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Quantitative Finance · Glosario

¿Qué es Kolmogorov equations, stationary distribution?

También llamado: Kolmogorov backward equation · Kolmogorov forward equation · Fokker--Planck equation · stationary distribution

Definition 4.11 Quantitative Methods · Capítulo 4 — Stochastic Differential Equations

For $u(t, x) = \E[g(X_T) \mid X_t = x]$ , the Kolmogorov backward equation is $\partial_tu + \mathcal Lu = 0$ with $u(T, \cdot) = g$ . The transition density $p(t, y)$ of $X_t$ solves the Kolmogorov forward equation, also called the Fokker–Planck equation, $\partial_tp = \mathcal L^*p = -\partial_y(\mu p) + \tfrac12\partial_{yy}(\sigma^2p)$ . A stationary distribution of a Markov process is a law that, taken as the law of $X_0$ , is the law of every $X_t$ ; for a diffusion its density solves $\mathcal L^*p = 0$ .

Stationary laws of the square-root process with = 2, v = 0.04: histograms of 50 000 exact paths after five years (steps) against the Gamma law that solves L*p = 0, averaged over each bin (dots). With the desk’s = 0.6 the density piles up at zero; with = 0.2 zero is unattainable. Data: the chapter’s tutorial, seeded. — Figure 4.3. Stationary laws of the square-root process with $\kappa = 2$ , $\bar v = 0.04$ : histograms of 50 000 exact paths after five years (steps) against the Gamma law that solves $\mathcal L^*p = 0$ , averaged over each bin (dots). With the desk’s $\eta = 0.6$ the density piles up at zero; with $\eta = 0.2$ zero is unattainable. Data: the chapter’s tutorial, seeded.

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