प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय गणित · Grades 1–9

64अंकगणित: भाजक और अभाज्य संख्याएँ

अंकगणित पूर्ण संख्याओं का और इस बात का अध्ययन करता है कि वे एक दूसरे में कैसे बँटती हैं। इसके मुख्य पात्र अभाज्य संख्याएँ हैं — वे ईंटें जिन्हें गुणा करके हर पूर्णांक खड़ा किया जाता है। अध्याय महत्तम समापवर्तक पर ख़त्म होता है, जो भिन्नों को एक ही बार और हमेशा के लिए सरल कर देने का सही औज़ार है। यह कहानी हाई-स्कूल खंड में और उससे भी आगे बहुत दूर तक चलती है।

64.1 भाजक और गुणज

परिभाषा 64.1 (भाजक, गुणज)

मान लो $a$ और $b$ धन पूर्णांक हैं। हम कहते हैं कि $b$ , $a$ का भाजक है (या यह कि $a$ , $b$ का गुणज है) जब किसी पूर्णांक $k$ के लिए $a = b \times k$ हो — यानी जब $a$ में $b$ का भाग देने पर शेषफल $0$ बचे।

उदाहरण 64.2

$24$ के भाजक $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ हैं — वे जोड़ों में आते हैं जिनका गुणनफल $24$ होता है: $(1,24)$ , $(2,12)$ , $(3,8)$ , $(4,6)$ । $7$ के गुणज $7, 14, 21, 28, \dots$ हैं।

प्रतिज्ञप्ति 64.3 (विभाज्यता की तरकीबें)

कोई पूर्णांक विभाज्य होता है:

$2$ से, जब उसका आख़िरी अंक सम हो ( $0, 2, 4, 6, 8$ );
$5$ से, जब उसका आख़िरी अंक $0$ या $5$ हो;
$10$ से, जब उसका आख़िरी अंक $0$ हो;
$3$ से (क्रमशः $9$ से), जब उसके अंकों का योगफल $3$ से (क्रमशः $9$ से) विभाज्य हो;
$4$ से, जब उसके आख़िरी दो अंक मिलकर $4$ से विभाज्य संख्या बनाएँ।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

उदाहरण 64.4

$7\,215$ के आख़िर में $5$ है: यह $5$ से विभाज्य है। इसके अंकों का योगफल $7 + 2 + 1 + 5 = 15$ है, जो $3$ से विभाज्य है पर $9$ से नहीं: इसलिए $7\,215$ , $3$ से विभाज्य है और $9$ से नहीं। सचमुच $7\,215 = 3 \times 5 \times 481$ है।

64.2 अभाज्य संख्याएँ

परिभाषा 64.5 (अभाज्य संख्या)

अभाज्य संख्या ऐसा पूर्णांक $\geq 2$ है जिसके भाजक सिर्फ़ $1$ और वह ख़ुद हों। $30$ से छोटी अभाज्य संख्याएँ ये हैं:

2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29 .

संख्या $1$ अभाज्य नहीं है (यह तय की हुई बात है), और $2$ या उससे बड़ा जो पूर्णांक अभाज्य नहीं होता उसे संयुक्त कहते हैं।

प्रमेय 64.6 (अभाज्य गुणनखंडन)

$2$ या उससे बड़ा हर पूर्णांक अभाज्य संख्याओं का गुणनफल होता है, और यह गुणनखंडन गुणनखंडों के क्रम को छोड़कर अकेला है।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

विधि 64.7 (किसी पूर्णांक का गुणनखंडन)

सबसे छोटी संभव अभाज्य संख्या से बार-बार भाग देते जाओ, जब तक $1$ न आ जाए:

जब तक संख्या सम है, $2$ आज़माओ;
फिर $3$ , फिर $5$ , फिर $7$ , … (सिर्फ़ अभाज्य संख्याएँ);
जब भागफल $1$ हो जाए तब रुको; गुणनखंडों को घातांकों के साथ इकट्ठा कर लो।

सिर्फ़ उन अभाज्य संख्याओं $p$ को आज़माना काफ़ी है जिनके लिए $p^2$ मौजूदा संख्या से बड़ा न हो: अगर उनमें से कोई उसका भाजक नहीं है, तो संख्या ख़ुद अभाज्य है।

उदाहरण 64.8

$360$ का गुणनखंडन करो, एक बार में एक भाग:

360 = 2 \times 180, \quad 180 = 2 \times 90, \quad 90 = 2 \times 45, \quad 45 = 3 \times 15, \quad 15 = 3 \times 5,

तो

360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5 .

