ما معنى النهاية العليا للأحداث؟

مثال 21.24 (ترجمة “عددا لانهائيا من المرات” و“في النهاية”)

متمم $\limsup_nA_n$ هو، بحسب دي مورغان،

كبيرة أي الحدث “في النهاية، يفشل $A_n$” (ويُكتب $\liminf_nA_n^c$). ومنه فإن “$A_n$ عددا لانهائيا من المرات” و“$A_n^c$ في النهاية” متتامان — والحفاظ على وضوح هذا المعجم يمنع معظم حوادث المكمّمات. وترجمات نموذجية من أجل رمي قطعة نقود: “عدد لانهائي من الصور” هو $\limsup\{X_n = H\}$؛ و“عدد منته فقط من السلاسل ذات $100$ صورة” هو متمم نهاية عليا؛ و“التواتر الجاري يتقارب نحو $\frac12$” هو $\bigcap_j\bigcup_N\bigcap_{n\geq N}\{\abs{\widehat p_n - \tfrac12} < \tfrac1j\}$ — وكلها عمليات قابلة للعد، ومنه فكل هذه أحداث صادقة.

مثال 21.26 (سلاسل لانهائية من الصور)

نرمي قطعة نقود متزنة إلى الأبد، ونجعل $A_n$ الحدث “الرميات $n, n+1, \dots, n + k - 1$ كلها صور” (أي سلسلة من $k$ صورة تبدأ عند الزمن $n$)، من أجل $k$ ثابتة. والأحداث $A_{jk}$ ($j = 1, 2, \dots$)، المتعلقة بكتل منفصلة من الرميات، مستقلة، واحتمال كل منها $2^{-k}$، و$\sum_j 2^{-k} = \infty$: ومنه، بحسب بوريل–كانتيلي 2، يكون عدد لانهائي من الكتل كله صورا باحتمال $1$ — أي إن كل نمط ثابت يتكرر عددا لانهائيا من المرات، بشكل شبه أكيد. وبالعكس، إذا تركنا طول السلسلة ينمو، فإن $B_n = {}$“تبدأ سلسلة من $2\log_2 n$ صورة عند $n$” له $\P(B_n) = n^{-2}$ قابلا للجمع، ومنه فإن عددا منتهيا فقط من هذه السلاسل الطويلة يبدأ بشكل شبه أكيد: فبوريل–كانتيلي تعاير بدقة كم يبلغ طول أطول السلاسل.