¿Qué es producto semidirecto?

Ejemplo 1.27

(a) El grupo diédrico $D_n$ ($n \geq 3$) de las $2n$ simetrías de un $n$-ágono regular: las rotaciones forman un subgrupo normal de índice $2$, cualquier reflexión genera un complemento, y conjugar una rotación por una reflexión la invierte: $D_n \cong \Z/n\Z \rtimes_\varphi \Z/2\Z$ con $\varphi(1) = (x \mapsto -x)$. (b) El grupo afín de una recta, $\{x \mapsto ax + b : a \in K^\times,\, b \in K\} \cong K \rtimes K^\times$: las traslaciones son normales y las homotecias forman un complemento. (c) $S_n \cong A_n \rtimes \Z/2\Z$ (complemento: cualquier trasposición). (d) El grupo de cuaterniones $Q_8$ no es producto semidirecto de subgrupos propios: todo subgrupo no trivial contiene $-1$ (Problema 1.1), así que no hay dos subgrupos propios que se corten trivialmente.