360 का गुणनखंड-वृक्ष: हर क़दम सबसे छोटा अभाज्य गुणनखंड (लाल में) अलग कर देता है। लाल पत्तियाँ और आख़िरी 5 पढ़ने पर: 360 = 23 × 32 × 5। — $360$ का गुणनखंड-वृक्ष: हर क़दम सबसे छोटा अभाज्य गुणनखंड (लाल में) अलग कर देता है। लाल पत्तियाँ और आख़िरी $5$ पढ़ने पर: $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ ।

प्रमेय 64.9 (यूक्लिड)

अभाज्य संख्याएँ अनंत हैं।

उपपत्ति. मान लो वे गिनी-चुनी ही होतीं, कहो $p_1, p_2, \dots, p_k$ , और इस संख्या पर नज़र डालो:

N = p_1 \times p_2 \times \dots \times p_k + 1 .

$N$ में किसी भी $p_i$ का भाग देने पर शेषफल $1$ बचता है, इसलिए कोई भी $p_i$ , $N$ का भाजक नहीं है। पर $N \geq 2$ का कम से कम एक अभाज्य भाजक होता ही है (प्रमेय 64.6) — और वह अभाज्य संख्या हमारी सूची में नहीं है। विरोधाभास: कोई भी सीमित सूची सारी अभाज्य संख्याएँ नहीं समेट सकती। ∎

64.3 महत्तम समापवर्तक

परिभाषा 64.10 (महत्तम समापवर्तक)

दो धन पूर्णांकों $a$ और $b$ का महत्तम समापवर्तक वह सबसे बड़ा पूर्णांक है जो दोनों का भाजक हो; उसे $\gcd(a, b)$ लिखा जाता है। जब $\gcd(a, b) = 1$ हो, तब दोनों पूर्णांक सह-अभाज्य कहलाते हैं: $1$ के सिवा उनका कोई साझा भाजक नहीं होता।

उदाहरण 64.11

$18$ के भाजक: $1, 2, 3, 6, 9, 18$ । $24$ के भाजक: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ । साझा भाजक: $1, 2, 3, 6$ ; इसलिए $\gcd(18, 24) = 6$ । पूर्णांक $15$ और $28$ सह-अभाज्य हैं।

प्रतिज्ञप्ति 64.12 (गुणनखंडन से महत्तम समापवर्तक)

दो पूर्णांकों का महत्तम समापवर्तक उन अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है जो दोनों गुणनखंडनों में आती हैं, और हर एक को अपने दो घातांकों में से छोटे घातांक के साथ लिया जाता है।

उपपत्ति. इस स्तर पर स्वीकृत। ∎

उदाहरण 64.13

$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ और $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ । साझा अभाज्य संख्याएँ: $2$ (घातांक $3$ और $2$ : $2$ रखो) और $3$ (घातांक $2$ और $1$ : $1$ रखो)। इसलिए

\gcd(360, 84) = 2^2 \times 3 = 12 .

प्रमेय 64.14 (यूक्लिड की विधि)

अगर $a = bq + r$ , $a$ में $b$ का शेषफल $r$ वाला भाग है, तो

\gcd(a, b) = \gcd(b, r).

