Qu'est-ce que « Limite supérieure d’événements » ?

Exemple 21.24 (Traduire « une infinité de fois » et « à partir d’un certain rang »)

Le complémentaire de $\limsup_nA_n$ est, par de Morgan,

l’événement « à partir d’un certain rang, $A_n$ échoue » (noté $\liminf_nA_n^c$). Ainsi « $A_n$ une infinité de fois » et « $A_n^c$ à partir d’un certain rang » sont complémentaires — garder ce dictionnaire au clair prévient la plupart des accidents de quantificateurs. Traductions types pour le lancer de pièce : « une infinité de piles » est $\limsup\{X_n = H\}$ ; « seulement un nombre fini de suites de $100$ piles » est le complémentaire d’une limsup ; « la fréquence courante converge vers $\frac12$ » est $\bigcap_j\bigcup_N\bigcap_{n\geq N}\{\abs{\widehat p_n - \tfrac12} < \tfrac1j\}$ — des opérations dénombrables partout, donc toutes celles-ci sont d’honnêtes événements.

Exemple 21.26 (Suites infinies de piles)

Lançons une pièce équilibrée indéfiniment, et soit $A_n$ l’événement « les lancers $n, n+1, \dots, n + k - 1$ sont tous piles » (une suite de $k$ piles commençant à l’instant $n$), pour $k$ fixé. Les événements $A_{jk}$ ($j = 1, 2, \dots$), dépendant de blocs disjoints de lancers, sont indépendants, chacun de probabilité $2^{-k}$, et $\sum_j 2^{-k} = \infty$ : par Borel–Cantelli 2, avec probabilité $1$ une infinité de blocs sont tout-piles — tout motif fixé se reproduit une infinité de fois, presque sûrement. Réciproquement, si l’on laisse la longueur de la suite croître, $B_n = {}$« une suite de $2\log_2 n$ piles commence à $n$ » a $\P(B_n) = n^{-2}$ sommable, de sorte que presque sûrement seul un nombre fini de telles longues suites commencent : Borel–Cantelli calibre précisément quelle longueur ont les plus longues suites.