الرياضيات الجامعية — السنة 3 · Bachelor Year 3

23الدوال المميِّزة ومبرهنة النهاية المركزية

يقول قانون الأعداد الكبيرة إن المتوسطات تتقارب؛ وتقول مبرهنة النهاية المركزية كيف تتذبذب: أي إن الخطأ، مكبَّرًا بالعامل $\sqrt n$ ، غاوسيٌّ مقاربًا — أيًّا كان القانون الذي انطلقنا منه. وهذا الشمول أعمق حقائق الاحتمالات الابتدائية، وبرهانه الطبيعي فورييهي: إذ تحوّل الدالة المميِّزة (أي تحويل فورييه للقانون) المجاميعَ المستقلة إلى جداءات، وتحوّل آلة الفصل 14 — التباين، والنقاط الصامدة الغاوسية — التقاربَ النقطي لهذه الجداءات إلى تقارب في القوانين (مبرهنة ليفي، مبرهَنًا عليها كاملةً). وينتهي الفصل بالمتجهات الغاوسية والاستنباط الأمين لفترات الثقة المستعملة في كل مكان من الإحصاء؛ وتعطي مسألة نهاية الأسبوع برهان ليندبرغ الثاني على مبرهنة النهاية المركزية، بمعدل خطأ صريح.

23.1 الدوال المميِّزة

تعريف 23.1

الدالة المميِّزة لمتغيّر عشوائي حقيقي $X$ هي

\varphi_X(\xi) = \E\bigl[\eu^{\iu\xi X}\bigr] = \int_\R \eu^{\iu\xi x}\,\dd\P_X(x) \qquad (\xi \in \R)

(وتحسبها مبرهنة النقل من القانون؛ ومن أجل كثافة $f$ ، $\varphi_X(\xi) = \hat f(-\xi)$ باصطلاح الفصل 14).

قضية 23.2

(a) $\varphi_X(0) = 1$ ، $\abs{\varphi_X} \leq 1$ ، و $\varphi_X$ متصلة بانتظام؛ و $\varphi_{aX + b}(\xi) = \eu^{\iu b\xi}\varphi_X(a\xi)$ . (b) وإذا كان $X, Y$ مستقلين: $\varphi_{X+Y} = \varphi_X\,\varphi_Y$ . (c) وإذا كان $\E\abs X^k < \infty$ ، فإن $\varphi_X \in \mathcal C^k$ مع $\varphi_X^{(j)}(0) = \iu^j\,\E[X^j]$ من أجل $j \leq k$ ؛ وعلى وجه الخصوص، من أجل $X \in L^2$ موسَّط بتباين $\sigma^2$ :

\varphi_X(\xi) = 1 - \frac{\sigma^2\xi^2}{2} + o(\xi^2) \qquad (\xi \to 0).

(d) الغاوسي: للمقدار $X \sim \mathcal N(m, \sigma^2)$ الدالةُ $\varphi_X(\xi) = \eu^{\iu m\xi - \sigma^2\xi^2/2}$ .

برهان. (a) الحدود فورية؛ وأما الاتصال: $\abs{\varphi(\xi + h) - \varphi(\xi)} \leq \E\abs{\eu^{\iu hX} - 1} \to 0$ حين $h \to 0$ بالتقارب المهيمن، بانتظام في $\xi$ . وقاعدة التآلف تعويض. (b) $\eu^{\iu\xi(X+Y)} = \eu^{\iu\xi X}\eu^{\iu\xi Y}$ ، وتتحلّل آمال جداءات المتغيّرات المستقلة (المبرهنة 22.5، مطبَّقةً على الجزأين الحقيقي والتخيّلي). (c) بالاشتقاق تحت علامة الأمل، مهيمَنًا عليه بالمقدار $\E\abs X^j$ (المبرهنة 10.15)؛ ونشر تايلور عند $0$ هو عندئذٍ تايلور–يونغ للدالة $\varphi$ من الصنف $\mathcal C^2$ . (d) من أجل $\mathcal N(0,1)$ : يعطي التحويل الغاوسي (المثال 14.2 مع $a = \frac12$ ) أن $\int\eu^{\iu\xi x}\frac{\eu^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\dd x = \eu^{-\xi^2/2}$ ؛ والحالة العامة بقاعدة التآلف. ∎

مبرهنة 23.3 (التباين)

إذا كان $\varphi_X = \varphi_Y$ ، فإن للمتغيّرين $X$ و $Y$ القانون نفسه. وبمزيد من الدقة، من أجل $N \sim \mathcal N(0,1)$ مستقل عن $X$ ومن أجل $\varepsilon > 0$ ، يكون للمتغيّر المنعَّم $X + \varepsilon N$ الكثافةُ

p_\varepsilon(x) = \frac1{2\pi}\int_\R \varphi_X(-\xi)\,\eu^{-\varepsilon^2\xi^2/2}\, \eu^{\iu\xi x}\,\dd\xi ,

معيَّنةً بواسطة $\varphi_X$ وحدها؛ وبجعل $\varepsilon \to 0$ نستعيد قانون $X$ .

برهان. للمقدار $X + \varepsilon N$ الكثافةُ $p_\varepsilon(x) = \E\bigl[g_\varepsilon(x - X)\bigr]$ ، حيث $g_\varepsilon$ كثافة $\mathcal N(0, \varepsilon^2)$ : إذ من أجل $B$ بوريلية، يعطي الاستقلال وتونيلي أن $\P(X + \varepsilon N \in B) = \int\!\!\int\mathbf 1_B(x + \varepsilon n)g_1(n)\,\dd n\,\dd\P_X(x) = \int_B\E[g_\varepsilon(t - X)]\dd t$ (بالتعويض، ثم بتونيلي من جديد). وبكتابة $g_\varepsilon$ بقلب فورييه لتحويلها (التمرين 14.4، معادةَ التحجيم): $g_\varepsilon(u) = \frac1{2\pi}\int \eu^{-\varepsilon^2\xi^2/2}\eu^{\iu\xi u}\dd\xi$ ، وبفوبيني (إذ يُهيمَن على كل شيء بالعامل الغاوسي):

p_\varepsilon(x) = \frac1{2\pi}\int_\R \varphi_X(-\xi)\,\eu^{-\varepsilon^2\xi^2/2}\, \eu^{\iu\xi x}\,\dd\xi ,

وهي مؤثّرة على $\varphi_X$ وحدها. فإذا كان $\varphi_X = \varphi_Y$ : كان للمقدارين $X + \varepsilon N$ و $Y + \varepsilon N$ القوانين نفسها من أجل كل $\varepsilon$ ؛ ومن أجل $f$ محدودة متصلة، $\E f(X + \varepsilon N) \to \E f(X)$ حين $\varepsilon \to 0$ (بالتقارب المهيمن، إذ $X + \varepsilon N \to X$ نقطةً نقطة على الفضاء الجدائي)، ومنه $\E f(X) = \E f(Y)$ من أجل كل $f$ كهذه — وهذا يعيّن القانون: إذ من أجل كل $t$ ، نحصر $\mathbf 1_{\intoc{-\infty}t}$ بين المنحدرين المحدودين المتصلين $f_k^\pm$ (اللذين يساويان $1$ على $\intoc{-\infty}{t \mp \frac1k}$ و $0$ وراء $t \pm \frac1k$ ، وتآلفيان بينهما)؛ وبالمرور إلى النهاية في $\E f_k^-(X) \leq F_X(t) \leq \E f_k^+(X)$ نجد $F_X(t) = F_Y(t)$ عند كل $t$ يكون عندها كلاهما متصلًا، ومن ثَمّ في كل مكان بالاتصال من اليمين وبكثافة نقاط الاتصال المشتركة (إذ لكلتا الدالتين $F$ عددٌ قابل للعدّ من القفزات)؛ ودالتا توزيع متساويتان تفرضان قانونين متساويين (التمرين 9.3، قائمًا على المبرهنة 9.7). ∎

23.2 التقارب في التوزيع

تعريف 23.4

يقال إن $X_n$ تتقارب في التوزيع (أو في القانون) إلى $X$ ، ويُكتب $X_n \Rightarrow X$ ، إذا كان

\E\bigl[f(X_n)\bigr] \longrightarrow \E\bigl[f(X)\bigr] \qquad\text{من أجل كل دالة محدودة متصلة} f\colon\R\to\R .

أي، بالتكافؤ (التمرين 23.4): $F_{X_n}(t) \to F_X(t)$ عند كل نقطة اتصال $t$ للدالة $F_X$ . ولا يلزم أن تعيش $X_n$ على فضاء احتمالي مشترك: فالقوانين وحدها هي المهمة.

مبرهنة 23.5 (مبرهنة هيلي في الانتقاء)

لكل متتالية $(F_n)$ من دوال التوزيع متتاليةٌ جزئية تتقارب نقطةً نقطة، عند كل نقطة اتصال للنهاية، إلى دالة $G \colon \R \to \intcc01$ متزايدة بالمعنى الواسع ومتصلة من اليمين — وقد يكون $G(+\infty) - G(-\infty) < 1$ (إذ قد تهرب الكتلة إلى اللانهاية).

برهان. يعطي الاستخراج القطري $F_{n_k}(q) \to \ell(q)$ من أجل كل $q$ ناطق (بقيم في المتراصة $\intcc01$ ). ونعرّف $G(t) = \inf\{\ell(q) : q \in \Q, q > t\}$ : فهي متزايدة بالمعنى الواسع؛ ومتصلة من اليمين (بوصفها إنفيمومًا على جوارات ناطقة متقلّصة من اليمين). وعند نقطة اتصال $t$ للدالة $G$ : من أجل ناطقين $q_1 < t < q_2$ ،

\ell(q_1) \leq \liminf F_{n_k}(t) \leq \limsup F_{n_k}(t) \leq \ell(q_2),

برتابة كل $F_{n_k}$ . ومن تعريف $G$ بوصفها إنفيمومًا ومن رتابة $\ell$ على الأعداد الناطقة: $G(s) \leq \ell(q) \leq G(q)$ كلما كان $s < q$ . وبأخذ $s < q_1 < t$ نجد $\ell(q_1) \geq G(s)$ ، و $\ell(q_2) \leq G(q_2)$ ؛ وبجعل $s \uparrow t$ و $q_2 \downarrow t$ ، يحصر اتصالُ $G$ عند $t$ كلًّا من $\liminf$ و $\limsup$ عند $G(t)$ . ∎

مبرهنة مساعدة 23.6 (الإحكام انطلاقًا من الدالة المميِّزة)

من أجل أي متغيّر عشوائي $X$ ومن أجل $u > 0$ :

\P\Bigl(\abs X \geq \frac2u\Bigr) \;\leq\; \frac1u\int_{-u}^{u}\bigl(1 - \operatorname{Re}\varphi_X(\xi)\bigr)\,\dd\xi .