शेषफल $0$ हो जाने तक भाग दोहराते रहने पर $a$ और $b$ का महत्तम समापवर्तक आख़िरी शून्येतर शेषफल होता है।

उपपत्ति. $a = bq + r$ से: जो पूर्णांक $b$ और $r$ दोनों का भाजक है, वह $bq + r = a$ का भी भाजक है; और $r = a - bq$ से: जो पूर्णांक $a$ और $b$ दोनों का भाजक है, वह $r$ का भी भाजक है। इसलिए युग्मों $(a, b)$ और $(b, r)$ के साझा भाजक बिलकुल एक ही हैं — ख़ास तौर पर उनमें सबसे बड़ा भी एक ही है। शेषफल हर क़दम पर घटते जाते हैं, इसलिए विधि रुक जाती है, और $\gcd(x, 0) = x$ से आख़िरी शून्येतर शेषफल ही उत्तर बन जाता है। ∎

उदाहरण 64.15

$\gcd(1071, 462)$ निकालो:

\begin{align*} 1071 &= 462 \times 2 + 147, \\ 462 &= 147 \times 3 + 21, \\ 147 &= 21 \times 7 + 0 . \end{align*}

आख़िरी शून्येतर शेषफल $21$ है: $\gcd(1071, 462) = 21$ ।

विधि 64.16 (किसी भिन्न को पूरी तरह सरल करना)

$\dfrac ab$ को सबसे सरल रूप में लिखने के लिए:

$d = \gcd(a, b)$ निकालो, जैसे यूक्लिड की विधि से;
अंश और हर दोनों में $d$ का भाग दो: $\dfrac ab = \dfrac{a \div d}{b \div d}$ ;
जो भिन्न मिलती है वह अलघुकरणीय है: उसका अंश और हर सह-अभाज्य होते हैं।

उदाहरण 64.17

$\dfrac{462}{1071} = \dfrac{462 \div 21}{1071 \div 21} = \dfrac{22}{51}$ , और $\gcd(22, 51) = 1$ : अलघुकरणीय।

64.4 अभ्यास

अभ्यास 64.1 ★

$36$ , $45$ और $17$ के सारे भाजक लिखो।

हल

हल — अभ्यास 64.1.

$36$ के भाजक: $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ । $45$ के भाजक: $1, 3, 5, 9, 15, 45$ । $17$ के भाजक: सिर्फ़ $1$ और $17$ ( $17$ अभाज्य है)।

अभ्यास 64.2 ★

विभाज्यता की तरकीबों से बताओ कि $2\,346$ , $2$ से, $3$ से, $4$ से, $5$ से और $9$ से विभाज्य है या नहीं।

हल

हल — अभ्यास 64.2.

$2\,346$ के आख़िर में $6$ है: यह $2$ से विभाज्य है, $5$ से नहीं। अंकों का योगफल $2 + 3 + 4 + 6 = 15$ : $3$ से विभाज्य, $9$ से नहीं। आख़िरी दो अंक $46$ हैं, और $46 = 4 \times 11 + 2$ , $4$ से विभाज्य नहीं है: इसलिए $2\,346$ भी $4$ से विभाज्य नहीं है।

अभ्यास 64.3 ★

$72$ , $150$ , $210$ और $121$ का अभाज्य गुणनखंडन करो।

हल

हल — अभ्यास 64.3.

$72 = 2^3 \times 3^2$ ; $150 = 2 \times 3 \times 5^2$ ; $210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7$ ; $121 = 11^2$ .

अभ्यास 64.4 ★

क्या $101$ अभाज्य है? क्या $91$ ? क्या $143$ ? विधि 64.7 के रुकने के नियम से कारण बताओ।

हल

हल — अभ्यास 64.4.

$101$ : उन अभाज्य संख्याओं $p$ को आज़माओ जिनके लिए $p^2 \leq 101$ , यानी $2, 3, 5, 7$ । इनमें से कोई भी $101$ का भाजक नहीं है (यह विषम है, अंकों का योगफल $2$ है, आख़िर में $0$ या $5$ नहीं है, $101 = 7 \times 14 + 3$ ): इसलिए $101$ अभाज्य है।

$91 = 7 \times 13$ : अभाज्य नहीं।

$143 = 11 \times 13$ : अभाज्य नहीं।

अभ्यास 64.5 ★

$\gcd(48, 60)$ दो तरीक़ों से निकालो: साझा भाजक गिनाकर, और अभाज्य गुणनखंडनों से।

हल

हल — अभ्यास 64.5.

