सम्मिश्र क्षेत्र क्या है?

उदाहरण 3.3 (मापांक और कोणांक का पूरा अभ्यास)

$w = \dfrac{3 + 4\iu}{1 - 2\iu}$ को बीजीय रूप में लिखिए और उसका मापांक दो बार संगणित कीजिए। हर के संयुग्मी से गुणा करने पर:

सीधे: $\abs w = \sqrt{1 + 4} = \sqrt5$। भागफल के नियम (प्रतिज्ञप्ति 3.2 (3)) से: $\abs w = \frac{\abs{3 + 4\iu}}{\abs{1 - 2\iu}} = \frac5{\sqrt5} = \sqrt5$ — वही उत्तर, और बीजीय रूप की कोई आवश्यकता नहीं। यह शिक्षा सामान्य है: मापांक और कोणांक गुणनफल तथा भागफल से होकर अच्छी तरह जाते हैं, और वास्तविक तथा काल्पनिक भाग योगों से होकर। जो निरूपण सामने की संक्रियाओं से मेल खाता हो उसे चुनिए, और बदलिए तभी जब विवश होना पड़े।

उदाहरण 3.4 (संयुग्मी वाले समीकरण)

$\C$ में हल कीजिए: $\;z + 2\conj z = 6 + 2\iu$। $z$ और $\conj z$ को मिलाने वाला समीकरण $z$ में बहुपद नहीं है; भरोसेमंद चाल है वास्तविक निर्देशांकों में तोड़ देना। $z = x + \iu y$ के साथ:

अतः समीकरण $3x = 6$ और $-y = 2$ कहता है: अद्वितीय हल $z = 2 - 2\iu$ है। (जाँच: $(2 - 2\iu) + 2(2 + 2\iu) = 6 + 2\iu$।) वैकल्पिक रूप से, पूरे समीकरण का संयुग्मी लेकर $\conj z + 2z = 6 - 2\iu$ प्राप्त कीजिए और अज्ञातों $z, \conj z$ में रैखिक निकाय हल कीजिए — वही उत्तर, और गुणांकों के सम्मिश्र होने पर यह उपयोगी युक्ति है। $z$ और $\conj z$ वाले समीकरण वस्तुतः दो वास्तविक समीकरणों के निकाय हैं; यहाँ “घात $1$, एक हल” की अपेक्षा सुरक्षित है, पर $z\conj z = -1$ (कोई हल नहीं) दिखाता है कि गुणनफल आते ही बहुपदीय अंतर्ज्ञान विफल हो जाता है।

उदाहरण 3.15 ($-27$ के घनमूल)

$z^3 = -27$ हल कीजिए। दाएँ पक्ष का चरघातांकी रूप: $-27 = 27\,\eu^{\iu\pi}$, अतः तीनों मूल हैं

दो जाँच। पहली, वास्तविक मूल $-3$ स्पष्ट है, और शेष दो $\pm\frac{2\pi}3$ से उसके घूर्णन हैं — समतुल्य रूप से $-3j$ और $-3j^2$। दूसरी, बीजगणित पुष्टि करता है: $z^3 + 27 = (z + 3)(z^2 - 3z + 9)$, और द्विघात का विविक्तकर $9 - 36 = -27 < 0$ है, जिसके मूल $\frac{3 \pm 3\iu\sqrt3}2 = z_0, \conj{z_0}$ हैं। सार: वास्तविक दाएँ पक्षों के लिए अवास्तविक मूल सदा संयुग्मी जोड़ों में आते हैं, अतः हल-समुच्चय का चित्र वास्तविक अक्ष के सापेक्ष सममित होता है — अध्याय 8 की वास्तविक गुणनखंडन प्रमेय की एक झलक।