ما معنى قابلية القسمة؟ — الرياضيات

বইগুলো এখনো বাংলা ভাষায় পাওয়া যায় না — العربية সংস্করণ দেখানো হচ্ছে।

تعريف 29.1 رياضيات المرحلة الثانوية · অধ্যায় 29 — الحساب

ليكن $a, b \in \Z$ . نقول إن $b$ يقسم $a$ ، ويُكتب $b \mid a$ ، إذا وُجد $k \in \Z$ حيث $a = kb$ . ونقول أيضًا إن $a$ مضاعف للعدد $b$ .

প্রসঙ্গসহ পড়ো ←

تعريف 6.1 الرياضيات الجامعية — السنة 1 · অধ্যায় 6 — حساب الأعداد الصحيحة

من أجل $a, b \in \Z$ ، نقول إن $b$ يقسم $a$ (ويُكتب $b \mid a$ ) عندما يكون $a = bq$ من أجل $q \in \Z$ ما. والنتائج الأساسية: إذا كان $b \mid a$ و $b \mid a'$ فإن $b \mid (ua + va')$ لكل $u, v \in \Z$ ؛ وإذا كان $b \mid a$ و $a \neq 0$ فإن $\abs b \leq \abs a$ ؛ و $a \mid b$ مع $b \mid a$ يفرضان $b = \pm a$ .

উদাহরণ

مثال 6.3 (الترقيم الموضعي بالقسمة المتكررة)

اكتب $2026$ في الأساس $7$ . اقسم مرارًا على $7$ ، محتفظًا بالبواقي:

2026 = 7 \times 289 + 3, \quad 289 = 7 \times 41 + 2, \quad 41 = 7 \times 5 + 6, \quad 5 = 7 \times 0 + 5 .

وبقراءة البواقي من الأخير إلى الأول: $2026 = (5\,6\,2\,3)_7$ . وللتحقق: $5 \times 343 + 6 \times 49 + 2 \times 7 + 3 = 1715 + 294 + 14 + 3 = 2026$ . ووحدانية القسمة الإقليدية هي بالضبط ما يجعل كل رقم مفروضًا: ففي كل خطوة يكون الباقي هو العدد الصحيح الوحيد في $\intint06$ الموافق للقيمة الحالية بترديد $7$ ، فتكون الكتابة في الأساس $7$ وحيدة — وهي الواقعة المستعملة ضمنًا كلما تلاعبت مسألة نهاية الأسبوع بعبارة «أرقام $n$ في الأساس $p$ ».

مثال 6.9 (حلّ معادلة ديوفانتية خطية)

جد كل $(x, y) \in \Z^2$ يحقق $6x + 10y = 4$ . أولًا اختبار الوجود: القاسم $\gcd(6, 10) = 2$ يقسم $4$ ، فتوجد حلول (فلو لم يقسم القاسم المشترك الأكبر الطرفَ الأيمن لكان الطرف الأيسر دائمًا مضاعفًا له ولما وُجد أيّ حلّ). واقسم الجميع: $3x + 5y = 2$ . والحل الخاص مرئيّ: $(x_0, y_0) = (-1, 1)$ . وأمّا العام فاطرح: $3(x + 1) = -5(y - 1)$ ، ومنه $3 \mid 5(y-1)$ ، وتعطي مبرهنة غاوس المساعدة (إذ $\gcd(3,5) = 1$ ) أن $3 \mid y - 1$ : أي $y = 1 - 3k$ ، ثم $x = -1 + 5k$ . وبالعكس فكل زوج كهذا يفي بالغرض:

(x, y) = (-1 + 5k,\ 1 - 3k), \qquad k \in \Z .

والنمط عام: حلّ خاص واحد زائد المضاعفات الصحيحة للمقدار $\bigl(\frac b{\gcd}, -\frac a{\gcd}\bigr)$ — وهي بنية «الخاص زائد المتجانس» نفسها التي في الفصل 5، مع قيام مبرهنة غاوس المساعدة بدور الوحدانية.

প্রসঙ্গসহ পড়ো ←