$48$ और $60$ के साझा भाजक: $48$ के भाजक $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $6$ , $8$ , $12$ , $16$ , $24$ , $48$ हैं; $60$ के भाजक $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $10$ , $12$ , $15$ , $20$ , $30$ , $60$ हैं; साझा भाजक $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $6$ , $12$ हैं, इसलिए $\gcd(48,60) = 12$ ।

गुणनखंडन से: $48 = 2^4 \times 3$ और $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ ; साझा अभाज्य संख्याएँ छोटे घातांकों के साथ: $2^2 \times 3 = 12$ ।

अभ्यास 64.6 ★★

यूक्लिड की विधि से $\gcd(255, 154)$ निकालो, फिर $\gcd(1053, 325)$ । भाग की हर पंक्ति लिखो।

हल

हल — अभ्यास 64.6.

$\gcd(255, 154)$ :

\begin{align*} 255 &= 154 \times 1 + 101, \\ 154 &= 101 \times 1 + 53, \\ 101 &= 53 \times 1 + 48, \\ 53 &= 48 \times 1 + 5, \\ 48 &= 5 \times 9 + 3, \\ 5 &= 3 \times 1 + 2, \\ 3 &= 2 \times 1 + 1, \\ 2 &= 1 \times 2 + 0 . \end{align*}

आख़िरी शून्येतर शेषफल: $\gcd(255, 154) = 1$ (ये सह-अभाज्य हैं)।

$\gcd(1053, 325)$ :

\begin{align*} 1053 &= 325 \times 3 + 78, \\ 325 &= 78 \times 4 + 13, \\ 78 &= 13 \times 6 + 0 . \end{align*}

$\gcd(1053, 325) = 13$ .

अभ्यास 64.7 ★★

भिन्न $\dfrac{588}{504}$ को अलघुकरणीय बनाओ। (महत्तम समापवर्तक अपनी पसंद की विधि से निकालो, फिर भाग दो।)

हल

हल — अभ्यास 64.7.

यूक्लिड की विधि: $588 = 504 \times 1 + 84$ ; $504 = 84 \times 6 + 0$ : इसलिए $\gcd(588, 504) = 84$ । फिर

\frac{588}{504} = \frac{588 \div 84}{504 \div 84} = \frac{7}{6},

जो अलघुकरणीय है।

अभ्यास 64.8 ★★

एक फूलवाली के पास $84$ गुलाब और $126$ ट्यूलिप हैं। वह सारे फूल इस्तेमाल करके एक जैसे गुलदस्ते बनाना चाहती है, और गुलदस्ते जितने ज़्यादा हो सकें उतने। वह कितने गुलदस्ते बना सकती है, और हर एक में क्या-क्या होगा?

हल

हल — अभ्यास 64.8.

गुलदस्तों की गिनती $84$ और $126$ दोनों का भाजक होनी चाहिए; सबसे बड़ी संभव गिनती $\gcd(84, 126)$ है। गुणनखंडन: $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ और $126 = 2 \times 3^2 \times 7$ , इसलिए महत्तम समापवर्तक $2 \times 3 \times 7 = 42$ है। वह $42$ गुलदस्ते बना सकती है, और हर एक में $\frac{84}{42} = 2$ गुलाब तथा $\frac{126}{42} = 3$ ट्यूलिप होंगे।

अभ्यास 64.9 ★★

दो नावें एक ही घाट से 8:00 बजे चलती हैं। एक हर $24$ मिनट पर छूटती है, दूसरी हर $36$ मिनट पर। अगली बार वे एक साथ किस समय छूटेंगी? ( $24$ और $36$ का सबसे छोटा साझा गुणज ढूँढ़ो; गुणनखंडन मदद करते हैं।)

हल

हल — अभ्यास 64.9.

