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Quantitative Finance · Glosario

¿Qué es Fractional Brownian motion?

Definition 17.11 Quantitative Methods · Capítulo 17 — Linear Time Series

Fractional Brownian motion with Hurst exponent $H \in (0, 1)$ is the centred Gaussian process with $B_H(0) = 0$ and $\E[B_H(t)B_H(s)] = \frac12(t^{2H} + s^{2H} - |t - s|^{2H})$ (Mandelbrot and Van Ness, 1968). For $H = \frac12$ it is Brownian motion; for $H > \frac12$ its increments are positively correlated with power-law decay, for $H < \frac12$ negatively.

Autocorrelations of a long-memory process (ARFIMA with d = 0.3: 20 000 simulated observations and the exact (h) = _i h(i - 1 + d)/(i - d), a straight line of slope 2d - 1 on these axes) and of an AR(1) with the same lag-one autocorrelation, which decays geometrically. Data: the chapter’s tutorial, seeded. — Figure 17.4. Autocorrelations of a long-memory process (ARFIMA with $d = 0.3$ : 20 000 simulated observations and the exact $\rho(h) = \prod_{i \le h}(i - 1 + d)/(i - d)$ , a straight line of slope $2d - 1$ on these axes) and of an AR(1) with the same lag-one autocorrelation, which decays geometrically. Data: the chapter’s tutorial, seeded.

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