¿Qué es Límite superior de sucesos?

Ejemplo 21.24 (Traducir “infinitas veces” y “a partir de cierto punto”)

El complementario de $\limsup_nA_n$ es, por De Morgan,

el suceso “a partir de cierto punto, $A_n$ falla” (escrito $\liminf_nA_n^c$). Así pues, “$A_n$ infinitas veces” y “$A_n^c$ a partir de cierto punto” son complementarios; tener claro este diccionario evita la mayoría de los accidentes con cuantificadores. Traducciones de muestra para el lanzamiento de moneda: “infinitas caras” es $\limsup\{X_n = H\}$; “solo un número finito de rachas de $100$ caras” es el complementario de un límite superior; “la frecuencia acumulada converge a $\frac12$” es $\bigcap_j\bigcup_N\bigcap_{n\geq N}\{\abs{\widehat p_n - \tfrac12} < \tfrac1j\}$; operaciones numerables en todos los casos, así que todos ellos son sucesos honestos.

Ejemplo 21.26 (Rachas infinitas de caras)

Lánzese una moneda equilibrada para siempre y sea $A_n$ el suceso “los lanzamientos $n, n+1, \dots, n + k - 1$ son todos caras” (una racha de $k$ caras que empieza en el instante $n$), con $k$ fijo. Los sucesos $A_{jk}$ ($j = 1, 2, \dots$), que dependen de bloques disjuntos de lanzamientos, son independientes, cada uno de probabilidad $2^{-k}$, y $\sum_j 2^{-k} = \infty$: por Borel–Cantelli 2, con probabilidad $1$ hay infinitos bloques de solo caras; todo patrón fijo se repite infinitas veces, casi seguramente. Recíprocamente, si dejamos crecer la longitud de la racha, $B_n = {}$“una racha de $2\log_2 n$ caras empieza en $n$” tiene $\P(B_n) = n^{-2}$ sumable, de modo que casi seguramente solo empiezan un número finito de rachas tan largas: Borel–Cantelli calibra con precisión cuán largas son las rachas más largas.