Apa itu representasi?

Contoh 5.2

(a) Derajat $1$: yaitu morfisma $G \to \C^\times$. (b) Adapun representasi reguler: $V = \C^G$ dengan basis $(e_h)_{h \in G}$ dan $\rho(g)e_h = e_{gh}$; berderajat $\abs G$. (c) Aksi permutasi $G$ pada himpunan berhingga $X$ memberikan representasi permutasi pada $\C^X$: $\rho(g)e_x = e_{g\cdot x}$. (d) Grup $S_n$ beraksi pada $\C^n$ dengan mempermutasikan koordinatnya; hiperbidang $\{\sum x_i = 0\}$ bersifat invarian: itulah representasi baku, yang berderajat $n - 1$.

Contoh 5.15 (Tabel $S_3$)

Kelasnya: $e$ (berukuran 1), transposisi (3), siklus-$3$ (2); jadi ada $r = 3$ representasi tak tereduksi, berderajat $n_i$ dengan $\sum n_i^2 = 6$: yakni $1, 1, 2$. Berderajat $1$: yang trivial $\mathbf 1$ dan tanda $\varepsilon$. Baris terakhirnya menyusul dari ortogonalitas kolom (atau dari $\chi_{\mathrm{std}} = \chi_{\mathrm{perm}} - \mathbf 1$):

Periksa: $\langle\chi_{\mathrm{std}},\chi_{\mathrm{std}}\rangle = \frac{1}{6}(4 + 0 + 2) = 1$: jadi tak tereduksi.

Contoh 5.16 (Tabel $S_4$)

Kelasnya: $e$ [1], transposisi [6], transposisi ganda [3], siklus-$3$ [8], siklus-$4$ [6]: jadi lima representasi tak tereduksi, dengan $\sum n_i^2 = 24$ dan dua karakter berderajat $1$ ($\mathbf 1, \varepsilon$; sebab $[S_4 : D(S_4)] = [S_4 : A_4] = 2$): derajatnya $1, 1, 2, 3, 3$. Yang berderajat $2$ terangkat dari $S_4/V \cong S_3$ (Proposisi 5.13(b), dengan $V$ grup Klein); sedangkan yang berderajat $3$: representasi baku dan puntirannya oleh $\varepsilon$:

($\chi_{\mathrm{std}}(g) = \operatorname{fix}(g) - 1$; sedangkan $\chi_2$ menilai tabel $S_3$ pada peta setiap kelasnya modulo $V$.) Semua pemeriksaan ortogonalitas baris dan kolomnya lulus — menjalankan dua di antaranya adalah pemanasan Latihan 5.3.