ما معنى الاستقلال؟

مثال 21.21 (الاستقلال يُقرأ من بنية جدائية)

نرمي نردين متزنين: $\Omega = \intint16^2$ بأوزان منتظمة. ولنجعل $A = {}$“النرد الأول زوجي” و$B = {}$“النرد الثاني لا يقل عن $5$”. وبالعد: $\abs A = 3\cdot6 = 18$، $\abs B = 6\cdot2 = 12$، $\abs{A\cap B} = 3\cdot2 = 6$، ومنه

فهما مستقلان، والآلية ظاهرة — فالحدث $A$ يقيد الإحداثية الأولى وحدها، والحدث $B$ الثانية وحدها، ويجعل القياس المنتظم على مجموعة جدائية العدود الإحداثية تتضارب. وكل ادعاء من نوع “الأحداث المتعلقة بمجموعات منفصلة من الرميات مستقلة” (المستعمل بكثافة في مسألة نهاية الأسبوع) هو هذا الحساب، مرتديا مزيدا من الأدلة.

مثال 21.8 (حصر الاتحاد: فج لكنه لا يُهزم)

الجمعية التحتية مع عدد منته من الأحداث — وهي حصر الاتحاد — تبادل الدقة بالشمولية. ففي مسألة أعياد الميلاد مع $23$ شخصا، يعطي حصر احتمال التصادم بالمجموع على الأزواج

مقابل القيمة الحقيقية $0.507$: أي بفارق واسع، لأن التصادمات تتراكب. ومع ذلك فإن الحصر لا يحتاج إلى أي استقلال، ولا إلى قانون مشترك، ولا إلى شيء سوى احتمالات الأزواج — ولهذا يكون حصر الاتحاد، في مسألة نهاية الأسبوع وفي كل الفصل 22، أول أداة تُسلّ: فإن صادف أن كان صغيرا، حُسم الأمر دون أي نمذجة إضافية.

مثال 21.15 (تصادم أعياد الميلاد، بقاعدة السلسلة)

مع $n$ شخصا أعياد ميلادهم مستقلة ومنتظمة على $365$ يوما، نجعل $D_n = {}$“جميع أعياد الميلاد $n$ مختلفة”. وبالشرط شخصا بعد شخص (قاعدة السلسلة):

إذ يجب على كل شخص جديد أن يتجنب الأيام $k$ المأخوذة أصلا. ومن أجل $n = 23$: $\P(D_{23}) \approx 0.493$ — فتقاسم عيد ميلاد صار أرجح من عدمه أصلا. والحدس الذي يفسر صغر $23$: بأخذ اللوغاريتمات، $-\ln \P(D_n) \approx \sum_{k<n}\frac k{365} = \frac{\binom n2}{365}$، ويعطي $\binom{23}2 = 253$ المقدار $253/365 \approx 0.693 \approx \ln 2$. والمهم هو عدد الأزواج، وهو ينمو تربيعيا: فمسائل التصادم تعيش على السلّم $n \sim \sqrt{365}$ لا $n \sim 365$ — ومنه فمفارقة أعياد الميلاد جذر تربيعي متنكر.

مثال 22.7 (مسألة أعياد الميلاد، بأمانة)

بين $n$ من الأشخاص بأعياد ميلاد مستقلة منتظمة على $N = 365$ يومًا، يكون احتمال اختلاف جميع أعياد الميلاد

بالشرطنة المتتالية (أو مباشرةً: بقسمة الحالات المواتية $N(N-1)\cdots(N - n + 1)$ على المجموع $N^n$، وهي حجة عدّ تجعلها صيغةُ جداء الاستقلال صارمة). وبأخذ اللوغاريتمات وباستعمال $-\ln(1 - x) = x + O(x^2)$:

وتقع نقطة الانقلاب $p_n = \frac12$ عند $n \approx \sqrt{2N\ln2} \approx 1.18\sqrt N$: فمن أجل $N = 365$، $n = 23$ ($p_{23} = 0.4927$). وعبرتان. أولًا، تظهر التصادمات بين $n$ من العناصر في $N$ من الصناديق عند السلّم $n \sim \sqrt N$، لا عند $n \sim N$ — وهو تحجيم أعياد الميلاد الذي يحكم تصادمات التجزئة وكلفةَ $\sqrt N$ لهجمات أعياد الميلاد في التعمية. وثانيًا، الحساب قالبٌ: فحوادث تصادم الأزواج البالغة $\binom n2$ ليست مستقلة، ومع ذلك يسلك الجواب كأنها مستقلة (إذ $\eu^{-\binom n2/N}$ هو بالضبط الحدس القائم على استقلال الأزواج) — وهي أول حالة لتقريب بواسون، مصوغةً بصرامة في مسألة نهاية الأسبوع في الفصل 23 (متراجحة لوكام).

مثال 22.14 (ما يشتريه القانون القوي)

(a) التواترات: من أجل رميات قطعة نقدية مستقلة متماثلة التوزيع، يتقارب التواتر المرصود للوجه شبه أكيد إلى $p$ — أي التبرير التجريبي للاحتمال نفسه. (b) مونتي كارلو: من أجل $g \in L^1(\intcc01)$ ومن أجل $(U_n)$ مستقلة متماثلة منتظمة (المبرهنة 22.6)، $\frac1n\sum_{k\leq n}g(U_k) \to \int_0^1g$ شبه أكيد: أي التكاملات بالمعاينة، في أي بُعد، بالمعدل المستقل عن البُعد $\sim n^{-1/2}$ المضبوط في الفصل 23. (c) الأعداد الناظمية: لكل عدد حقيقي تقريبًا، في نشره الثنائي، تواترٌ مقارب $\frac12$ من الآحاد (بتطبيق القانون القوي على متغيّرات الأرقام في المبرهنة 22.6) — أي مبرهنة بوريل، وهي عبارة عن أعداد كل يوم مبرهَنٌ عليها بالقياس: ويكملها المسألة 22.1 في جميع الأسس.