برهان. بتونيلي–فوبيني (إذ المقدار المكامَل محدود والمنطقة منتهية في $\xi$ ):

\frac1u\int_{-u}^u\bigl(1 - \operatorname{Re}\varphi_X(\xi)\bigr)\dd\xi = \E\Bigl[\frac1u\int_{-u}^u(1 - \cos(\xi X))\,\dd\xi\Bigr] = 2\,\E\Bigl[1 - \frac{\sin(uX)}{uX}\Bigr]

(ونفسّر المقدار بين القوسين بنهايته $0$ عند $X = 0$ ). والمقدار المكامَل غير سالب ( $\abs{\sin t} \leq \abs t$ )، ومن أجل $\abs{uX} \geq 2$ : $1 - \frac{\sin(uX)}{uX} \geq 1 - \frac1{\abs{uX}} \geq \frac12$ . ومنه فإن الاحتفاظ بالحادثة $\{\abs{uX} \geq 2\}$ وحدها داخل الأمل يترك على الأقل $2 \cdot \frac12\,\P(\abs X \geq \frac2u)$ ، وهو الادعاء. ∎

مبرهنة 23.7 (مبرهنة ليفي في الاتصال)

لتكن $(X_n)$ متغيّرات عشوائية تتقارب دوالها المميِّزة نقطةً نقطة: $\varphi_{X_n}(\xi) \to \varphi(\xi)$ من أجل كل $\xi$ ، حيث $\varphi = \varphi_X$ هي الدالة المميِّزة لمتغيّر عشوائي $X$ ما. عندئذٍ $X_n \Rightarrow X$ .

برهان. الإحكام. نثبّت $\varepsilon > 0$ . وبما أن $\varphi$ متصلة عند $0$ مع $\varphi(0) = 1$ ، نختار $u > 0$ يحقق $\frac1u\int_{-u}^u(1 - \operatorname{Re}\varphi) < \varepsilon$ ؛ وبالتقارب المهيمن (إذ يُهيمَن على المقدار المكامَل بالعدد $2$ على الفترة الثابتة $[-u,u]$ )، يكون التكامل نفسه من أجل $\varphi_{X_n}$ $< 2\varepsilon$ من أجل $n$ كبير: فتعطي المبرهنة المساعدة 23.6 أن $\P(\abs{X_n} \geq \frac2u) \leq 2\varepsilon$ من أجل $n$ كبير، ويعالج توسيعُ الثابت العددَ المنتهي الباقي: فتكون القوانين محكمة — إذ لا تهرب أي كتلة.

المتتاليات الجزئية. لتكن $(F_{n_k})$ أي متتالية جزئية؛ فبهيلي (المبرهنة 23.5) نستخرج $F_{n_{k_j}} \to G$ عند نقاط الاتصال. ويفرض الإحكام أن $G(-\infty) = 0$ و $G(+\infty) = 1$ ( $G(\frac2u) - G(-\frac2u) \geq 1 - 2\varepsilon$ عند نقاط الاتصال): فتكون $G$ دالةَ توزيع فعلية لمتغيّر عشوائي $Y$ ما. عندئذٍ $X_{n_{k_j}} \Rightarrow Y$ (التمرين 23.4، بالتقارب التوزيعي انطلاقًا من دوال $F$ )، ومنه $\varphi_{X_{n_{k_j}}} \to \varphi_Y$ نقطةً نقطة (إذ $x \mapsto \eu^{\iu\xi x}$ محدودة متصلة، بالجزأين الحقيقي والتخيّلي على حدة)؛ وبالمقارنة مع الفرضية: $\varphi_Y = \varphi = \varphi_X$ ، ويعطي التباين (المبرهنة 23.3) أن $Y \sim X$ ، أي $G = F_X$ .

الخاتمة. لكل متتالية جزئية من $(F_n)$ متتاليةٌ جزئية أخرى تتقارب إلى $F_X$ نفسها (عند نقاط اتصالها)؛ ومن ثَمّ $F_n(t) \to F_X(t)$ عند كل نقطة اتصال $t$ (إذ متتالية حقيقية لكل متتالياتها الجزئية متتالياتٌ جزئية أخرى بالنهاية نفسها تتقارب): أي $X_n \Rightarrow X$ . ∎

23.3 مبرهنة النهاية المركزية

مبرهنة 23.8 (مبرهنة النهاية المركزية)

لتكن $(X_n)$ مستقلة متماثلة مع $\E X_1 = m$ و $\V(X_1) = \sigma^2 \in \intoo0\infty$ . عندئذٍ

\frac{S_n - nm}{\sigma\sqrt n} \;\Longrightarrow\; \mathcal N(0, 1) : \qquad \P\Bigl(a \leq \frac{S_n - nm}{\sigma\sqrt n} \leq b\Bigr) \longrightarrow \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_a^b\eu^{-x^2/2}\,\dd x

من أجل كل $a < b$ .

برهان. نوسّط ونعيّر: $Z_i = \frac{X_i - m}{\sigma}$ (مستقلة متماثلة، بمتوسط $0$ وتباين $1$ ) و $T_n = \frac1{\sqrt n}\sum_{i\leq n}Z_i$ . وبالاستقلال وقاعدة التآلف (القضية 23.2):

\varphi_{T_n}(\xi) = \varphi_{Z}\Bigl(\frac{\xi}{\sqrt n}\Bigr)^{n}, \qquad \varphi_Z(\eta) = 1 - \frac{\eta^2}2 + \eta^2\rho(\eta),\quad \rho(\eta)\to0 .

نثبّت $\xi$ ونضع $a_n = \varphi_Z(\xi/\sqrt n)$ ، $b_n = 1 - \frac{\xi^2}{2n}$ : فلكليهما طويلة $\leq 1$ من أجل $n$ كبير (إذ $\abs{b_n} \leq 1$ بمجرد أن يكون $\xi^2 \leq 4n$ ؛ و $\abs{a_n} \leq 1$ دائمًا). وتعطي المتراجحة الابتدائية $\abs{a^n - b^n} \leq n\abs{a - b}$ من أجل $\abs a, \abs b \leq 1$ (بتلسكب $a^n - b^n = \sum a^k(a - b)b^{n-1-k}$ ) أن

\Bigl|\varphi_{T_n}(\xi) - \Bigl(1 - \frac{\xi^2}{2n}\Bigr)^{n}\Bigr| \leq n\,\Bigl|\varphi_Z\Bigl(\frac\xi{\sqrt n}\Bigr) - 1 + \frac{\xi^2}{2n}\Bigr| = \xi^2\,\Bigl|\rho\Bigl(\frac{\xi}{\sqrt n}\Bigr)\Bigr| \longrightarrow 0,

بينما $\bigl(1 - \frac{\xi^2}{2n}\bigr)^n \to \eu^{-\xi^2/2}$ (باللوغاريتم الحقيقي). ومنه $\varphi_{T_n}(\xi) \to \eu^{-\xi^2/2} = \varphi_{\mathcal N(0,1)}(\xi)$ (القضية 23.2(d)) من أجل كل $\xi$ : فتخلص ليفي (المبرهنة 23.7) إلى $T_n \Rightarrow \mathcal N(0,1)$ . وتنتج احتمالات الفترات لأن $F_{\mathcal N}$ متصلة في كل مكان. ∎

مثال 23.9 (فترات الثقة، مستنبطةً بأمانة)

نستطلع $n$ من الناخبين المستقلين؛ ويقدّر $\hat p_n = S_n/n$ النسبةَ الحقيقية $p$ ، مع $\sigma^2 = p(1-p) \leq \frac14$ . وتعطي مبرهنة النهاية المركزية، من أجل $n$ كبير،

\P\Bigl(\abs{\hat p_n - p} \leq \frac{z}{2\sqrt n}\Bigr) \;\geq\; \P\Bigl(\Bigl|\frac{S_n - np}{\sigma\sqrt n}\Bigr| \leq z\Bigr) \longrightarrow \Phi(z) - \Phi(-z),

حيث $\Phi$ دالة التوزيع الغاوسية المعيارية. ومع $z = 1.96$ : ثقةٌ مقاربة $95\%$ ، ويتطلب الهامش $\frac{1.96}{2\sqrt n} \leq 3\%$ أن يكون $n \geq \bigl(\frac{1.96}{0.06}\bigr)^2 \approx 1068$ — أي العدد الكامن وراء كل « $\pm3$ نقاط، $95\%$ » يقرأها المرء؛ وقارن ذلك بعدد تشيبيشيف $5556$ (التمرين 22.7). والعامل $\sqrt n$ شامل: فلتنصيف الخطأ، ضاعف العيّنة أربع مرات — وهو القانون نفسه الذي يحدّد كلفة مونتي كارلو (التمرين 23.7).

23.4 المتجهات الغاوسية

تعريف 23.10

تكون المتجهة العشوائية $X = (X_1, \dots, X_d)$ غاوسية إذا كانت كل تركيبة خطية $\langle t, X\rangle = \sum t_iX_i$ متغيّرًا غاوسيًّا حقيقيًّا (وقد يكون منحلًّا). ويتعيّن قانونها بمتجهة المتوسط $m = (\E X_i)$ ومصفوفة التغاير $\Sigma = \bigl(\operatorname{Cov} (X_i, X_j)\bigr)$ : إذ إن الدالة المميِّزة للمتجهة، $\varphi_X(t) = \E\eu^{\iu\langle t, X\rangle}$ ، هي قيمة الدالة المميِّزة للمقدار $\langle t, X\rangle$ عند $1$ :

\varphi_X(t) = \exp\Bigl(\iu\langle t, m\rangle - \tfrac12\,t^{\mathsf T}\Sigma\,t\Bigr),

والدوال المميِّزة ذات البُعد $d$ متباينة (ببرهان التنعيم نفسه كما في المبرهنة 23.3، بغاوسيات إحداثية).

مبرهنة 23.11

لتكن $X$ متجهةً غاوسية.

كل صورة تآلفية $AX + b$ متجهةٌ غاوسية.
والمركّبات $X_i$ مستقلة إذا وفقط إذا كانت $\Sigma$ قطرية: أي إنه من أجل متغيّرات غاوسية معًا، عدمُ الارتباط $=$ الاستقلال.
وإذا كانت $\Sigma$ قابلة للقلب، كانت للمتجهة $X$ الكثافةُ $\frac{1}{(2\pi)^{d/2}\sqrt{\det\Sigma}} \exp\bigl(-\frac12(x - m)^{\mathsf T}\Sigma^{-1}(x - m)\bigr)$ .

