Wat is Priemgetal? — Wiskunde

Definitie 64.5 Wiskunde basisschool en onderbouw · Hoofdstuk 64 — Getaltheorie: delers en priemgetallen

Een priemgetal is een geheel getal $\geq 2$ waarvan de enige delers $1$ en het getal zelf zijn. De priemgetallen onder $30$ zijn

2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29 .

Het getal $1$ is geen priemgetal (per afspraak), en een geheel getal $\geq 2$ dat niet priem is, noem je samengesteld.

De factorboom van 360: elke stap splitst de kleinste priemfactor af (in rood). Lees je de rode bladeren en de laatste 5, dan staat er 360 = 23 × 32 × 5. — De factorboom van $360$ : elke stap splitst de kleinste priemfactor af (in rood). Lees je de rode bladeren en de laatste $5$ , dan staat er $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ .

Lees in het hoofdstuk →

Definitie 6.12 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Hoofdstuk 6 — Getaltheorie in ℤ

Een geheel getal $p \geq 2$ heet priem wanneer zijn enige positieve delers $1$ en $p$ zijn. Voor $p$ priem en $a \in \Z$ geldt: ofwel $p \mid a$ , ofwel $\gcd(p, a) = 1$ . Bijgevolg (Stelling 6.8) geldt het lemma van Euclides: is $p \mid ab$ , dan $p \mid a$ of $p \mid b$ .

Voorbeelden

Voorbeeld 6.24 (De omkering van Fermat faalt: $341$ )

De kleine stelling van Fermat levert een goedkope toets op samengesteldheid: is $a^{n-1} \not\equiv 1 \pmod n$ voor een zekere $a$ die relatief priem is met $n$ , dan is $n$ niet priem. Zou de toets ook primaliteit kunnen waarborgen? Nee: neem $n = 341 = 11 \times 31$ , samengesteld, en $a = 2$ . Omdat $2^{10} = 1024 = 3 \times 341 + 1$ , is

2^{10} \equiv 1 \pmod{341} \qquad\Longrightarrow\qquad 2^{340} = \bigl(2^{10}\bigr)^{34} \equiv 1 \pmod{341} :

het samengestelde getal $341$ doorstaat de toets van Fermat voor het grondtal $2$ (het is het kleinste zulke pseudopriemgetal). Het grondtal $3$ ontmaskert het ( $3^{340} \not\equiv 1$ ), en in de praktijk draait een primaliteitstoets daarom op verscheidene grondtallen, plus verfijningen — de industriële versies van dit idee zijn wat de grote priemgetallen uit Opmerking 6.27 waarborgt. Moraal: een implicatie en haar omkering leiden gescheiden levens (Opmerking 1.10), zelfs bij stellingen.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen