¿Qué es Número primo? — Matemáticas

Definición 64.5 Matemáticas de primaria y secundaria · Capítulo 64 — Aritmética: divisores y números primos

Un número primo es un número entero $\geq 2$ cuyos únicos divisores son $1$ y él mismo. Los primos menores que $30$ son

2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29 .

El número $1$ no es primo (por convenio), y un número entero $\geq 2$ que no es primo se llama compuesto.

El árbol de factores de 360: cada paso separa el factor primo más pequeño (en rojo). Leyendo las hojas rojas y el 5 final: 360 = 23 × 32 × 5. — El árbol de factores de $360$ : cada paso separa el factor primo más pequeño (en rojo). Leyendo las hojas rojas y el $5$ final: $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ .

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Definición 6.12 Matemáticas universitarias — Grado 1 · Capítulo 6 — Aritmética de los enteros

Un entero $p \geq 2$ es primo cuando sus únicos divisores positivos son $1$ y $p$ . Para $p$ primo y $a \in \Z$ : o bien $p \mid a$ , o bien $\gcd(p, a) = 1$ . En consecuencia (Teorema 6.8), se cumple el lema de Euclides: si $p \mid ab$ , entonces $p \mid a$ o $p \mid b$ .

Ejemplos

Ejemplo 6.24 (El recíproco de Fermat falla: $341$ )

El pequeño teorema de Fermat da un test barato de composición: si $a^{n-1} \not\equiv 1 \pmod n$ para algún $a$ coprimo con $n$ , entonces $n$ no es primo. ¿Podría el test certificar también la primalidad? No: tómese $n = 341 = 11 \times 31$ , compuesto, y $a = 2$ . Como $2^{10} = 1024 = 3 \times 341 + 1$ ,

2^{10} \equiv 1 \pmod{341} \qquad\Longrightarrow\qquad 2^{340} = \bigl(2^{10}\bigr)^{34} \equiv 1 \pmod{341} :

el compuesto $341$ pasa el test de Fermat en base $2$ (es el menor seudoprimo de esta clase). La base $3$ lo desenmascara ( $3^{340} \not\equiv 1$ ), y por eso los tests de primalidad prácticos se ejecutan en varias bases, además de con refinamientos — las versiones industriales de esta idea son las que certifican los grandes primos del Observación 6.27. Moraleja: una implicación y su recíproca llevan vidas separadas (Observación 1.10), incluso tratándose de teoremas.

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Ejemplos

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