برهان. (1) التركيبات الخطية لمركّبات $AX + b$ دوالٌّ تآلفية لتركيبات خطية من $X$ : أي غاوسية (إذ الصورة التآلفية لمتغيّر غاوسي غاوسية). (2) إذا كانت $\Sigma$ قطرية، تحلّلت الدالة المميِّزة: $\varphi_X(t) = \prod_i\exp(\iu t_im_i - \frac12\Sigma_{ii}t_i^2) = \prod\varphi_{X_i}(t_i)$ ، وهي الدالة المميِّزة للقانون الجدائي (المبرهنة 22.5 مقروءةً عبر التباين ذي البُعد $d$ ): فتكون المركّبات مستقلة. والعكس هو انعدام تغايرات المتغيّرات المستقلة من $L^2$ . (3) نقطرن $\Sigma = P D P^{\mathsf T}$ (حيث $P$ متعامدة و $D > 0$ قطرية — التمرين 20.8)؛ فتكون المتجهة $Y = P^{\mathsf T}(X - m)$ غاوسية بتغاير $D$ : وحسب (2) تكون مركّباتها مستقلة $\mathcal N(0, d_i)$ ، ومنه تكون للمتجهة $Y$ الكثافة الجدائية؛ ثم ندفعها بالتطبيق الحافظ للحجم $x = m + PY$ (المبرهنة 11.10، $\abs{\det P} = 1$ ) ونعيد كتابة الأُسّ بكيفية صامدة. ∎

مبرهنة 23.12 (مبرهنة النهاية المركزية المتعددة الأبعاد)

لتكن $(X_n)$ متجهات عشوائية مستقلة متماثلة قابلة للمكاملة بالمربّع من $\R^d$ بمتوسط $m$ ومصفوفة تغاير $\Sigma$ . عندئذٍ تتقارب $\frac{S_n - nm}{\sqrt n}$ في التوزيع إلى المتجهة الغاوسية $\mathcal N(0, \Sigma)$ .

برهان. نقبله في هذا المستوى. ∎

ملاحظة 23.13

كل شيء تقريبًا بين أيدينا سلفًا. فمن أجل كل اتجاه $t \in \R^d$ ، يكون المتغيّر الحقيقي $\langle t, \frac{S_n - nm}{\sqrt n}\rangle$ مجموعًا معيَّرًا لمتغيّرات حقيقية مستقلة متماثلة تباينها $t^{\mathsf T}\Sigma t$ ، ومنه يعطي حساب المبرهنة 23.8 التقاربَ النقطي للدوال المميِّزة ذات البُعد $d$ إلى $\eu^{-t^{\mathsf T}\Sigma t/2}$ ، وهي الدالة المميِّزة للمقدار $\mathcal N(0, \Sigma)$ (التعريف 23.10). وما لم نعد البرهان عليه هو مبرهنة ليفي في الاتصال في $\R^d$ : إذ يُعمَّم انتقاء هيلي وتقدير الإحكام روتينيًّا (إحداثيًّا)، ويُنجَز إرجاع كرامر–وولد هذا بأمانة في أي مقرر احتمالات عليا؛ ولا يلزم شيء وراء طرق هذا الفصل.

طريقة 23.14

لتعيين قانون نهائي: احسب الدوال المميِّزة، وخذ النهاية النقطية، وتعرّف عليها (غاوسي $\eu^{-\sigma^2\xi^2/2}$ ، بواسون $\eu^{\lambda(\eu^{\iu\xi}-1)}$ ، أُسّي $\frac{\lambda} {\lambda - \iu\xi}$ ، …) واستدعِ ليفي. والطقس ذو الخطوات الثلاث (الاستقلال $\to$ الجداء؛ وتايلور عند $0$ $\to$ النهاية الأُسّية؛ وليفي $\to$ التقارب في القانون) يبرهن على مبرهنة النهاية المركزية، وعلى قانون بواسون للحوادث النادرة (التمرين 23.5)، وعلى كل مبرهنة نهاية كلاسيكية في هذا المقرر. وأما العبارات شبه الأكيدة، فارجع إلى عدّة الفصل 22: فالفصلان يجيبان عن سؤالين مختلفين عن $S_n$ نفسه.

23.5 تمارين

تمرين 23.1 ★

احسب الدوال المميِّزة: للمنتظم على $\intcc{-1}1$ ؛ وللأُسّي $\mathcal E(\lambda)$ ؛ ولبواسون $\mathcal P(\lambda)$ ؛ وللثنائي $\mathcal B(n, p)$ . واستنتج عبر المبرهنة 23.3 أن مجموع متغيّرين بواسونيين مستقلين ( $\lambda, \mu$ ) بواسونيٌّ $(\lambda + \mu)$ .

حل

حل التمرين 23.1.

المنتظم على $\intcc{-1}1$ : $\varphi(\xi) = \frac12\int_{-1}^1\eu^{\iu\xi x}\dd x = \frac{\sin\xi}{\xi}$ (وهي تساوي $1$ عند $\xi = 0$ ). والأُسّي $\mathcal E(\lambda)$ : $\varphi(\xi) = \lambda\int_0^\infty\eu^{(\iu\xi - \lambda)x}\dd x = \frac{\lambda}{\lambda - \iu\xi}$ (إذ تنعدم الدالة الأصلية عند $+\infty$ لأن $\operatorname{Re}(\iu\xi - \lambda) < 0$ ). وبواسون $\mathcal P(\lambda)$ : بمبرهنة النقل من أجل القوانين المتقطّعة،

\varphi(\xi) = \sum_{k\geq0}\eu^{\iu\xi k}\,\eu^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} = \eu^{-\lambda}\exp\bigl(\lambda\eu^{\iu\xi}\bigr) = \exp\bigl(\lambda(\eu^{\iu\xi} - 1)\bigr).

والثنائي $\mathcal B(n, p)$ : مجموعُ $n$ من متغيّرات برنولي المستقلة، لكلٍّ منها الدالةُ المميِّزة $1 - p + p\eu^{\iu\xi}$ ، ومنه $\varphi(\xi) = \bigl(1 - p + p\eu^{\iu\xi}\bigr)^n$ (القضية 23.2(b)). وأما جمعية بواسون: فإذا كان $X \sim \mathcal P(\lambda)$ و $Y \sim \mathcal P(\mu)$ مستقلين،

\varphi_{X+Y}(\xi) = \eu^{\lambda(\eu^{\iu\xi}-1)} \eu^{\mu(\eu^{\iu\xi}-1)} = \eu^{(\lambda+\mu)(\eu^{\iu\xi}-1)},

وهي الدالة المميِّزة للمقدار $\mathcal P(\lambda + \mu)$ ؛ ويعيّن التباين (المبرهنة 23.3) القانون.

تمرين 23.2 ★★

(a) برهن على أن $\varphi_X$ ذات قيم حقيقية إذا وفقط إذا كان للمتغيّرين $X$ و $-X$ القانون نفسه (أي متغيّر متناظر). (b) لنفترض أن $\abs{\varphi_X(\xi_0)} = 1$ من أجل $\xi_0 \neq 0$ ما. برهن على أن حامل $X$ شبه أكيد على متتالية حسابية $a + \frac{2\pi}{\xi_0}\Z$ (اكتب $\varphi_X(\xi_0) = \eu^{\iu\theta}$ واحسب $\E[1 - \cos(\xi_0X - \theta)]$ ). واستنتج أنه إذا قبل $X$ كثافة، فإن $\abs{\varphi_X(\xi)} < 1$ من أجل كل $\xi \neq 0$ .

حل

حل التمرين 23.2.

(a) $\overline{\varphi_X(\xi)} = \E\eu^{-\iu\xi X} = \varphi_{-X}(\xi)$ . ومنه تكون $\varphi_X$ حقيقية إذا وفقط إذا كان $\varphi_X = \varphi_{-X}$ ، إذا وفقط إذا كان (بالتباين، المبرهنة 23.3) للمتغيّرين $X$ و $-X$ القانون نفسه. (b) نكتب $\varphi_X(\xi_0) = \eu^{\iu\theta}$ . عندئذٍ

\E\bigl[1 - \cos(\xi_0X - \theta)\bigr] = 1 - \operatorname{Re}\bigl(\eu^{-\iu\theta} \varphi_X(\xi_0)\bigr) = 1 - 1 = 0 .

والمقدار المكامَل غير سالب، ومنه $\cos(\xi_0X - \theta) = 1$ شبه أكيد (إذ متغيّر غير سالب أمله معدوم ينعدم شبه أكيد)، أي $\xi_0X - \theta \in 2\pi\Z$ شبه أكيد: فيأخذ $X$ قيمه في المتتالية الحسابية $\frac{\theta}{\xi_0} + \frac{2\pi}{\xi_0}\Z$ شبه أكيد. وإذا قبل $X$ كثافة، كانت هذه المجموعة القابلة للعدّ معدومةَ القياس بمعنى لوبيغ، فتحمل الاحتمال $0$ — وهو تناقض؛ ومن ثَمّ $\abs{\varphi_X(\xi)} < 1$ من أجل كل $\xi \neq 0$ .

تمرين 23.3 ★★

لتكن $X \sim \mathcal N(m_1, \sigma_1^2)$ و $Y \sim \mathcal N(m_2, \sigma_2^2)$ مستقلتين. برهن على $X + Y \sim \mathcal N(m_1 + m_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$ ، وعمومًا على أن العائلة الغاوسية مستقرة بالمجاميع المستقلة وبالتطبيقات التآلفية. وقابل ذلك: هل مجموع غاوسيين تابعين غاوسيٌّ دائمًا؟ (التمرين 23.9.)

حل

حل التمرين 23.3.

بالاستقلال وباستعمال القضية 23.2:

\varphi_{X+Y}(\xi) = \eu^{\iu m_1\xi - \sigma_1^2\xi^2/2}\, \eu^{\iu m_2\xi - \sigma_2^2\xi^2/2} = \eu^{\iu(m_1+m_2)\xi - (\sigma_1^2+\sigma_2^2)\xi^2/2},

وهي الدالة المميِّزة للمقدار $\mathcal N(m_1 + m_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$ ؛ ويخلص التباين. والاستقرار بالتطبيقات التآلفية هو قاعدة التآلف ( $aX + b \sim \mathcal N(am_1 + b, a^2\sigma_1^2)$ ، مع السماح بالحالة المنحلّة $a = 0$ )، وينتج الاستقرار بالمجاميع المستقلة بالتراجع على الحساب أعلاه. وأما من أجل غاوسيين تابعين فلا يلزم أن يكون المجموع غاوسيًّا: ففي التمرين 23.9، يكون كلٌّ من $X$ و $Y = \varepsilon X$ غاوسيًّا معياريًّا لكن $X + Y$ ينعدم باحتمال $\frac12$ دون أن يكون معدومًا شبه أكيد، ومنه فهو ليس غاوسيًّا.