हमें सबसे छोटा साझा गुणज चाहिए। $24 = 2^3 \times 3$ और $36 = 2^2 \times 3^2$ ; हर अभाज्य संख्या को बड़े घातांक के साथ लेने पर $\lcm = 2^3 \times 3^2 = 72$ । नावें अगली बार 8:00 के $72$ मिनट बाद, यानी 9:12 पर एक साथ छूटेंगी।

अभ्यास 64.10 ★★★

मान लो $n$ कोई धन पूर्णांक है।

दिखाओ कि $\gcd(n, n+1) = 1$ (लगातार आने वाले पूर्णांक हमेशा सह-अभाज्य होते हैं)।
इससे नतीजा निकालो कि भिन्न $\dfrac{n}{n+1}$ हमेशा अलघुकरणीय होती है।

हल

हल — अभ्यास 64.10.

1. $n$ और $n+1$ का जो भी साझा भाजक $d$ हो, वह उनके अंतर $(n+1) - n = 1$ का भी भाजक है, इसलिए $d = 1$ : $\gcd(n, n+1) = 1$ ।

2. कोई भिन्न अलघुकरणीय ठीक तभी होती है जब उसका अंश और हर सह-अभाज्य हों, और भाग 1 के अनुसार $n$ तथा $n + 1$ के साथ यही हाल है।

64.5 समस्या: पानी के घड़े, सिकाडा और सौ लॉकर

समस्या 64.1

सप्ताहांत समस्या — महत्तम समापवर्तक तय करता है कि दो घड़ों से कौन-कौन सी मात्राएँ नापी जा सकती हैं; अभाज्य संख्याएँ सिकाडों को बचाती हैं; और खुले रह जाने वाले लॉकर पूर्ण वर्ग हैं

तीन पहेलियाँ जो पहेली लगती हैं और असल में अंकगणित हैं: बिना निशान वाले घड़ों से पानी नापना (भेस बदले हुए महत्तम समापवर्तक), कीड़ों के वे जीवन-चक्र जो विकास के साथ अभाज्य हो गए, और सौ लॉकरों की वह मशहूर गैलरी जिसकी आख़िरी हालत भाजक गिनने से तय होती है। सब कुछ इसी अध्याय की मशीनरी पर चलता है: विभाज्यता, अभाज्य गुणनखंडन (प्रमेय 64.6) और यूक्लिड की विधि (प्रमेय 64.14)।

भाग I — पानी के घड़े। तुम एक फ़व्वारे के पास खड़े हो, और तुम्हारे पास बिना निशान वाले दो घड़े हैं: $5$ L का और $3$ L का। जो चालें चल सकते हो: किसी घड़े को मुँह तक भरना, किसी घड़े को पूरा ख़ाली करना, एक घड़े को दूसरे में तब तक उड़ेलना जब तक पहला ख़ाली न हो जाए या दूसरा भर न जाए।

ठीक $1$ L नापो। (अपनी चालों का क्रम लिखो, और हर चाल के बाद दोनों घड़ों में कितना पानी है यह भी।)
ठीक $4$ L नापो — एक मशहूर ऐक्शन फ़िल्म वाली पहेली। (छह चालों में हो जाता है।)
$1$ से $8$ तक कौन-कौन से पूरे लीटर तुम दिखा सकते हो (किसी एक घड़े में, या दोनों में बँटे हुए)? अपनी चालों को दोहराते हुए सूची पूरी करो।
नए घड़े: $6$ L का और $4$ L का। $1$ L नापने की कोशिश करो — फिर समझाओ कि यह क्यों नामुमकिन है: जाँचो कि तीनों चालें हर घड़े का पानी $2$ का गुणज ही बनाए रखती हैं, इसलिए जो भी मात्रा पहुँच में है वह सम है।
सवाल 4 का तर्क आम तौर पर चलता है: $a$ और $b$ लीटर के घड़ों से जो भी मात्रा पहुँच में है वह $\gcd(a, b)$ का गुणज होती है। $\gcd(6, 4)$ और $\gcd(5, 3)$ निकालो, और बताओ कि घड़ों के हर जोड़े के लिए यह नियम क्या कहता है।

