ما معنى قابلية القسمة؟

مثال 6.3 (الترقيم الموضعي بالقسمة المتكررة)

اكتب $2026$ في الأساس $7$. اقسم مرارًا على $7$، محتفظًا بالبواقي:

وبقراءة البواقي من الأخير إلى الأول: $2026 = (5\,6\,2\,3)_7$. وللتحقق: $5 \times 343 + 6 \times 49 + 2 \times 7 + 3 = 1715 + 294 + 14 + 3 = 2026$. ووحدانية القسمة الإقليدية هي بالضبط ما يجعل كل رقم مفروضًا: ففي كل خطوة يكون الباقي هو العدد الصحيح الوحيد في $\intint06$ الموافق للقيمة الحالية بترديد $7$، فتكون الكتابة في الأساس $7$ وحيدة — وهي الواقعة المستعملة ضمنًا كلما تلاعبت مسألة نهاية الأسبوع بعبارة «أرقام $n$ في الأساس $p$».

مثال 6.9 (حلّ معادلة ديوفانتية خطية)

جد كل $(x, y) \in \Z^2$ يحقق $6x + 10y = 4$. أولًا اختبار الوجود: القاسم $\gcd(6, 10) = 2$ يقسم $4$، فتوجد حلول (فلو لم يقسم القاسم المشترك الأكبر الطرفَ الأيمن لكان الطرف الأيسر دائمًا مضاعفًا له ولما وُجد أيّ حلّ). واقسم الجميع: $3x + 5y = 2$. والحل الخاص مرئيّ: $(x_0, y_0) = (-1, 1)$. وأمّا العام فاطرح: $3(x + 1) = -5(y - 1)$، ومنه $3 \mid 5(y-1)$، وتعطي مبرهنة غاوس المساعدة (إذ $\gcd(3,5) = 1$) أن $3 \mid y - 1$: أي $y = 1 - 3k$، ثم $x = -1 + 5k$. وبالعكس فكل زوج كهذا يفي بالغرض:

والنمط عام: حلّ خاص واحد زائد المضاعفات الصحيحة للمقدار $\bigl(\frac b{\gcd}, -\frac a{\gcd}\bigr)$ — وهي بنية «الخاص زائد المتجانس» نفسها التي في الفصل 5، مع قيام مبرهنة غاوس المساعدة بدور الوحدانية.