O que é produto semidireto?

Exemplo 1.27

(a) O grupo diedral $D_n$ ($n \geq 3$) das $2n$ simetrias de um $n$-ágono regular: as rotações formam um subgrupo normal de índice $2$, qualquer reflexão gera um complemento, e conjugar uma rotação por uma reflexão inverte-a: $D_n \cong \Z/n\Z \rtimes_\varphi \Z/2\Z$ com $\varphi(1) = (x \mapsto -x)$. (b) O grupo afim de uma reta, $\{x \mapsto ax + b : a \in K^\times,\, b \in K\} \cong K \rtimes K^\times$: translações normais, homotetias como complemento. (c) $S_n \cong A_n \rtimes \Z/2\Z$ (complemento: qualquer transposição). (d) O grupo dos quatérnios $Q_8$ não é um produto semidireto de subgrupos próprios: todo subgrupo não trivial contém $-1$ (Problema 1.1), de modo que dois subgrupos próprios nunca se intersectam trivialmente.