadeia linear O=C=O: alguns osciladores quantizados. O fato de o $\hbar\omega$ do seu modo de flexão calhar de ficar no meio do brilho térmico que a Terra emite é a razão de esse gás traço — quatro moléculas em dez mil — governar o clima do planeta. Dados: número de onda da flexão $\tilde\nu_2 = 667\,\mathrm{cm}^{-1}$ (a unidade do espectroscopista: $E = hc\tilde\nu$, $1\,\mathrm{cm}^{-1} =
1.24 \times 10^{-4}\,\mathrm{eV}$); estiramento assimétrico $\tilde\nu_3 =
2349\,\mathrm{cm}^{-1}$; estiramento simétrico $\tilde\nu_1 =
1388\,\mathrm{cm}^{-1}$; $k_{\text{B}}T$ a $288\,\mathrm{K}$ vale $24.8\,\mathrm{meV}$; lei de Wien (volume do segundo ano): $\lambda_{\max}T =
2898\,\text{µ}\mathrm{m}\,\mathrm{K}$.

**Parte I — Os modos de uma molécula linear.**

1. Três átomos têm nove [graus de liberdade](https://one-course.com/books/physics/5/pt/chapter/1-mecanica-lagrangiana#def-b3-lagrangian-mechanics-coordinates) : quantos são translações da molécula inteira, quantos são rotações (a molécula é *linear* ) e quantas vibrações restam?
2. Descreva as quatro vibrações: estiramento simétrico, estiramento assimétrico e uma flexão duplamente degenerada — por que a flexão vem duas vezes?
3. A luz se acopla a um *dipolo elétrico* que vibra ( [Exercício 9.4](#exo-b3-harmonic-oscillator-4) ). Que modos do O=C=O modulam o momento de dipolo, e qual deles é silencioso no infravermelho?
4. Converta os três números de onda em comprimentos de onda de fóton e situe-os: quais estão no infravermelho térmico?
5. Por que os dois principais gases do ar, N $_2$ e O $_2$ , quase não absorvem infravermelho algum — e com que consequência para a transparência da atmosfera?
6. O vapor de água, angular e dipolar, absorve em boa parte do infravermelho: em que “janela” espectral a flexão do dióxido de carbono atua praticamente sozinha (compare os $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ com as bandas fortes da água abaixo de $8\,\text{µ}\mathrm{m}$ e acima de $20\,\text{µ}\mathrm{m}$ )?

**Parte II — A escada quântica da flexão.**

7. Calcule $\hbar\omega_2$ em meV e a escada $E_n$ .
8. Que fração das moléculas ocupa $n = 1$ a $288\,\mathrm{K}$ (relativamente a $n = 0$ , pelo fator de Boltzmann)? E $n = 2$ ?
9. Que comprimento de onda de fóton conduz $n = 0 \to 1$ ? Por que o *mesmo* comprimento de onda domina a emissão?
10. Justifique, a partir da escada harmônica, que um único comprimento de onda serve a escada inteira ( $n \to n + 1$ para todo $n$ ): que propriedade do espaçamento entre níveis está em ação?
11. A molécula também gira, acrescentando estrutura fina: o traço de $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ é, na verdade, uma *banda* de cerca de $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ de largura. Por que a *largura* da banda importa para um gás de efeito estufa (pense no que acontece depois que o centro da banda fica opaco)?
12. Um CO $_2$ vibracionalmente excitado no ar tem muito mais chance de perder seu quantum por colisão do que por radiação (vida radiativa $\sim1\,\mathrm{s}$ , tempo de colisão $\sim10^{-9}\,\mathrm{s}$ ): para onde vai, de fato, a energia radiante absorvida?
13. Inversamente, o ar a $288\,\mathrm{K}$ mantém uma população térmica em $n = 1$ (questão 8): o que essa população faz de importante para o balanço de energia?

