Qu'est-ce que « Divisibilité » ?

Exemple 6.3 (Numération de position par divisions successives)

Écrivons $2026$ en base $7$. Divisons de façon répétée par $7$, en conservant les restes :

En lisant les restes du dernier au premier : $2026 = (5\,6\,2\,3)_7$. Vérification : $5 \times 343 + 6 \times 49 + 2 \times 7 + 3 = 1715 + 294 + 14 + 3 = 2026$. L’unicité dans la division euclidienne est exactement ce qui rend chaque chiffre forcé : à chaque étape, le reste est le seul entier de $\intint06$ congru à la valeur courante modulo $7$, de sorte que l’écriture en base $7$ est unique — fait utilisé silencieusement chaque fois que le devoir maison manipule « les chiffres de $n$ en base $p$ ».

Exemple 6.9 (Résolution d’une équation diophantienne linéaire)

Cherchons tous les $(x, y) \in \Z^2$ tels que $6x + 10y = 4$. D’abord le test d’existence : $\gcd(6, 10) = 2$ divise $4$, donc il y a des solutions (si le PGCD ne divisait pas le second membre, le premier membre en serait toujours un multiple et il n’y en aurait aucune). Divisons tout par $2$ : $3x + 5y = 2$. Une solution particulière saute aux yeux : $(x_0, y_0) = (-1, 1)$. Pour la solution générale, soustrayons : $3(x + 1) = -5(y - 1)$, donc $3 \mid 5(y-1)$, et le lemme de Gauss ($\gcd(3,5) = 1$) donne $3 \mid y - 1$ : $y = 1 - 3k$, puis $x = -1 + 5k$. Réciproquement, tout couple de cette forme convient :

Le schéma est général : une solution particulière plus les multiples entiers de $\bigl(\frac b{\gcd}, -\frac a{\gcd}\bigr)$ — la même structure « particulière plus homogène » qu’au Chapitre 5, le lemme de Gauss y jouant le rôle de l’unicité.