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Quantitative Finance · Glosario

¿Qué es Variance gamma model?

Definition 13.6 Derivatives and Volatility · Capítulo 13 — Jumps and Lévy Models

The variance gamma model runs a Brownian motion with drift $\theta$ and volatility $\sigma$ on a random clock $g_t$ , a gamma process with mean rate one and variance rate $\nu$ (a subordinator, One Quant Book 4, chapter 6): $x_t=\omega t+\theta g_t+\sigma W_{g_t}$ , with $\omega$ set so that $\E[e^{x_t}]=1$ . Its characteristic function is $\E[e^{iux_t}]=e^{iu\omega t}\bigl(1-iu\theta\nu+\frac12\sigma^2\nu u^2\bigr)^{-t/\nu}$ , and $\omega=\frac1\nu\ln\bigl(1-\theta\nu-\frac12\sigma^2\nu\bigr)$ .

Ejemplos

Example 13.7 (Moments that fade)

For the Merton model fitted above, the skewness of the log-return is $-2.90$ at one week, $-1.39$ at one month and $-0.40$ at one year, and the excess kurtosis 15.2, 3.5 and 0.29: exactly the $T^{-1/2}$ and $T^{-1}$ laws. The fitted variance gamma model is within a few percent of the same numbers, since both were fitted to the same month. That is why a Lévy model fitted at one expiry cannot fit the others. The market’s skew decays like $T^{-0.44}$ (chapter 12), close to the Lévy exponent $-\frac12$ at short expiries, but at long expiries it is held up by the persistence of volatility, which no Lévy process has.

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