**Parte III — O balanço radiativo do planeta.**

14. O Sol irradia como um corpo a $5800\,\mathrm{K}$ : calcule seu pico de Wien. A flexão do CO $_2$ intercepta muita luz solar?
15. O solo irradia como um corpo a $288\,\mathrm{K}$ : calcule seu pico de Wien e localize os $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ nessa curva térmica.
16. Explique o mecanismo do efeito estufa em quatro frases: a luz solar que entra, o infravermelho térmico que sai, a interceptação em $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ e a reemissão tanto para cima *quanto* para baixo.
17. A reemissão que escapa para o espaço vem de camadas altas e frias ( $\sim220\,\mathrm{K}$ ): por que emitir de uma camada mais fria reduz a potência que o planeta emite nesses comprimentos de onda (lembre que a emissão térmica cresce com $T$ )?
18. Mais CO $_2$ empurra a camada emissora para cima e para o frio: diga numa frase por que a superfície precisa então se aquecer para reequilibrar as contas.
19. O centro da banda já está opaco; o efeito do CO $_2$ adicional atua nas *asas* da banda, o que dá um crescimento logarítmico do forçamento com a concentração: relacione isso com a questão 11.

**Parte IV — Isótopos: a impressão digital quântica.**

20. A frequência de um oscilador escala como $\sqrt{k/\mu}$ : para o estiramento assimétrico, substituir o $^{12}$ C pelo $^{13}$ C muda a massa efetiva; a linha observada se desloca de $2349\,\mathrm{cm}^{-1}$ para cerca de $2283\,\mathrm{cm}^{-1}$ . Verifique a ordem de grandeza desse deslocamento de $\approx 3\%$ a partir das massas.
21. Lasers sintonizados nessas duas linhas contam separadamente o $^{13}$ CO $_2$ e o $^{12}$ CO $_2$ numa amostra de gás: explique por que a escada quantizada torna possível uma detecção resolvida por isótopo.
22. As plantas preferem o isótopo mais leve, de modo que o carbono fóssil é pobre em $^{13}$ C: o que a razão isotópica medida do CO $_2$ atmosférico fez à medida que sua concentração subiu — e o que isso prova sobre a *fonte* do gás acrescentado?
23. A mesma física dos $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ opera em Vênus ( $96\%$ de CO $_2$ , $90\,\mathrm{bar}$ ): o que a sua superfície a $737\,\mathrm{K}$ ilustra?
24. Marte também respira CO $_2$ quase puro, mas a $6\,\mathrm{mbar}$ , e é gélido: o que o trio Vênus–Terra–Marte demonstra sobre qual variável controla a intensidade do efeito?
25. Resuma o resultado central: um quantum de $83\,\mathrm{meV}$ — o $\hbar\omega$ de um triatômico que se dobra — estacionado em $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ no espectro térmico de um planeta a $288\,\mathrm{K}$ , absorvido, termalizado em nanossegundos e reemitido de altitudes frias, é o mecanismo pelo qual $0.04\%$ do ar fixa a temperatura da Terra.

