Qu'est-ce que « produit semi-direct » ?

Exemple 1.27

(a) Le groupe diédral $D_n$ ($n \geq 3$) des $2n$ symétries d’un $n$-gone régulier : les rotations forment un sous-groupe normal d’indice $2$, toute réflexion engendre un complément, et conjuguer une rotation par une réflexion l’inverse : $D_n \cong \Z/n\Z \rtimes_\varphi \Z/2\Z$ avec $\varphi(1) = (x \mapsto -x)$. (b) Le groupe affine d’une droite, $\{x \mapsto ax + b : a \in K^\times,\, b \in K\} \cong K \rtimes K^\times$ : translations normales, homothéties un complément. (c) $S_n \cong A_n \rtimes \Z/2\Z$ (complément : toute transposition). (d) Le groupe des quaternions $Q_8$ n’est pas un produit semi-direct de sous-groupes propres : tout sous-groupe non trivial contient $-1$ (Problème 1.1), donc aucun couple de sous-groupes propres ne s’intersecte trivialement.