Apa itu tabel karakter? — Matematika

Definisi 5.14 Matematika Universitas — Tahun 3 · Bab 5 — Representasi Grup Berhingga

Yang disebut tabel karakter dari $G$ adalah matriks $r \times r$ $\bigl(\chi_i(g_j)\bigr)$ : barisnya diindeks oleh karakter tak tereduksi, kolomnya oleh kelas konjugasi (dengan ukurannya ditampilkan). Barisnya ortonormal terhadap hasil kali berbobot itu, dan kolomnya ortogonal (Akibat 5.12): jadi tabelnya sangat berlebih ditentukan, dan justru itulah yang membuatnya terhitungkan.

Contoh

Contoh 5.15 (Tabel $S_3$ )

Kelasnya: $e$ (berukuran 1), transposisi (3), siklus- $3$ (2); jadi ada $r = 3$ representasi tak tereduksi, berderajat $n_i$ dengan $\sum n_i^2 = 6$ : yakni $1, 1, 2$ . Berderajat $1$ : yang trivial $\mathbf 1$ dan tanda $\varepsilon$ . Baris terakhirnya menyusul dari ortogonalitas kolom (atau dari $\chi_{\mathrm{std}} = \chi_{\mathrm{perm}} - \mathbf 1$ ):

\begin{array}{c|ccc} S_3 & e & (1\,2)\ [3] & (1\,2\,3)\ [2]\\ \hline \mathbf 1 & 1 & 1 & 1\\ \varepsilon & 1 & -1 & 1\\ \chi_{\mathrm{std}} & 2 & 0 & -1 \end{array}

Periksa: $\langle\chi_{\mathrm{std}},\chi_{\mathrm{std}}\rangle = \frac{1}{6}(4 + 0 + 2) = 1$ : jadi tak tereduksi.

Contoh 5.16 (Tabel $S_4$ )

Kelasnya: $e$ [1], transposisi [6], transposisi ganda [3], siklus- $3$ [8], siklus- $4$ [6]: jadi lima representasi tak tereduksi, dengan $\sum n_i^2 = 24$ dan dua karakter berderajat $1$ ( $\mathbf 1, \varepsilon$ ; sebab $[S_4 : D(S_4)] = [S_4 : A_4] = 2$ ): derajatnya $1, 1, 2, 3, 3$ . Yang berderajat $2$ terangkat dari $S_4/V \cong S_3$ (Proposisi 5.13(b), dengan $V$ grup Klein); sedangkan yang berderajat $3$ : representasi baku dan puntirannya oleh $\varepsilon$ :

\begin{array}{c|ccccc} S_4 & e\,[1] & (1\,2)\,[6] & (1\,2)(3\,4)\,[3] & (1\,2\,3)\,[8] & (1\,2\,3\,4)\,[6]\\ \hline \mathbf 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ \varepsilon & 1 & -1 & 1 & 1 & -1\\ \chi_2 & 2 & 0 & 2 & -1 & 0\\ \chi_{\mathrm{std}} & 3 & 1 & -1 & 0 & -1\\ \varepsilon\chi_{\mathrm{std}} & 3 & -1 & -1 & 0 & 1 \end{array}

( $\chi_{\mathrm{std}}(g) = \operatorname{fix}(g) - 1$ ; sedangkan $\chi_2$ menilai tabel $S_3$ pada peta setiap kelasnya modulo $V$ .) Semua pemeriksaan ortogonalitas baris dan kolomnya lulus — menjalankan dua di antaranya adalah pemanasan Latihan 5.3.

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait