Wat is Limes superior van gebeurtenissen?

Voorbeeld 21.24 (“Oneindig vaak” en “uiteindelijk” vertaald)

Het complement van $\limsup_nA_n$ is volgens de Morgan

de gebeurtenis “uiteindelijk faalt $A_n$” (geschreven $\liminf_nA_n^c$). Dus zijn “$A_n$ oneindig vaak” en “$A_n^c$ uiteindelijk” complementair — dit woordenboek recht houden voorkomt de meeste ongelukken met kwantoren. Voorbeeldvertalingen voor het muntwerpen: “oneindig veel kop” is $\limsup\{X_n = H\}$; “slechts eindig veel reeksen van $100$ maal kop” is het complement van een limsup; “de lopende frequentie convergeert naar $\frac12$” is $\bigcap_j\bigcup_N\bigcap_{n\geq N}\{\abs{\widehat p_n - \tfrac12} < \tfrac1j\}$ — overal aftelbare bewerkingen, zodat dit alle eerlijke gebeurtenissen zijn.

Voorbeeld 21.26 (Oneindige reeksen kop)

Werp eeuwig met een eerlijke munt, en zij $A_n$ de gebeurtenis “de worpen $n, n+1, \dots, n + k - 1$ zijn alle kop” (een reeks van $k$ maal kop die op tijdstip $n$ begint), voor vaste $k$. De gebeurtenissen $A_{jk}$ ($j = 1, 2, \dots$), die van disjuncte blokken worpen afhangen, zijn onafhankelijk, elk met kans $2^{-k}$, en $\sum_j 2^{-k} = \infty$: volgens Borel–Cantelli 2 zijn met kans $1$ oneindig veel blokken volledig kop — elk vast patroon keert bijna zeker oneindig vaak terug. Laten wij omgekeerd de lengte van de reeks groeien, dan heeft $B_n = {}$“een reeks van $2\log_2 n$ maal kop begint in $n$” de kans $\P(B_n) = n^{-2}$, sommeerbaar, dus beginnen er bijna zeker slechts eindig veel van zulke lange reeksen: Borel–Cantelli ijkt precies hoe lang de langste reeksen zijn.