تمرين 23.4 ★★

(a) برهن على التكافؤ في التعريف 23.4: أنه إذا كان $\E f(X_n) \to \E f(X)$ من أجل كل $f$ محدودة متصلة، فإن $F_{X_n}(t) \to F_X(t)$ عند نقاط الاتصال (بحصر $\mathbf 1_{\intoc{-\infty}t}$ بين منحدرين سلّميين متصلين)؛ وبالعكس (بتقريب دالة محدودة متصلة $f$ بمجاميع دوال منحدرة، أو بالشرطنة على شبكة دقيقة من نقاط الاتصال) — ويمكن معالجة العكس من أجل $f$ متصلة بانتظام أولًا، ثم في العموم. (b) برهن على أن $X_n \Rightarrow c$ (وهو ثابت) يستلزم $X_n \to c$ احتماليًّا.

حل

حل التمرين 23.4.

(a) الاستلزام المباشر. ليكن $t$ نقطةَ اتصال للدالة $F_X$ وليكن $\delta > 0$ . نأخذ المنحدرين المتصلين $f^-$ ( $= 1$ على $\intoc{-\infty}{t-\delta}$ ، و $0$ انطلاقًا من $t$ ، وتآلفي بينهما) و $f^+$ ( $= 1$ على $\intoc{-\infty}t$ ، و $0$ انطلاقًا من $t + \delta$ ، وتآلفي بينهما)؛ عندئذٍ $f^- \leq \mathbf 1_{\intoc{-\infty}t} \leq f^+$ ، ومنه

\E f^-(X_n) \leq F_{X_n}(t) \leq \E f^+(X_n),

ويتقارب الحدّان الخارجيان إلى $\E f^\pm(X)$ ، وهما نفسهما محصوران بين $F_X(t - \delta)$ و $F_X(t + \delta)$ . وبجعل $n \to \infty$ ثم $\delta \to 0$ وباستعمال اتصال $F_X$ عند $t$ : $F_{X_n}(t) \to F_X(t)$ .

العكس. لتكن $f$ محدودة متصلة، مع $M = \sup\abs f$ ، $\varepsilon > 0$ . ونقاط اتصال $F_X$ كثيفة (إذ للدالة $F_X$ عدد قابل للعدّ من القفزات على الأكثر)، فنختار نقطتَي اتصال $a < b$ تحققان $F_X(a) < \varepsilon$ و $1 - F_X(b) < \varepsilon$ . وعلى المتراصة $\intcc ab$ تكون $f$ متصلة بانتظام: فنختار نقاط اتصال $a = t_0 < t_1 < \dots < t_m = b$ للدالة $F_X$ بحيث لا يتجاوز تذبذب $f$ على كل $\intoc{t_{j-1}}{t_j}$ المقدارَ $\varepsilon$ ، ونضع $g = \sum_j f(t_j)\,\mathbf 1_{\intoc{t_{j-1}}{t_j}}$ . عندئذٍ $\abs{f - g} \leq \varepsilon$ على $\intoc ab$ ، و $\abs g \leq M$ ، ومن أجل $T = X_n$ أو $X$ :

\bigl|\E f(T) - \E g(T)\bigr| \leq \varepsilon + 2M\bigl(F_T(a) + 1 - F_T(b)\bigr).

وفوق ذلك $\E g(X_n) = \sum_j f(t_j)\bigl(F_{X_n}(t_j) - F_{X_n}(t_{j-1})\bigr) \to \E g(X)$ (بمجموع منتهٍ من الحدود المتقاربة، إذ جميع $t_j$ نقاط اتصال)، و $F_{X_n}(a) \to F_X(a) < \varepsilon$ ، $1 - F_{X_n}(b) \to 1 - F_X(b) < \varepsilon$ . وبالتركيب: $\limsup_n\abs{\E f(X_n) - \E f(X)} \leq 2\varepsilon + 8M\varepsilon$ ؛ ثم نجعل $\varepsilon \to 0$ .

(b) دالة توزيع الثابت $c$ هي $\mathbf 1_{\intco c\infty}$ ، وهي متصلة إلا عند $c$ . ومن أجل $\varepsilon > 0$ ، تكون النقطتان $c - \varepsilon$ و $c + \frac\varepsilon2$ نقطتَي اتصال، ومنه

\P(\abs{X_n - c} > \varepsilon) \leq F_{X_n}(c - \varepsilon) + 1 - F_{X_n}\Bigl(c + \frac\varepsilon2\Bigr) \longrightarrow 0 + 1 - 1 = 0 .

تمرين 23.5 ★★

(قانون الحوادث النادرة) لتكن $X_n \sim \mathcal B(n, p_n)$ مع $np_n \to \lambda > 0$ . برهن، عبر الدوال المميِّزة والمبرهنة 23.7، على أن $X_n \Rightarrow \mathcal P(\lambda)$ . وفحص سلامة عددي: قارن $\P(X = 0)$ من أجل $\mathcal B(100, 0.02)$ و $\mathcal P(2)$ .

حل

حل التمرين 23.5.

لتكن $z_n = p_n(\eu^{\iu\xi} - 1)$ ، ومنه $\varphi_{X_n}(\xi) = (1 + z_n)^n$ (التمرين 23.1) و $\abs{z_n} \leq 2p_n \to 0$ (ولاحظ $p_n = \frac{np_n}n \to 0$ ). ولكلٍّ من $1 + z_n$ و $\eu^{z_n}$ طويلةٌ لا تتجاوز $1$ : إذ $\abs{1 + z_n} = \abs{(1 - p_n) + p_n\eu^{\iu\xi}} \leq 1$ بمتراجحة المثلث، و $\abs{\eu^{z_n}} = \eu^{p_n(\cos\xi - 1)} \leq 1$ . وتعطي متراجحة التلسكب $\abs{a^n - b^n} \leq n\abs{a - b}$ (برهان المبرهنة 23.8) وحدُّ متسلسلة القوى $\abs{\eu^z - 1 - z} \leq \abs z^2\eu^{\abs z}$

\bigl|(1 + z_n)^n - \eu^{nz_n}\bigr| \leq n\bigl|1 + z_n - \eu^{z_n}\bigr| \leq n\,\abs{z_n}^2\,\eu^{\abs{z_n}} \leq 4\eu^2\,np_n^2 = 4\eu^2\,(np_n)\,p_n \longrightarrow 0 .

وبما أن $nz_n = np_n(\eu^{\iu\xi} - 1) \to \lambda(\eu^{\iu\xi} - 1)$ ، نخلص إلى $\varphi_{X_n}(\xi) \to \exp\bigl(\lambda(\eu^{\iu\xi} - 1)\bigr)$ من أجل كل $\xi$ : أي الدالة المميِّزة للمقدار $\mathcal P(\lambda)$ ، وتعطي ليفي (المبرهنة 23.7) أن $X_n \Rightarrow \mathcal P(\lambda)$ . وعدديًّا: $\P\bigl(\mathcal B(100, 0.02) = 0\bigr) = 0.98^{100} = \eu^{100\ln 0.98} \approx \eu^{-2.020} \approx 0.1326$ ، بينما $\P\bigl(\mathcal P(2) = 0\bigr) = \eu^{-2} \approx 0.1353$ : أي بفارق اثنين في المئة عند هذا العدد $n$ الخشن أصلًا.

تمرين 23.6 ★★

(a) يُرمى حجر نرد عادل $n = 1000$ مرة؛ قرّب احتمال أن يتجاوز المجموع $3600$ (بمتوسط $3500$ وتباين $\frac{35}{12}$ لكل رمية). (b) ومن أجل $S \sim \mathcal B(100, \frac12)$ ، قرّب $\P(45 \leq S \leq 55)$ بمبرهنة النهاية المركزية مع تصحيح الاتصال ( $\pm\frac12$ )، وعلّق على أثر التصحيح.

حل

حل التمرين 23.6.

(a) لرمية واحدة المتوسطُ $\frac72$ والتباين $\frac{35}{12}$ ، ومنه للمجموع $S$ المتوسطُ $3500$ والتباين $\frac{35000}{12} \approx 2916.7$ والانحراف المعياري $\approx 54.0$ . وبمبرهنة النهاية المركزية،

\P(S > 3600) = \P\Bigl(\frac{S - 3500}{54.0} > 1.85\Bigr) \approx 1 - \Phi(1.85) \approx 0.032 :

أي نحو $3\%$ من الفرصة. (b) $S \sim \mathcal B(100, \frac12)$ : بمتوسط $50$ وانحراف معياري $5$ . ومع تصحيح الاتصال،

\P(45 \leq S \leq 55) \approx \Phi\Bigl(\frac{55.5 - 50}{5}\Bigr) - \Phi\Bigl(\frac{44.5 - 50}{5}\Bigr) = 2\Phi(1.1) - 1 \approx 0.729,

مقابل القيمة المضبوطة $0.7287$ ؛ وبدون التصحيح، $2\Phi(1) - 1 \approx 0.683$ ، بفارق خمس نقاط تقريبًا. ويهمّ التصحيح لأن $S$ متغيّر شبكي: إذ تُقرَّب الذرّة $\P(S = k)$ جيدًا بالكتلة الغاوسية للمقدار $\intcc{k - \frac12}{k + \frac12}$ ، ويسقط قصُّ الفترة عند العددين الصحيحين $45$ و $55$ نصفَ ذرّة عند كل طرف.

تمرين 23.7 ★★

(خطأ مونتي كارلو) في إطار المسألة 22.1، السؤال 11، مع $g \in L^2(\intcc01^d)$ ، لتكن $\sigma^2 = \V(g(U_1))$ ولتكن $I = \int g$ . برهن على

\sqrt n\,\Bigl(\frac1n\sum_{k\leq n}g(U_k) - I\Bigr) \Longrightarrow \mathcal N(0, \sigma^2),

واستنتج شريط الخطأ المقارب $95\%$ $\pm 1.96\,\sigma/\sqrt n$ — وهو مستقل عن البُعد $d$ . وقارن ذلك بقاعدة النقطة الوسطى الحتمية في البُعد $d$ (بخطأ $\sim n^{-2/d}$ من أجل مقادير مكامَلة من الصنف $\mathcal C^2$ ): فمن أي بُعد فصاعدًا تفوز المعاينة العشوائية؟

حل

حل التمرين 23.7.

