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Quantitative Finance · Glosario

¿Qué es Carr–Madan formula?

También llamado: Carr--Madan formula

Definition 24.3 Derivatives and Volatility · Capítulo 24 — Fourier Pricing and Calibration Engineering

The Carr–Madan formula writes the damped call $e^{\alpha k}C(k)$ , $\alpha>0$ , as a Fourier integral in the log-strike: with $F=1$ ,

C(k)=\frac{e^{-\alpha k}}{\pi}\int_0^\infty\operatorname{Re}\bigl(e^{-ivk}\psi(v)\bigr)dv,\qquad \psi(v)=\frac{P(0,T)\,\varphi\bigl(v-(\alpha+1)i\bigr)}{\alpha^2+\alpha-v^2+i(2\alpha+1)v},

which on a grid in $v$ and $k$ is a discrete Fourier transform: the fast Fourier transform returns the calls on a whole grid of log-strikes at once.

Largest error over 17 strikes of a one-year Heston call against the number of terms or grid points: COS converges exponentially to the reference; the FFT converges fast and then stalls on its interpolation and damping errors. Data: the tutorial. — Figure 24.1. Largest error over 17 strikes of a one-year Heston call against the number of terms or grid points: COS converges exponentially to the reference; the FFT converges fast and then stalls on its interpolation and damping errors. Data: the tutorial.

Ejemplos

Example 24.4 (Three pricers, one smile)

One-year calls in chapter 10’s base Heston model, at 17 strikes from 60 to 140, against a reference (the Lewis integral by Gauss–Legendre panels to $u=1\,000$ , accurate to about $10^{-9}$ ; at the money it gives 6.7509). The COS method’s largest error is 0.012 with 64 terms, $8.6\times10^{-5}$ with 128 and $4.1\times10^{-7}$ with 256. Carr–Madan with interpolation between the grid’s log-strikes reaches $2.1\times10^{-4}$ with 1 024 points, $1.8\times10^{-6}$ with 4 096, and stalls near $2\times10^{-7}$ (Figure 24.1). The truncation interval matters as much as the terms. With $[a,b]$ at twelve standard deviations instead of sixteen, COS stops at $3.0\times10^{-5}$ however many terms it gets, because Heston’s left tail is fatter than a normal’s.

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