अभाज्य संख्या क्या है? — गणित

परिभाषा 64.5 प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · अध्याय 64 — अंकगणित: भाजक और अभाज्य संख्याएँ

अभाज्य संख्या ऐसा पूर्णांक $\geq 2$ है जिसके भाजक सिर्फ़ $1$ और वह ख़ुद हों। $30$ से छोटी अभाज्य संख्याएँ ये हैं:

2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29 .

संख्या $1$ अभाज्य नहीं है (यह तय की हुई बात है), और $2$ या उससे बड़ा जो पूर्णांक अभाज्य नहीं होता उसे संयुक्त कहते हैं।

360 का गुणनखंड-वृक्ष: हर क़दम सबसे छोटा अभाज्य गुणनखंड (लाल में) अलग कर देता है। लाल पत्तियाँ और आख़िरी 5 पढ़ने पर: 360 = 23 × 32 × 5। — $360$ का गुणनखंड-वृक्ष: हर क़दम सबसे छोटा अभाज्य गुणनखंड (लाल में) अलग कर देता है। लाल पत्तियाँ और आख़िरी $5$ पढ़ने पर: $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ ।

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परिभाषा 6.12 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · अध्याय 6 — पूर्णांक अंकगणित

पूर्णांक $p \geq 2$ अभाज्य तब कहलाता है जब उसके एकमात्र धनात्मक भाजक $1$ और $p$ हों। अभाज्य $p$ और $a \in \Z$ के लिए: या तो $p \mid a$ , या $\gcd(p, a) = 1$ । फलस्वरूप (प्रमेय 6.8) यूक्लिड की प्रमेयिका सत्य है: यदि $p \mid ab$ , तो $p \mid a$ या $p \mid b$ ।

उदाहरण

उदाहरण 6.24 (फर्मा का विलोम विफल है: $341$ )

फर्मा की लघु प्रमेय एक सस्ता भाज्यता परीक्षण देती है: यदि $n$ से सहअभाज्य किसी $a$ के लिए $a^{n-1} \not\equiv 1 \pmod n$ , तो $n$ अभाज्य नहीं है। क्या यह परीक्षण अभाज्यता प्रमाणित भी कर सकता है? नहीं: $n = 341 = 11 \times 31$ , जो भाज्य है, और $a = 2$ लीजिए। चूँकि $2^{10} = 1024 = 3 \times 341 + 1$ ,

2^{10} \equiv 1 \pmod{341} \qquad\Longrightarrow\qquad 2^{340} = \bigl(2^{10}\bigr)^{34} \equiv 1 \pmod{341} :

भाज्य $341$ आधार $2$ के लिए फर्मा-परीक्षण पास कर जाता है (वह लघुतम ऐसा छद्म-अभाज्य है)। आधार $3$ उसका मुखौटा उतार देता है ( $3^{340} \not\equiv 1$ ), और इसीलिए व्यावहारिक अभाज्यता-परीक्षण अनेक आधारों पर परीक्षण चलाते हैं, कुछ परिष्करणों के साथ — इसी विचार के औद्योगिक रूप ही टिप्पणी 6.27 के बड़े अभाज्यों को प्रमाणित करते हैं। उपदेश: निहितार्थ और उसका विलोम अलग-अलग जीवन जीते हैं (टिप्पणी 1.10), प्रमेयों के लिए भी।

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उदाहरण

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