المتغيّرات $g(U_k)$ مستقلة متماثلة (بوصفها صورًا قابلة للقياس لمتغيّرات مستقلة متماثلة)، وقابلة للمكاملة بالمربّع، بمتوسط $I$ (بمبرهنة النقل، التمرين 11.9) وتباين $\sigma^2$ . فإذا كان $\sigma > 0$ ، كانت المبرهنة 23.8 مطبَّقةً عليها هي بالضبط التقاربَ المذكور

\sqrt n\,\Bigl(\frac1n\sum_{k\leq n}g(U_k) - I\Bigr) = \frac{\sum_{k\leq n}\bigl(g(U_k) - I\bigr)}{\sqrt n} \Longrightarrow \mathcal N(0, \sigma^2)

(وإذا كان $\sigma = 0$ ، كانت $g$ ثابتة شبه أكيد وانعدم الطرف الأيسر انعدامًا تامًّا). ومن ثَمّ $\P\bigl(\abs{\frac1n\sum g(U_k) - I} \leq 1.96\,\sigma/\sqrt n\bigr) \to 0.95$ : فلا يرى شريط الخطأ $\pm 1.96\,\sigma/\sqrt n$ البُعدَ $d$ إلا عبر الثابت $\sigma$ ، لا عبر المعدل في $n$ أبدًا. ولقاعدة النقطة الوسطى ذات $n$ عقدة في البُعد $d$ خطوةٌ $n^{-1/d}$ وخطأٌ من رتبة $n^{-2/d}$ من أجل مقادير مكامَلة من الصنف $\mathcal C^2$ . ويتناقص معدل مونتي كارلو $n^{-1/2}$ أسرع من $n^{-2/d}$ بالضبط حين $\frac12 > \frac2d$ ، أي $d > 4$ : فمن البُعد $5$ فصاعدًا، تغلب المعاينة العشوائية الشبكةَ مقاربًا — إذ تعفي لعنةُ الأبعاد الطرقَ الاحتمالية، ولهذا تسود مونتي كارلو المكاملةَ العالية الأبعاد.

تمرين 23.8 ★★★

(سلوتسكي) لنفترض أن $X_n \Rightarrow X$ وأن $Y_n \to c$ احتماليًّا (حيث $c$ ثابت). برهن على $X_n + Y_n \Rightarrow X + c$ وعلى $Y_nX_n \Rightarrow cX$ . (اعمل بالدوال المميِّزة وبالحدّ $\abs{\E\eu^{\iu\xi (X_n+Y_n)} - \eu^{\iu\xi c}\E\eu^{\iu\xi X_n}} \leq \E\abs{\eu^{\iu\xi(Y_n - c)} - 1}$ ، بالشطر على $\abs{Y_n - c} \leq \delta$ .) وتطبيقٌ: في المثال 23.9، برّر استبدال $\sigma = \sqrt{p(1-p)}$ المجهول بالمقدار $\sqrt{\hat p_n(1 - \hat p_n)}$ .

حل

حل التمرين 23.8.

المجموع. من أجل $\xi$ مثبَّت:

\bigl|\E\eu^{\iu\xi(X_n+Y_n)} - \eu^{\iu\xi c}\,\E\eu^{\iu\xi X_n}\bigr| = \bigl|\E\bigl[\eu^{\iu\xi X_n}\bigl(\eu^{\iu\xi Y_n} - \eu^{\iu\xi c}\bigr)\bigr]\bigr| \leq \E\bigl|\eu^{\iu\xi(Y_n - c)} - 1\bigr| .

ونشطر على الحادثة $\{\abs{Y_n - c} \leq \delta\}$ : فهناك $\abs{\eu^{\iu\xi(Y_n-c)} - 1} \leq \abs\xi\,\delta$ (إذ الوتر أقصر من القوس)؛ وتسهم المتممة بما لا يتجاوز $2\,\P(\abs{Y_n - c} > \delta) \to 0$ . ومنه يكون $\limsup$ أصغر من أو يساوي $\leq \abs\xi\,\delta$ من أجل كل $\delta > 0$ : فيؤول الفرق إلى $0$ . وبما أن $\E\eu^{\iu\xi X_n} \to \varphi_X(\xi)$ ، نجد $\varphi_{X_n+Y_n}(\xi) \to \eu^{\iu\xi c}\varphi_X(\xi) = \varphi_{X+c}(\xi)$ ، وتعطي ليفي (المبرهنة 23.7) أن $X_n + Y_n \Rightarrow X + c$ .

الجداء. أولًا، $cX_n \Rightarrow cX$ : $\varphi_{cX_n}(\xi) = \varphi_{X_n}(c\xi) \to \varphi_X(c\xi) = \varphi_{cX}(\xi)$ . ثم $(Y_n - c)X_n \to 0$ احتماليًّا: إذ قوانين $X_n$ محكمة (لأن دوالها المميِّزة تتقارب إلى دالة مميِّزة؛ انظر خطوة الإحكام في المبرهنة 23.7)، ومنه بإعطاء $\varepsilon > 0$ نختار $M$ يحقق $\P(\abs{X_n} > M) \leq \varepsilon$ من أجل كل $n$ ؛ عندئذٍ

\P\bigl(\abs{(Y_n - c)X_n} > \varepsilon\bigr) \leq \P(\abs{X_n} > M) + \P\Bigl(\abs{Y_n - c} > \frac{\varepsilon}{M}\Bigr) \leq \varepsilon + o(1) .

وبكتابة $Y_nX_n = cX_n + (Y_n - c)X_n$ وبتطبيق جزء المجموع (وبرهانه لم يستعمل سوى $Y_n' := (Y_n - c)X_n \to 0$ احتماليًّا، بالثابت $0$ ): $Y_nX_n \Rightarrow cX$ .

التطبيق. بقانون الأعداد الكبيرة القوي (المبرهنة 22.13)، $\hat p_n \to p$ شبه أكيد، ومنه بالاتصال $\hat\sigma_n = \sqrt{\hat p_n(1 - \hat p_n)} \to \sigma = \sqrt{p(1 - p)} > 0$ شبه أكيد، ومن ثَمّ $\frac{\sigma}{\hat\sigma_n} \to 1$ احتماليًّا. وترقّي قاعدة الجداء لسلوتسكي المقدارَ $\frac{S_n - np}{\sigma\sqrt n} \Rightarrow \mathcal N(0,1)$ إلى $\frac{S_n - np}{\hat\sigma_n\sqrt n} = \frac{\sigma}{\hat\sigma_n}\cdot \frac{S_n - np}{\sigma\sqrt n} \Rightarrow \mathcal N(0,1)$ : فتحتفظ فترة الثقة القابلة للاستعمال $\hat p_n \pm 1.96\,\hat\sigma_n/\sqrt n$ ، المبنية من المعطيات وحدها، بمستواها المقارب $95\%$ .

تمرين 23.9 ★★★

لتكن $X \sim \mathcal N(0,1)$ و $\varepsilon$ مستقلين مع $\P(\varepsilon = \pm1) = \frac12$ ؛ ونضع $Y = \varepsilon X$ . (a) برهن على $Y \sim \mathcal N(0,1)$ وعلى $\operatorname{Cov}(X, Y) = 0$ . (b) برهن على أن $X$ و $Y$ ليسا مستقلين، وعلى أن $(X, Y)$ ليست متجهةً غاوسية (احسب $\P(X + Y = 0)$ ). (c) العبرة: أن المبرهنة 23.11(2) تتطلب الغاوسية المشتركة — أما «غاوسيان غير مرتبطان» وحدهما لا يبرهنان على شيء.

حل

حل التمرين 23.9.

(a) بشطر الأمل على قيمتَي $\varepsilon$ (بالاستقلال): من أجل $B$ بوريلية، $\P(Y \in B) = \frac12\P(X \in B) + \frac12\P(-X \in B) = \P(X \in B)$ ، لأن $-X \sim X$ (إذ $\mathcal N(0,1)$ متناظر): $Y \sim \mathcal N(0,1)$ . و $\operatorname{Cov}(X, Y) = \E[\varepsilon X^2] = \E[\varepsilon]\,\E[X^2] = 0 \cdot 1 = 0$ . (b) $\abs Y = \abs X$ ، ومنه $\P(\abs X \leq 1,\ \abs Y \geq 2) = 0$ بينما $\P(\abs X \leq 1)\,\P(\abs Y \geq 2) > 0$ : أي غير مستقلين. ولو كانت $(X, Y)$ متجهةً غاوسية، لكان $X + Y = (1 + \varepsilon)X$ متغيّرًا غاوسيًّا حقيقيًّا (التعريف 23.10 مع $t = (1,1)$ )؛ لكن $\P(X + Y = 0) = \P(\varepsilon = -1) = \frac12$ ، بينما لا تكون للمتغيّر الغاوسي ذرّةٌ إلا إذا كان ثابتًا شبه أكيد — و $X + Y$ يساوي $2X \neq 0$ شبه أكيد على $\{\varepsilon = 1\}$ . وهو تناقض: فليست $(X, Y)$ غاوسية. (c) كل توزيع هامشي غاوسي والتغاير منعدم، ومع ذلك يخفق الاستقلال — لأن الزوج ليس غاوسيًّا معًا. فلا يمكن إضعاف المبرهنة 23.11(2) إلى «توزيعات هامشية غاوسية».

تمرين 23.10 ★★

لقانون كوشي الكثافةُ $\frac1{\pi(1 + x^2)}$ . (a) برهن على أن دالته المميِّزة $\eu^{-\abs\xi}$ (التمرين 14.1 والقلب). (b) برهن على أنه إذا كانت $X_1, \dots, X_n$ مستقلة متماثلة كوشية، فإن $\frac{S_n}n$ كوشيةٌ من جديد — بالقانون نفسه: فالمتوسط لا يتركّز أبدًا. (c) ووفّق ذلك مع قانونَي الأعداد الكبيرة ومع مبرهنة النهاية المركزية: فأي الفرضيات تخفق؟ (احسب $\E\abs{X_1}$ .)

حل

حل التمرين 23.10.

(a) يحسب التمرين 14.1 المقدارَ $\widehat{\eu^{-\abs\cdot}}(\xi) = \frac{2}{1 + \xi^2}$ ؛ وبكون الطرفين قابلين للمكاملة، يقلب قلبُ فورييه (المبرهنة 14.5) ذلك:

\int_\R\eu^{\iu\xi x}\,\frac{\dd x}{\pi(1 + x^2)} = \eu^{-\abs\xi},

وهي بالضبط $\varphi_X(\xi)$ من أجل متغيّر كوشي $X$ . (b) وبالاستقلال، $\varphi_{S_n}(\xi) = \bigl(\eu^{-\abs\xi}\bigr)^n = \eu^{-n\abs\xi}$ ، ومنه $\varphi_{S_n/n}(\xi) = \varphi_{S_n}(\xi/n) = \eu^{-\abs\xi}$ : فالمتوسط التجريبي $\frac{S_n}n$ كوشيٌّ معياري من جديد من أجل كل $n$ (بالتباين). فالمتوسط لا يتركّز أبدًا: وتذبذباته عند الزمن $10^6$ هي تذبذبات مشاهدة واحدة. (c) $\E\abs{X_1} = \frac2\pi\int_0^\infty\frac{x\,\dd x}{1 + x^2} = +\infty$ : فقانون كوشي غير قابل للمكاملة، ومنه لا ينطبق قانون الأعداد الكبيرة القوي (المبرهنة 22.13)، ولا مبرهنة النهاية المركزية (وهي تحتاج إلى تباين منتهٍ) من باب أولى. فهنا تخفق نتائجهما فعلًا، لا مجرّد براهينهما. وفحص الاتساق: $\varphi(\xi) = \eu^{-\abs\xi}$ غير قابل للاشتقاق عند $0$ ، كما يتنبّأ القضية 23.2(c) مقروءًا بنقيض النقيض من أجل متغيّر غير قابل للمكاملة.