भाग II — फ़व्वारे पर यूक्लिड।

यूक्लिड की विधि से निकालो: $\gcd(91, 65)$ और $\gcd(2\,026, 46)$ ।
अपने शब्दों में समझाओ कि घड़ों में जो मात्राएँ उभरती हैं वे भेस बदले हुए यूक्लिड के शेषफल क्यों हैं: $13$ L और $5$ L के घड़ों से छोटे घड़े को बार-बार भरो और बड़े में उड़ेलो (बड़ा भर जाए तो उसे ख़ाली कर दो)। सबसे पहले कौन-सी नई मात्राएँ आती हैं — और उनकी तुलना $(13, 5)$ के लिए यूक्लिड की विधि के शेषफलों से करो।
अब चैंपियन वाला उत्तर निकालो: $13$ और $5$ लीटर के घड़ों से क्या तुम ठीक $1$ L नाप सकते हो? सवाल 5 और $\gcd(13, 5)$ से एक पंक्ति में कारण बताओ।
अभ्यास 64.10 की तरह सह-अभाज्यता का एक फुर्तीला प्रमाण: दिखाओ कि हर धन पूर्णांक $n$ के लिए $\gcd(n, 2n + 1) = 1$ है। ( $n$ और $2n + 1$ के साझा भाजक को किस संख्या का भाजक होना पड़ेगा?)
दो बसें 7:00 बजे एक साथ अड्डे से चलती हैं; एक हर $12$ मिनट पर छूटती है, दूसरी हर $18$ मिनट पर। दोनों के अगले छूटने के समय लिखो और वह पहला पल ढूँढ़ो जब वे फिर एक साथ छूटती हैं। इसी उदाहरण पर वह सुंदर नियम जाँचो: (पहला साझा गुणज) $\times$ $\gcd$ $=$ दोनों संख्याओं का गुणनफल — और उसे $5$ तथा $3$ पर फिर से आज़माओ।

भाग III — सिकाडा, भाजक और लॉकर।

उत्तर अमेरिका के कुछ सिकाडा हर $17$ साल में ही ज़मीन से बाहर आते हैं; मान लो किसी शिकारी की आबादी हर $4$ साल में चरम पर पहुँचती है। अगर इस साल दोनों हुए, तो कितने साल बाद बाहर आना फिर किसी चरम से टकराएगा? वही सवाल अगर सिकाडों का चक्र $16$ साल का होता — तब वे कितनी बार मारे जाते? एक वाक्य में समझाओ कि विकास ने चक्र की लंबाई अभाज्य की ओर क्यों धकेली।
गुणनखंडन $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ की मदद से $360$ के भाजक बिना गिनाए गिनो: कोई भाजक $2$ के लिए एक घातांक चुनता है (चार विकल्प: $0, 1, 2, 3$ ), $3$ के लिए एक, और $5$ के लिए एक। कुल कितने भाजक हुए?
दिखाओ कि किसी पूर्ण वर्ग $n = m^2$ के गुणनखंडन में हर अभाज्य संख्या का घातांक सम होता है। इससे बिना कोई वर्गमूल निकाले यह नतीजा निकालो कि $360$ पूर्ण वर्ग नहीं है।
$n$ के हर भाजक $d$ को उसके साथी $\frac{n}{d}$ के साथ जोड़ी में रखो ( $n = 36$ के लिए: $1 \leftrightarrow 36$ , $2 \leftrightarrow 18$ , $3 \leftrightarrow 12$ , $4 \leftrightarrow 9$ , $6 \leftrightarrow 6$ )। कोई भाजक अपना ही साथी कब होता है? इससे कसौटी निकालो: $n$ के भाजकों की गिनती विषम तभी होती है जब $n$ पूर्ण वर्ग हो। इसे $36$ पर और $360$ पर जाँचो।
सौ लॉकर। लॉकर $1$ से $100$ तक शुरू में बंद हैं। पहला विद्यार्थी हर लॉकर की हालत पलट देता है; दूसरा लॉकर $2, 4, 6, \dots$ पलटता है; $k$ -वाँ विद्यार्थी $k$ के गुणज पलटता है; और ऐसे ही सौवें विद्यार्थी तक। समझाओ कि लॉकर $n$ को कौन-कौन से विद्यार्थी छूते हैं, वह कितनी बार पलटता है, और — सवाल 14 की मदद से — आख़िर में ठीक कौन-से लॉकर खुले रह जाते हैं। कितने खुले हैं?

