सर्वांगसमता क्या है?

उदाहरण 6.19 (नवशेष परीक्षण)

$+$ और $\times$ के साथ अनुकूलता उतनी ही पुरानी जाँच-युक्ति है जितना व्यापार। चूँकि $10 \equiv 1 \pmod 9$, प्रत्येक पूर्णांक $9$ के सापेक्ष अपने अंकों के योग के सर्वांगसम है (उपपत्ति अभ्यास 6.2 में)। दावा $1234 \times 567 = 699\,678$ जाँचने के लिए: अंकों के योग $1234 \equiv 1$ और $567 \equiv 18 \equiv 0 \pmod 9$ देते हैं, अतः गुणनफल $\equiv 1 \times 0 = 0$ होना चाहिए; और सचमुच $6 + 9 + 9 + 6 + 7 + 8 = 45 \equiv 0$। जाँच पास हो जाती है (और गुणनफल वस्तुतः सही है)। यदि किसी ने $699\,478$ बताया होता, तो अंकों का योग $43 \equiv 7 \not\equiv 0$ उसे तुरंत पकड़ लेता। यह परीक्षण एकपक्षीय है — वह भूल तभी पकड़ता है जब भूल स्वयं $9$ का गुणज न हो — और यह छोटे पैमाने पर ठीक उदाहरण 6.24 वाला छद्म-अभाज्य पाठ है: सर्वांगसमता की जाँच खंडन करती है, प्रमाणित नहीं करती।

उदाहरण 6.21 ($26$ के सापेक्ष $7$ का प्रतिलोम)

चूँकि $\gcd(7, 26) = 1$, $7$ का वर्ग $26$ के सापेक्ष व्युत्क्रमणीय है। विस्तारित यूक्लिड:

फिर उलटी दिशा में:

अतः $7 \times (-11) \equiv 1 \pmod{26}$, अर्थात् $7^{-1} \equiv -11 \equiv 15 \pmod{26}$; जाँच: $7 \times 15 = 105 = 4 \times 26 + 1$। प्रतिलोम हाथ में होने पर कोई भी सर्वांगसमता $7x \equiv c \pmod{26}$ एक ही गुणा में हल हो जाती है: $x \equiv 15c$। यही यांत्रिक प्रतिलोमन मापांकी अंकगणित का परिश्रमी घोड़ा है — और टिप्पणी 6.27 में उल्लिखित सार्वजनिक-कुंजी प्रोटोकॉलों का भी, जहाँ मापांक सैकड़ों अंकों के होते हैं पर कलनविधि ठीक यही है।

उदाहरण 6.22 (जब गुणांक व्युत्क्रमणीय न हो)

$12x \equiv 8 \pmod{20}$ हल कीजिए। यहाँ $\gcd(12, 20) = 4$, अतः $12$ $20$ के सापेक्ष व्युत्क्रमणीय नहीं है — फिर भी समीकरण साधा जा सकता है। सर्वांगसमता कहती है $20 \mid 12x - 8$; पूरे संबंध को $4$ (तीनों सामग्रियों का भाजक) से भाग देने पर वह $5 \mid 3x - 2$ के तुल्य है, अर्थात्

अब $\gcd(3, 5) = 1$ और $3^{-1} \equiv 2 \pmod 5$ ($3 \times 2 = 6 \equiv 1$), अतः $x \equiv 4 \pmod 5$: हल $x \equiv 4, 9, 14, 19 \pmod{20}$ हैं — अर्थात् $20$ के सापेक्ष चार वर्ग, जो महत्तम समापवर्तक से मेल खाते हैं। (यदि दायाँ पक्ष $4$ से विभाज्य न होता, मान लीजिए $12x \equiv 6 \pmod{20}$, तो कोई हल होता ही नहीं: बायाँ पक्ष सदा $\equiv 0 \pmod 4$ रहता है।) व्यापक आकार: $ax \equiv b \pmod n$ तभी हल हो सकता है जब $\gcd(a, n) \mid b$, और तब उसके ठीक $\gcd(a, n)$ हल-वर्ग होते हैं — सब कुछ महत्तम समापवर्तक से भाग दीजिए और प्रतिलोम लीजिए।