تمرين 23.11 ★★

(القوانين المستقرة في المهد) لتكن $(X_n)$ مستقلة متماثلة كوشية معيارية (التمرين 23.10). (a) برهن على أنه من أجل أي $a, b > 0$ ، يكون للمقدار $aX_1 + bX_2$ قانونُ $(a + b)X_1$ : أي إن عائلة كوشي مستقرة تمامًا بالدليل $1$ . (b) برهن على أن العائلة الغاوسية مستقرة تمامًا بالدليل $2$ : $aX_1 + bX_2 \sim \sqrt{a^2 + b^2}\,X_1$ من أجل $X_i$ مستقلة متماثلة $\mathcal N(0,1)$ . (c) اشرح، عبر الدوال المميِّزة من الشكل $\eu^{-c\abs\xi^\alpha}$ ، لماذا يفرض الاستقرار بالدليل $\alpha$ التعييرَ $n^{1/\alpha}$ من أجل المجاميع، وماذا يقول ذلك عن أحواض جذب مبرهنة النهاية المركزية: أي المجاميع المستقلة المتماثلة يمكنها أن تتقارب، بعد تعيير تآلفي، إلى قانون كوشي بدل الغاوسي؟

حل

حل التمرين 23.11.

(a) $\varphi_{aX_1 + bX_2}(\xi) = \eu^{-a\abs\xi}\eu^{-b\abs\xi} = \eu^{-(a+b)\abs\xi} = \varphi_{(a+b)X_1}(\xi)$ (بالاستقلال والتمرين 23.10)؛ ويعيّن التباين القوانين.

(b) $\varphi_{aX_1+bX_2}(\xi) = \eu^{-a^2\xi^2/2} \eu^{-b^2\xi^2/2} = \eu^{-(a^2+b^2)\xi^2/2}$ : أي قانون $\sqrt{a^2+b^2}\,X_1$ .

(c) إذا كان $\varphi_X(\xi) = \eu^{-c\abs\xi^\alpha}$ ، كان للمقدار $S_n = X_1 + \dots + X_n$ الدالةُ $\varphi_{S_n} = \eu^{-cn\abs\xi^\alpha}$ ، وكان للمقدار $S_n/n^{1/\alpha}$ الدالةُ $\varphi(\xi) = \eu^{-c\abs\xi^\alpha}$ من جديد: أي إعادة إنتاج ذاتية مضبوطة تحت التحجيم $n^{1/\alpha}$ — أي $\sqrt n$ من أجل الغاوسي ( $\alpha = 2$ )، و $n$ نفسه من أجل كوشي ( $\alpha = 1$ ، التمرين 23.10(b)). ولا يمكن لمجموع متغيّرات مستقلة متماثلة أن يتقارب (بعد تعيير تآلفي) إلا إلى قانون مستقر تحت هذه الالتفافات؛ وتقول مبرهنة النهاية المركزية إن التباين المنتهي يفرض الحوض الغاوسي، ويكون حوض كوشي محجوزًا للقوانين ذات الذيول الثقيلة إلى حدّ أن $\E X^2 = \infty$ بل و $\E\abs X = \infty$ — مثل مجاميع متغيّرات كوشي نفسها. فللشمول جزرٌ عدة، مفهرَسة بأُسّ الذيل $\alpha \in \intoc02$ .

تمرين 23.12 ★★

(دالة التوزيع التجريبية) لتكن $(X_n)$ مستقلة متماثلة بدالة توزيع $F$ ، ولتكن $F_n(t) = \frac1n\#\{k \leq n : X_k \leq t\}$ . (a) نثبّت $t$ . برهن على أن $n F_n(t) \sim \mathcal B(n, F(t))$ ، وعلى أن $F_n(t) \to F(t)$ شبه أكيد (المبرهنة 22.13)، وعلى أن

\sqrt n\,\bigl(F_n(t) - F(t)\bigr) \Longrightarrow \mathcal N\bigl(0,\ F(t)(1 - F(t))\bigr) .

(b) وعند أي $t$ يكون التباين المقارب أعظميًّا؟ فسّر: أن الوسيط هو الموضع الذي يصعب فيه تثبيت توزيع تجريبي أكثر ما يكون. (c) ومن أجل $F$ متصلة، برهن على أن قانون $\sup_t\abs{F_n(t) - F(t)}$ لا يتعلق بالدالة $F$ (بالإرجاع إلى متغيّرات منتظمة عبر التمرين 22.1) — أي المعجزة الخالية من التوزيع وراء اختبار كولموغوروف–سميرنوف؛ ولا يُطلب حساب ذلك القانون.

حل

حل التمرين 23.12.

(a) الدوال المميّزة $\mathbf 1_{X_k \leq t}$ مستقلة متماثلة برنولية بالوسيط $p = F(t)$ : فمجموعها $nF_n(t)$ ثنائيٌّ $\mathcal B(n, p)$ ؛ ويعطي القانون القوي أن $F_n(t) \to p$ شبه أكيد، وتعطي مبرهنة النهاية المركزية (المبرهنة 23.8) مطبَّقةً على الدوال المميّزة نفسها (بتباين $p(1-p)$ ) النهايةَ الغاوسية المذكورة.

(b) والمقدار $p(1 - p)$ أعظمي عند $p = \frac12$ ، أي حيث $F(t) = \frac12$ : أي عند الوسيط. فتقدير احتمالات الذيل سهل مقاربًا (إذ التباين $\to 0$ حين $p \to 0, 1$ )؛ وتحمل منطقة الوسيط أكبر ضجيج إحصائي — فالمنحني التجريبي يتمايل أشد ما يتمايل في وسطه.

(c) ومن أجل $F$ متصلة، تكون المتغيّرات $U_k = F(X_k)$ مستقلة متماثلة منتظمة على $\intoo01$ (التمرين 22.1)، وتعطي رتابة $F$ ، بكتابة $G_n$ لدالة التوزيع التجريبية للمتغيّرات $U_k$ :

\sup_{t\in\R}\,\abs{F_n(t) - F(t)} = \sup_{u \in \operatorname{im}F}\,\abs{G_n(u) - u} = \sup_{u\in\intcc01}\abs{G_n(u) - u} :

والمساواة الأولى لأن $\{X_k \leq t\} = \{U_k \leq F(t)\}$ إلى غاية حوادث معدومة (بالرتابة؛ إذ لا تخفق المتراجحة الأكيدة إلا على الأجزاء المسطّحة من $F$ ، حيث لا يتغيّر الطرفان)، والثانية لأن $F$ المتصلة، وهي تجري من $0$ إلى $1$ ، تبلغ كل قيمة من $\intoo01$ (بمبرهنة القيم الوسطى)، ولا يضيف الطرفان شيئًا ( $G_n(0) - 0 = 0$ و $G_n(1) - 1 = 0$ ). ولا يتضمّن الطرف الأيمن سوى منتظمات: أي قانونٌ واحد من أجل كل $F$ — فيختبر جدولٌ واحد من القيم الحرجة (أي جدول قانون كولموغوروف) أي نموذج متصل مقابل المعطيات.

23.6 مسألة: برهان ليندبرغ على مبرهنة النهاية المركزية، بمعدل

مسألة 23.1

مسألة نهاية الأسبوع — طريقة الاستبدال

برهن ليندبرغ (1922) على مبرهنة النهاية المركزية بفكرة مخلوعة البساطة: استبدل الحدود واحدًا تلو الآخر بغاوسيات وتحكم في كل استبدال بنشر تايلور. ولا تحتاج الطريقة إلى أي تحليل فورييهي، وتنتج معدل خطأ صريحًا، وهي تشغّل اليوم براهين الشمول في أنحاء نظرية الاحتمالات. لتكن $(X_i)$ مستقلة متماثلة موسَّطة مع $\V(X_1) = 1$ و $\beta = \E\abs{X_1}^3 < \infty$ ؛ ولتكن $(N_i)$ مستقلة متماثلة $\mathcal N(0,1)$ ، مستقلة عن $X_i$ (والوجود: المبرهنة 22.6). ونضع

T_n = \frac{X_1 + \dots + X_n}{\sqrt n}, \qquad G_n = \frac{N_1 + \dots + N_n}{\sqrt n} \sim \mathcal N(0,1).

الجزء الأول — متطابقة الاستبدال. نثبّت $f \in \mathcal C^3_b(\R)$ (بثلاث مشتقات محدودة متصلة؛ $M_3 = \sup\abs{f'''}$ ). ومن أجل $0 \leq i \leq n$ نعرّف المجاميع الهجينة

H_i = \frac{X_1 + \dots + X_i + N_{i+1} + \dots + N_n}{\sqrt n},

بحيث $H_n = T_n$ و $H_0 = G_n$ .

اكتب $H_i = W_i + \frac{X_i}{\sqrt n}$ و $H_{i-1} = W_i + \frac{N_i}{\sqrt n}$ مع $W_i = \frac{1}{\sqrt n}\bigl(\sum_{j<i}X_j + \sum_{j>i}N_j\bigr)$ ، ولاحظ أن $W_i$ مستقل عن الزوج $(X_i, N_i)$ . برّر ذلك.
تايلور بباقٍ تكاملي أو باقي لاغرانج: من أجل أي $w, h$ حقيقيين:

$\Bigl|f(w + h) - f(w) - f'(w)h - \tfrac12f''(w)h^2\Bigr| \leq \frac{M_3\,\abs h^3}{6} .$
طبّق السؤال 2 مرتين ( $h = \frac{X_i}{\sqrt n}$ و $h = \frac{N_i}{\sqrt n}$ عند $w = W_i$ )، وخذ الآمال، واستعمل الاستقلال مع تطابق العزمين الأولين للمتغيّرين $X_i$ و $N_i$ لتبرهن على

$\bigl|\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr| \leq \frac{M_3}{6}\cdot \frac{\beta + \gamma}{n^{3/2}}, \qquad \gamma = \E\abs{N_1}^3 = \frac{2\sqrt2}{\sqrt\pi} .$
تلسكب على $i$ واخلص إلى حدّ ليندبرغ:

$\bigl|\E f(T_n) - \E f(G_n)\bigr| \leq \frac{M_3\,(\beta + \gamma)}{6\,\sqrt n} .$

الجزء الثاني — من $f$ الناعمة إلى مبرهنة النهاية المركزية.