हल

हल — समस्या 64.1.

1. $3$ वाला घड़ा भरो और उसे $5$ वाले में उड़ेल दो (बड़े में $0$ से $3$ )। $3$ वाला फिर भरो और $5$ वाले में तब तक उड़ेलो जब तक वह भर न जाए: बड़े घड़े में सिर्फ़ $2$ और समाते हैं, इसलिए बचते हैं

3 - 2 = 1 \text{ L छोटे घड़े में।}

चालें: $3$ भरो; $3 \to 5$ उड़ेलो; $3$ फिर भरो; $3 \to 5$ उड़ेलो।

2. $5$ वाला भरो; उसे $3$ वाले में उड़ेलो (बड़े में $2$ बचते हैं); $3$ वाला ख़ाली करो; वे $2$ लीटर $3$ वाले में डाल दो; $5$ वाला भरो; उसे $3$ वाले में तब तक उड़ेलो जब तक वह भर न जाए — उसमें $1$ जाता है, और बड़े घड़े में $\mathbf{4}$ L बच जाते हैं। छह चालें।

3. सब के सब: $1$ (सवाल 1), $2$ (सवाल 2 की दो चालों के बाद), $3$ और $5$ (एक-एक घड़ा भरकर), $4$ (सवाल 2), $6 = 3 + 3$ (भरा हुआ छोटा घड़ा और बड़े में उड़ेले हुए $3$ ), $7 = 5 + 2$ , $8 = 5 + 3$ (दोनों भरे हुए)। $1$ से $8$ L तक हर पूरी मात्रा $5$ और $3$ वाले घड़ों से नापी जा सकती है।

4. शुरू में दोनों घड़ों में $0$ है, जो $2$ का गुणज है। भरने पर किसी घड़े में $6$ या $4$ आता है: सम। ख़ाली करने पर $0$ : सम। उड़ेलने पर पानी उन घड़ों के बीच जाता है जिनकी मात्राएँ सम थीं, और जितना उड़ेला जाता है वह सम संख्याओं का अंतर है (बची हुई जगह, या मौजूद पानी): इसलिए सारी मात्राएँ हमेशा सम ही रहती हैं। $1$ L जैसा विषम लक्ष्य पहुँच से बाहर है।

5. $\gcd(6, 4) = 2$ : सिर्फ़ सम मात्राएँ — सवाल 4 ने यही पक्का किया। $\gcd(5, 3) = 1$ : नियम हर पूरी मात्रा की इजाज़त देता है, और सवाल 3 ने वे सब बना भी दीं। महत्तम समापवर्तक ही घड़ों की नाप की इकाई है।

6. $91 = 1 \times 65 + 26$ ; $65 = 2 \times 26 + 13$ ; $26 = 2 \times 13 + 0$ : इसलिए $\gcd(91, 65) = 13$ । और $2\,026 = 44 \times 46 + 2$ ; $46 = 23 \times 2 + 0$ : $\gcd(2\,026, 46) = 2$ ।

7. $5$ वाले घड़े को $13$ वाले में बार-बार उड़ेलो: दो बार भरने के बाद बड़े में $10$ हैं; तीसरी बार भरने पर उसमें सिर्फ़ $3$ समाते हैं, और छोटे में $5 - 3 = 2$ बच जाते हैं — $13$ में $5$ का शेषफल $3$ था, और मात्राएँ $3$ (बची जगह) तथा $2$ (बचा पानी) ठीक यूक्लिड की संख्याएँ हैं ( $13 = 2 \times 5 + 3$ , $5 = 1 \times 3 + 2$ )। आगे चलने पर $3 - 2 = 1$ उभरता है: विधि का अगला शेषफल। फ़व्वारा यूक्लिड के भाग पानी से कर रहा है।