**Solução de Problema 9.1.**

**1.** Três translações; *duas* rotações (girar em torno do eixo molecular não move nada); $9 - 5 = 4$ vibrações. **2.** Modos de estiramento ao longo do eixo (simétrico: os dois O saem juntos; assimétrico: o C vai e vem entre eles); a flexão pode ocorrer em qualquer um de dois planos perpendiculares — mesma frequência, degenerescência dupla. **3.** O estiramento assimétrico e as flexões afastam os centros de carga: dipolo oscilante, ativo no infravermelho. O estiramento simétrico mantém nulo o dipolo da molécula o tempo todo: silencioso no infravermelho. **4.** $15.0$, $4.26$ e $7.2\,\text{µ}\mathrm{m}$: todos no infravermelho; os $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ ficam bem dentro do infravermelho *térmico* das temperaturas terrestres. **5.** As moléculas homonucleares nunca adquirem dipolo ao vibrar: o grosso da atmosfera é transparente ao infravermelho, e todo o efeito estufa se apoia em gases poliatômicos traço. **6.** Entre as bandas da água fica a janela de $8$–$13\,\text{µ}\mathrm{m}$; a banda de $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ do dióxido de carbono opera na borda dela, onde a água compete fracamente — o gás guarda um portão que a água deixa entreaberto. **7.** $\hbar\omega_2 = 667 \times 1.24 \times 10^{-4} =
82.7\,\mathrm{meV}$; $E_n = (n + \tfrac12) \times 82.7\,\mathrm{meV}$. **8.** $\eu^{-82.7/24.8} = \eu^{-3.33} \approx 3.6\%$ em $n =
1$; $0.13\%$ em $n = 2$: a escada fica levemente, e permanentemente, acesa. **9.** $\lambda = hc/\hbar\omega \to 15.0\,\text{µ}\mathrm{m}$; o mesmo espaçamento que absorve é o espaçamento que emite — um comprimento de onda nos dois sentidos. **10.** Espaçamento igual: todo passo $n \to n + 1$ custa o mesmo fóton, de modo que uma única linha serve a toda a população térmica. **11.** Cada linha vibracional se desdobra em muitas linhas rotacional-vibracionais espalhadas por $\sim1\,\text{µ}\mathrm{m}$: uma vez que o centro da banda esteja completamente opaco, só essa *largura* oferece absorção nova — as asas da banda são onde o gás extra ainda age. **12.** As colisões vencem por nove ordens de grandeza: a energia do fóton é repartida com N$_2$ e O$_2$ em nanossegundos — a radiação absorvida vira *calor do ar*. **13.** Pelas mesmas colisões no sentido inverso, o ar continua alimentando moléculas em $n = 1$, que irradiam $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ em todas as direções — inclusive para *baixo*: o próprio céu brilha no infravermelho sobre o solo. **14.** $2898/5800 = 0.50\,\text{µ}\mathrm{m}$: a luz solar tem pico no visível, longe dos $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ — o dióxido de carbono deixa o Sol entrar. **15.** $2898/288 = 10.1\,\text{µ}\mathrm{m}$: o brilho da Terra tem pico em dez mícrons, e os $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ ficam em seu ombro largo, levando uma parcela substancial da potência que sai. **16.** A luz solar entra quase sem obstáculo e aquece o solo. O solo reemite no infravermelho térmico. Em $15\,\text{µ}\mathrm{m}$ essa radiação é absorvida em poucos metros e termalizada. O ar aquecido reemite tanto para cima quanto para baixo, e a metade que desce é receita extra para a superfície: ela precisa se aquecer até que a saída iguale a entrada. **17.** A emissão cresce abruptamente com a temperatura: a radiação que escapa de uma altitude a $220\,\mathrm{K}$ leva muito menos potência do que a superfície teria enviado diretamente — a banda é uma mancha mais escura no espectro de saída do planeta. **18.** Com a potência de saída reduzida a insolação fixa, toda a coluna — superfície incluída — precisa se aquecer até que as contas fechem de novo. **19.** Centro saturado, asas ativas: cada dobra da quantidade de gás alarga a região opaca por um incremento parecido, o que dá um forçamento aproximadamente logarítmico — as asas da questão 11 fazendo o trabalho. **20.** A frequência do estiramento assimétrico, ao quadrado, escala como $(1/m_{
\text{O}} + 2/m_{\text{C}})$: a razão para $^{13}$C sobre $^{12}$C vale $\sqrt{0.2163/0.2292} = 0.971$ — uma queda de $2.9\%$, que bate com $2283/2349$. **21.** A quantização dá a cada isotopólogo seu próprio pente nítido de linhas; um laser estacionado num pente conta um só isótopo — impossível se a absorção fosse um contínuo clássico. **22.** À medida que o CO$_2$ subiu, sua fração de $^{13}$C *caiu* (o efeito Suess): o carbono acrescentado é isotopicamente leve — feito por plantas, enterrado há muito tempo, isto é, fóssil. A atmosfera carrega a assinatura da própria fonte. **23.** Vênus: o mesmo quantum de $15\,\text{µ}\mathrm{m}$, aplicado a uma coluna $200000$ vezes maior, mantém uma superfície mais quente que um forno — o mecanismo não tem teto embutido. **24.** Marte, quase puro CO$_2$ e ainda assim gelado, mostra que são a *quantidade da coluna e a pressão* (que alarga as linhas), e não a fração do gás, que fixam a intensidade. **25.** Um quantum de $83\,\mathrm{meV}$ em $15\,\text{µ}\mathrm{m}$, absorvido no ombro térmico de um planeta a $288\,\mathrm{K}$, termalizado em nanossegundos e reemitido de alturas frias: a escada do oscilador harmônico, pesada contra a lei de Wien, é a maquinaria pela qual quatro moléculas em dez mil governam um clima.