برهن على $\E f(T_n) \to \E f(N)$ من أجل كل $f \in \mathcal C_b^3$ ، وارقَ إلى جميع الدوال المحدودة المتصلة $f$ : بإعطاء $f$ كهذه ومع $\varepsilon$ ، ابنِ $f_\varepsilon \in \mathcal C^3_b$ تحقق $\norm{f - f_\varepsilon}_\infty \leq \varepsilon$ على فترة كبيرة — مثلًا بالتفاف $f$ مع نتوء $\mathcal C^\infty$ (المبرهنة 12.9) — وعالج الذيول بالإحكام ( $\V(T_n) = 1$ وتشيبيشيف). واخلص إلى $T_n \Rightarrow \mathcal N(0, 1)$ : أي مبرهنة النهاية المركزية، معادًا البرهان عليها.
وأين استعمل البرهان كون $X_i$ متماثلة التوزيع؟ برهن على أنه بالكاد فعل: صُغ وبرهن على الصيغة من أجل $X_i$ مستقلة موسَّطة غير متماثلة مع $\sum_i\V(X_i) = s_n^2$ وبعزوم ثالثة، فتحصل على الخطأ $\frac{M_3}{6s_n^3}\sum_i\bigl(\E\abs{X_i}^3 + \V(X_i)^{3/2}\gamma\bigr)$ — أي مبرهنة ليندبرغ الحقيقية في صيغتها لليابونوف.

الجزء الثالث — عوائد كمّية.

(دوال التوزيع) ليكن $t \in \R$ وقرّب $\mathbf 1_{\intoc{-\infty}t}$ من الأعلى ومن الأسفل بمنحدرات من الصنف $\mathcal C^3_b$ عرضها $\delta$ (ابنِها، مع $M_3 = O(\delta^{-3})$ ). وبضمّ ذلك إلى الجزء الأول، استنبط الحدَّ ذا الحدّين

$\sup_{t\in\R}\,\bigl|\P(T_n \leq t) - \Phi(t)\bigr| \;\leq\; \frac{C_1(\beta + \gamma)}{\delta^3\sqrt n} + C_2\,\delta \qquad (\text{من أجل كل} \delta > 0),$

بثوابت صريحة (ويستعمل الحدّ $C_2\delta$ أن للدالة $\Phi$ كثافةً محدودة بالمقدار $\frac1{\sqrt{2\pi}}$ )، وأمثِل $\delta \sim n^{-1/8}$ لتحصل على معدل منتظم من رتبة $n^{-1/8}$ . (والمعدل الأمثل $n^{-1/2}$ — أي بيري–إسين — يتطلب أدوات أدق؛ والمقصود هو معدلٌ صريح بالاستبدال الابتدائي.)
(دي موافر–لابلاس، مكمَّمة) خصّص إلى $X_i = 2B_i - 1$ (أي إشارات قطع نقدية عادلة): وقارن النتيجة بالتقدير المحلي في المسألة 11.1، السؤال 7 — فماذا تعطي كل طريقة ولا تعطيه الأخرى؟
(الشمول) اشرح في فقرة لماذا تبيّن طريقة الاستبدال أكثر من مبرهنة النهاية المركزية: أن أي إحصاءة من الشكل $\E f(\text{مجموع})$ مع $f$ ناعمة غير حساسة، عند الرتبة $n^{-1/2}$ ، لكامل قانون الحدود وراء عزميه الأولين — أي «مبدأ الصمود» الذي تقوم عليه نتائج الشمول الحديثة (المصفوفات العشوائية، وكثيرات الحدود العشوائية)، ومبرهنة النهاية المركزية أول حالاته.

الجزء الرابع — التنعيم، مدفوعًا: معدلات أفضل. جاءت الخسارة من $n^{-1/2}$ (من أجل $f$ ناعمة) إلى $n^{-1/8}$ (من أجل دوال التوزيع) من تحميل $f'''$ بمعيار السوپريموم. ويمكن للهجينات أن تصلح جزءًا منها: فهي تحتوي حدودًا غاوسية، والغاوسيات تنعّم.

(غاوسي مختبئ) من أجل $1 \leq i \leq n - 1$ ، ومن أجل $h = \frac{X_i}{\sqrt n}$ أو $\frac{N_i}{\sqrt n}$ ، ومن أجل $\theta \in \intcc01$ ، اكتب $W_i + \theta h = A + Z$ مع $Z = \frac{N_{i+1} + \dots + N_n}{\sqrt n}$ . برهن على أن $Z \sim \mathcal N\bigl(0, \frac{n-i}n\bigr)$ مستقل عن الزوج $(A, h)$ ، واستنتج، من أجل كل $g \in L^1(\R)$ متصلة،

$\E\bigl[\abs h^3\,\abs{g(W_i + \theta h)}\bigr] \;\leq\; \sqrt{\frac{n}{2\pi(n - i)}}\; \norm{g}_{L^1}\;\E\abs h^3 .$
اجمع السؤال 10 مع الصيغة التكاملية لباقي تايلور،

$f(w + h) = f(w) + f'(w)h + \tfrac12f''(w)h^2 + \int_0^1\frac{(1 - \theta)^2}2\,f'''(w + \theta h)\,h^3\,\dd\theta,$

لإعادة إجراء السؤالين 3 و4: فمن أجل $f \in \mathcal C^3_b$ مع فوق ذلك $f''' \in L^1(\R)$ ،

$\bigl|\E f(T_n) - \E f(G_n)\bigr| \leq \frac{\beta + \gamma}{3\sqrt{2\pi}}\cdot \frac{\norm{f'''}_{L^1}}{\sqrt n} + \frac{M_3(\beta + \gamma)}{6\,n^{3/2}}$

(ويعالج السؤال 10 الاستبدالات $i \leq n - 1$ — باستعمال $\sum_{m=1}^{n-1}m^{-1/2} \leq 2\sqrt n$ — ويعالج الحدّ الخشن في السؤال 3 الاستبدالَ الأخير). وتحقق من أن منحدرات السؤال 7 تحقق $\norm{\psi_\delta'''}_{L^1} = K_1\delta^{-2}$ بينما $M_3 = K\delta^{-3}$ ، وأدخلها، وأمثِل $\delta$ : فيتحسّن معدل دالة التوزيع المنتظم إلى $O(n^{-1/6})$ .
(مطابقة عزم إضافي) لنفترض فوق ذلك $\E X_1^3 = 0$ و $\beta_4 = \E X_1^4 < \infty$ . احسب $\E N_1^3$ و $\E N_1^4$ ، وانشر حتى الرتبة الرابعة، وبرهن على المنوال نفسه على أن معدل دالة التوزيع يصير $O(n^{-1/4})$ (فالآن $\norm{\psi_\delta^{(4)}}_{L^1} = K_2\delta^{-3}$ و $M_4 = K'\delta^{-4}$ ؛ واختر $\delta = n^{-1/4}$ ).
(العائق) لنفترض أن العزوم $k$ الأولى للمتغيّر $X_1$ توافق العزوم الغاوسية ( $k = 2$ دائمًا؛ و $k = 3$ إذا وفقط إذا كان $\E X_1^3 = 0$ ؛ و $k \geq 4$ في لا حالة تقريبًا، إذ $\E N_1^4 = 3$ ). تحقق من أن مخطط الأسئلة 10–12 يسلّم معدلَ دالة التوزيع $n^{-(k-1)/(2k+2)}$ ، بموازنة $\delta^{-k}n^{-(k-1)/2}$ مقابل $\delta$ ، ولاحظ أن الأُسّ لا يقارب قيمة بيري–إسين $\frac12$ إلا حين $k \to \infty$ . واشرح في بضع جمل لماذا تتشبّع طريقة الاستبدال: إذ يُحمَّل كل استبدال بالقيمة المطلقة، بينما يستثمر الطريق الفورييهي (متراجحة إسين في التنعيم) تذبذبَ فرق الدوال المميِّزة ويبلغ $C\beta n^{-1/2}$ بثلاثة عزوم فقط.

الجزء الخامس — بُعدان: مبرهنة النهاية المركزية المتعددة الأبعاد، بالاستبدال. ولتكن الآن $X_i$ متجهات عشوائية مستقلة متماثلة موسَّطة من $\R^2$ بمصفوفة تغاير $\Sigma$ ومع $\beta' = \E\norm{X_1}^3 < \infty$ (بالمعيار الإقليدي).

(المتجهات الغاوسية، إلى الرتبة) قطرِن $\Sigma = PDP^{\mathsf T}$ (التمرين 20.8) وضع $C = P\sqrt DP^{\mathsf T}$ . ومن أجل $Z = (Z^1, Z^2)$ زوجًا من الغاوسيات المعيارية المستقلة (المبرهنة 22.6)، برهن على أن $N = CZ$ متجهةٌ غاوسية (التعريف 23.10) بمتوسط $0$ وتغاير $\Sigma$ ، مع $\gamma' = \E\norm N^3 < \infty$ ؛ وعلى أن للمقدار $G_n = \frac{N_1 + \dots + N_n}{\sqrt n}$ القانونَ $\mathcal N(0, \Sigma)$ بالضبط من أجل نسخ مستقلة متماثلة $N_i$ .
(تايلور بمتغيّرين) من أجل $f \colon \R^2 \to \R$ من الصنف $\mathcal C^3$ مع $M_3 = \max_{\abs\alpha = 3}\sup\abs{\partial^\alpha f} < \infty$ ، برهن على

$\Bigl|f(w + h) - f(w) - \langle\nabla f(w), h\rangle - \tfrac12\langle h, D^2f(w)\,h\rangle \Bigr| \leq \frac{M_3}6\,\bigl(\abs{h_1} + \abs{h_2}\bigr)^3 \leq \frac{\sqrt2\,M_3}3\, \norm h^3$

(بدراسة $t \mapsto f(w + th)$ على $\intcc01$ ).
(مبرهنة النهاية المركزية في $\R^2$ ) أجرِ مخطط الاستبدال على الهجينات المتجهية $H_i$ : برهن على أن حدود الرتبتين الأولى والثانية تتلاشى (إذ تتطابق المتوسطات والتغايرات)، وتلسكب، وارقَ كما في السؤال 5 (بالإحكام من $\E\norm{T_n}^2 = \operatorname{tr}\Sigma$ ؛ وبالتمليف الآن في $\R^2$ ، المبرهنة 12.9) لتخلص إلى: أنه من أجل كل $f \colon \R^2 \to \R$ محدودة متصلة،

