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Quantitative Finance · Glosario

¿Qué es Change of measure?

También llamado: equivalent measures · Radon--Nikodym derivative · density process

Definition 1.14 Quantitative Methods · Capítulo 1 — Probability at Speed

Two probability measures $\P$ and $\mathbb Q$ on $(\Omega, \mathcal F)$ are equivalent measures if they have the same null sets. A change of measure from $\P$ to an equivalent $\mathbb Q$ is described by the Radon–Nikodym derivative $Z = d\mathbb Q/d\P$ , the almost surely unique positive random variable with $\mathbb Q(A) = \E[Z\mathbf 1_A]$ for all $A \in \mathcal F$ ; then $\E^{\mathbb Q}[X] = \E[ZX]$ . Along a filtration, the density process is $Z_t = \E_t[Z]$ , the Radon–Nikodym derivative of $\mathbb Q$ restricted to $\mathcal F_t$ .

Ejemplos

Example 1.16 (Shifting a Gaussian, and seeing a far tail)

Let $X \sim \mathcal N(0, 1)$ under $\P$ and $Z = \exp(cX - c^2/2)$ . Then $\E^{\mathbb Q}[e^{\iu uX}] = \E[e^{(c + \iu u)X - c^2/2}] = e^{\iu uc - u^2/2}$ : under $\mathbb Q$ , $X \sim \mathcal N(c, 1)$ . The change of measure has moved the mean without touching the shape. Run it backwards to estimate $p = \P(X > 4) = 3.17 \times 10^{-5}$ : sample $Y \sim \mathcal N(4, 1)$ and average $e^{-4Y + 8}\mathbf 1_{\{Y > 4\}}$ , the indicator reweighted by $d\P/d\mathbb Q$ . With 100 000 draws, plain sampling sees three exceedances and has a standard error of $1.7 \times 10^{-5}$ , half the answer; the reweighted estimate has a standard error of $2.1 \times 10^{-7}$ , eighty times smaller. Chapter 26 turns this into importance sampling, and chapter 5 does the same computation for whole Brownian paths.

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