8. $\gcd(13, 5) = 1$ , इसलिए सवाल 5 का नियम हर पूरी मात्रा की इजाज़त देता है — और सवाल 7 की लड़ी ने सचमुच $1$ L बना भी दिया। हाँ।

9. $n$ और $2n + 1$ का कोई भी साझा भाजक $2n + 1 - 2 \times n = 1$ का भी भाजक है: इसलिए वह $1$ ही हो सकता है। यानी हमेशा $\gcd(n, 2n+1) = 1$ ।

10. पहली बस: 7:12, 7:24, 7:36, 7:48, 8:00 …; दूसरी बस: 7:18, 7:36, 7:54 … पहली साझा रवानगी: 7:36, यानी $36$ मिनट बाद — $12$ और $18$ का पहला साझा गुणज। नियम: $36 \times \gcd(12, 18) = 36 \times 6 = 216 = 12 \times 18$ । $5$ और $3$ के लिए: पहला साझा गुणज $15$ , और $15 \times \gcd(5,3) = 15 \times 1 = 15 = 5 \times 3$ ।

11. $17$ साल के चक्र के साथ: अगली मुलाक़ात $17$ और $4$ के पहले साझा गुणज पर होगी; और चूँकि $\gcd(17, 4) = 1$ है, वह $17 \times 4 = 68$ साल बाद है — यानी चार बार बाहर आने में एक ही बार सिकाडा चरम से टकराते हैं। $16$ साल के चक्र के साथ: $16$ , $4$ का गुणज है, इसलिए हर बार बाहर आना किसी चरम से टकराएगा। अभाज्य लंबाई वाला चक्र किसी भी छोटे शिकारी-चक्र के साथ कोई गुणनखंड साझा नहीं करता, इसलिए मुलाक़ातें जितनी दूर-दूर हो सकती हैं उतनी हो जाती हैं: अंकगणित ही छलावरण बन जाता है।

12. $2$ के लिए घातांक के चार विकल्प, $3$ के लिए तीन और $5$ के लिए दो: कुल $4 \times 3 \times 2 = 24$ भाजक।

13. अगर $m = 2^{a} \times 3^{b} \times \cdots$ हो, तो $m^2 = 2^{2a} \times 3^{2b} \times \cdots$ : हर घातांक दुगना हो जाता है, यानी सम। पर $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ में $2$ और $5$ के घातांक विषम हैं: इसलिए $360$ पूर्ण वर्ग नहीं है।

14. कोई भाजक अपना ही साथी तभी होता है जब $d = \frac nd$ हो, यानी $n = d^2$ : ऐसा बीच वाला भाजक सिर्फ़ वर्गों के पास होता है। बाक़ी हर $n$ के भाजक जोड़ों में बँट जाते हैं, यानी उनकी गिनती सम होती है। इसलिए: भाजकों की विषम गिनती $\Leftrightarrow$ पूर्ण वर्ग। जाँच: $36$ के भाजक $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ हैं — नौ, यानी विषम, और $36 = 6^2$ ; जबकि $360$ के $24$ भाजक हैं (सवाल 12), यानी सम, और वह कोई वर्ग नहीं है (सवाल 13)।

15. लॉकर $n$ को हर वह विद्यार्थी $k$ एक बार पलटता है जिसकी संख्या $n$ का भाजक है: यानी कुल उतनी बार जितने $n$ के भाजक हैं। कोई लॉकर आख़िर में खुला तब रहता है जब वह विषम बार पलटा गया हो — सवाल 14 के अनुसार ठीक तभी जब $n$ पूर्ण वर्ग हो। खुले लॉकर: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$ — कुल दस।