Wat is Deelbaarheid?

Voorbeeld 6.3 (Positiestelsels door herhaald delen)

Schrijf $2026$ in grondtal $7$. Deel herhaaldelijk door $7$ en houd de resten bij:

Lees je de resten van laatst naar eerst, dan is $2026 = (5\,6\,2\,3)_7$. Controle: $5 \times 343 + 6 \times 49 + 2 \times 7 + 3 = 1715 + 294 + 14 + 3 = 2026$. De uniciteit van de euclidische deling is precies wat elk cijfer afdwingt: bij elke stap is de rest het enige gehele getal in $\intint06$ dat congruent is met de huidige waarde modulo $7$, zodat de schrijfwijze in grondtal $7$ uniek is — het feit dat stilzwijgend gebruikt wordt telkens als de weekendopgave met “de cijfers van $n$ in grondtal $p$” werkt.

Voorbeeld 6.9 (Een lineaire diofantische vergelijking oplossen)

Bepaal alle $(x, y) \in \Z^2$ met $6x + 10y = 4$. Eerst de bestaanstoets: $\gcd(6, 10) = 2$ deelt $4$, dus zijn er oplossingen (deelde de ggd het rechterlid niet, dan zou het linkerlid altijd een veelvoud ervan zijn en zou er geen enkele zijn). Deel door: $3x + 5y = 2$. Een particuliere oplossing springt in het oog: $(x_0, y_0) = (-1, 1)$. Voor de algemene trek je af: $3(x + 1) = -5(y - 1)$, dus $3 \mid 5(y-1)$, en het lemma van Gauss ($\gcd(3,5) = 1$) geeft $3 \mid y - 1$: $y = 1 - 3k$, waarna $x = -1 + 5k$. Omgekeerd voldoet elk zo’n paar:

Het patroon is algemeen: één particuliere oplossing plus de geheeltallige veelvouden van $\bigl(\frac b{\gcd}, -\frac a{\gcd}\bigr)$ — dezelfde structuur “particulier plus homogeen” als in Hoofdstuk 5, met het lemma van Gauss in de rol van de uniciteit.