$\E\,f\Bigl(\frac{X_1 + \dots + X_n}{\sqrt n}\Bigr) \longrightarrow \E\,f(N), \qquad N \sim \mathcal N(0, \Sigma) :$

أي المبرهنة 23.12 في البُعد $2$ ، بمعدل من أجل $f$ الناعمة ودون أي تحليل فورييهي.
(كرامر–وولد، وتذبذب مشترك) استنتج أن $\langle t, \frac{S_n}{\sqrt n}\rangle \Rightarrow \mathcal N(0, t^{\mathsf T}\Sigma t)$ من أجل كل $t \in \R^2$ مثبَّت. وتطبيقٌ: من أجل $(\xi_i)$ حقيقية مستقلة متماثلة موسَّطة مع $\E\xi_1^2 = 1$ و $\E\xi_1^6 < \infty$ (بحيث ينطبق الجزء الخامس على $V_i = (\xi_i, \xi_i^2 - 1)$ )، برهن على

$\frac1{\sqrt n}\Bigl(\sum_{i\leq n}\xi_i,\ \sum_{i\leq n}(\xi_i^2 - 1)\Bigr) \Longrightarrow \mathcal N\Bigl(0, \begin{pmatrix} 1 & \E\xi_1^3\\ \E\xi_1^3 & \E\xi_1^4 - 1\end{pmatrix}\Bigr) :$

أي إن المتوسط التجريبي والعزم الثاني التجريبي يتذبذبان غاوسيًّا معًا — ومستقلَّين في النهاية إذا وفقط إذا كان $\E\xi_1^3 = 0$ (المبرهنة 23.11).

الجزء السادس — طريقة دلتا.

لتكن $(\hat\theta_n)$ متغيّرات عشوائية تحقق $\sqrt n(\hat\theta_n - \theta) \Rightarrow \mathcal N(0, \sigma^2)$ من أجل وسيط حقيقي $\theta$ ، ولتكن $g$ قابلة للاشتقاق عند $\theta$ . برهن على طريقة دلتا:

$\sqrt n\bigl(g(\hat\theta_n) - g(\theta)\bigr) \Longrightarrow \mathcal N\bigl(0, g'(\theta)^2\sigma^2\bigr)$

(اكتب $g(x) - g(\theta) = (g'(\theta) + \eta(x))(x - \theta)$ مع $\eta \to 0$ عند $\theta$ ؛ وبرهن على $\hat\theta_n \to \theta$ ، ثم على $\eta(\hat\theta_n) \to 0$ ، احتماليًّا؛ وأنهِ بسلوتسكي، التمرين 23.8، والتمرين 23.4(b)).
التطبيقات. (a) من أجل $(\xi_i)$ حقيقية مستقلة متماثلة بمتوسط $\mu$ وتباين $\sigma^2$ ، ومن أجل $\bar X_n = \frac1n\sum_{i\leq n}\xi_i$ : برهن على $\sqrt n(\bar X_n^2 - \mu^2) \Rightarrow \mathcal N(0, 4\mu^2\sigma^2)$ حين $\mu \neq 0$ ، وعلى أن العبارة الصحيحة من أجل $\mu = 0$ تعيش عند سلّم آخر: $n\bar X_n^2 \Rightarrow \sigma^2N^2$ مع $N \sim \mathcal N(0,1)$ (وعيّن دالة توزيع النهاية). (b) (تثبيت التباين) من أجل $\hat p_n$ تواترَ النجاح لعيّنة $\mathcal B(1, p)$ ، حيث $p \in \intoo01$ : برهن على أن $g(p) = \arcsin\sqrt p$ يحقق

$\sqrt n\,\bigl(g(\hat p_n) - g(p)\bigr) \Longrightarrow \mathcal N\Bigl(0, \frac14\Bigr)$

أيًّا كان $p$ — أي شريط خطأ مقارب خالٍ من الوسيط المجهول؛ وقارن ذلك مع المثال 23.9.

الجزء السابع — بواسون، بالطريقة نفسها: مبرهنة لوكام. يعرف الاستبدال صنف شمول ثانيًا: مجاميع عدد كبير من الحوادث النادرة المستقلة. ومن أجل القوانين على $\N$ تكون المسافة الصحيحة التغيّر الكلي،

d_{\mathrm{TV}}(\mu, \nu) = \sup_{A\subseteq\N}\, \abs{\mu(A) - \nu(A)} .

برهن على $d_{\mathrm{TV}}(\mu, \nu) = \frac12\sum_{k\geq0}\abs{\mu(\{k\}) - \nu(\{k\})}$ ، وبرهن على حدّ الاقتران: أنه من أجل أي زوج $(X, Y)$ من المتغيّرات العشوائية بالقانونين $\mu$ و $\nu$ على الفضاء نفسه، $d_{\mathrm{TV}}(\mu, \nu) \leq \P(X \neq Y)$ .
احسب بالضبط، من أجل $p \in \intoo01$ :

$d_{\mathrm{TV}}\bigl(\mathcal B(1, p), \mathcal P(p)\bigr) = p\bigl(1 - \eu^{-p}\bigr) \leq p^2 .$
(لوكام، بالاستبدال) لتكن $X_i \sim \mathcal B(1, p_i)$ ولتكن $Y_i \sim \mathcal P(p_i)$ ، والمتغيّرات $2n$ مستقلة؛ و $S = X_1 + \dots + X_n$ ، وتذكّر $Y_1 + \dots + Y_n \sim \mathcal P(\lambda)$ مع $\lambda = \sum_ip_i$ (التمرين 23.1). واستبدل إحداثيًّا واحدًا في كل مرة في الهجينات الصحيحة $H_i = Y_1 + \dots + Y_i + X_{i+1} + \dots + X_n$ : برهن، من أجل كل $A \subseteq \N$ ، على

$\abs{\P(H_{i-1} \in A) - \P(H_i \in A)} \leq d_{\mathrm{TV}}\bigl(\mathcal B(1, p_i), \mathcal P(p_i)\bigr),$

واخلص إلى متراجحة لوكام:

$d_{\mathrm{TV}}\bigl(\text{قانون} S,\ \mathcal P(\lambda)\bigr) \leq \sum_{i=1}^np_i^2 .$
العوائد. (a) من أجل $p_i = \frac\lambda n$ : يكون الحدّ $\frac{\lambda^2}n$ — أي قانون الحوادث النادرة (التمرين 23.5) مرقًّى إلى معدل صريح، منتظم على جميع الحوادث، وصحيح من أجل $p_i$ غير متساوية أيضًا. (b) تُسلَّم $500$ رسالة، وتضلّ كلٌّ منها طريقها باستقلال باحتمال $\frac1{500}$ : حُدّ خطأ نموذج بواسون بالوسيط $1$ ، وقدّر احتمال ألا تضلّ أي رسالة. (c) واختم المسألة: قارن صنفَي الشمول الملتقيَين هنا — الغاوسي (إسهامات كثيرة صغيرة منتشرة؛ بعزمين متطابقين؛ وتايلور) والبواسوني (إسهامات كثيرة نادرة؛ بمتوسط واحد متطابق؛ واقتران مضبوط بالتغيّر الكلي) — وطريقة الاستبدال الواحدة وراءهما معًا.
(الخطأ النسبي وتحويل اللوغاريتم) لتكن $(X_n)$ مستقلة متماثلة موجبة بمتوسط $\mu > 0$ وتباين $\sigma^2$ ، ولتكن $\bar X_n$ المتوسطَ التجريبي. برهن بطريقة دلتا على

$\sqrt n\,\bigl(\ln\bar X_n - \ln\mu\bigr) \Longrightarrow \mathcal N\Bigl(0,\ \frac{\sigma^2}{\mu^2}\Bigr) :$

فيكون الوسيط المقارب للمقدار $\ln\bar X_n$ هو معامل التغيّر $\sigma/\mu$ — أي خطأ نسبي خالٍ من السلّم. واستنتج فترةَ ثقة $95\%$ للمتوسط $\mu$ من الشكل الضربي $\bar X_n\cdot\eu^{\pm1.96\,\sigma/(\mu\sqrt n)}$ ، واشرح متى يكون مفضَّلًا على الشكل الجمعي.
(العزم الثالث يوجّه الخطأ) من أجل $X \sim$ برنولي( $p$ ) موسَّطًا، احسب $\E\bigl[(X - p)^3\bigr] = p(1-p)(1-2p)$ . وباستعمال تحليل الجزء الرابع (إذ تقود العزوم الثالثة خطأ الاستبدال)، اشرح لماذا يكون التقريب الغاوسي للمقدار $\mathcal B(n, p)$ لامتناظرًا من أجل $p \neq \frac12$ — متجاوزًا من جهة ومقصّرًا من الأخرى — ولماذا يتمتع $p = \frac12$ بالمعدل الأسرع الموافق للعزوم المتطابقة. وتحقق من إشارة الالتواء عدديًّا على $\mathcal B(20, 0.1)$ مقابل $\mathcal N(2, 1.8)$ : قارن $\P(S = 0) = 0.9^{20}$ بالكتلة الغاوسية للمقدار $\intoo{-\infty}{0.5}$ .

حل

حل المسألة 23.1.

1. العائلة $(X_1, \dots, X_n, N_1, \dots, N_n)$ مستقلة: إذ الكتلتان مستقلتان إحداهما عن الأخرى بحكم البناء وكل كتلة مستقلة متماثلة. و $W_i$ دالةٌ قابلة للقياس للمتغيّرات $(X_j)_{j<i}$ و $(N_j)_{j>i}$ وحدها، وكلها متمايزة عن $X_i$ و $N_i$ : فبمبدأ الائتلافات (المبرهنة 22.5)، يكون $W_i$ مستقلًّا عن الزوج $(X_i, N_i)$ . والتفكيكان $H_i = W_i + \frac{X_i}{\sqrt n}$ و $H_{i-1} = W_i + \frac{N_i}{\sqrt n}$ فوريان من التعاريف: إذ يستبدل المرورُ من $H_i$ إلى $H_{i-1}$ بالحدّ الواحد $X_i$ الحدَّ $N_i$ .

2. تايلور–لاغرانج من الرتبة $3$ : يوجد $c$ بين $w$ و $w + h$ يحقق $f(w + h) = f(w) + f'(w)h + \frac12f''(w)h^2 + \frac16f'''(c)h^3$ ، ويعطي $\abs{f'''(c)} \leq M_3$ الحدَّ.

3. بطرح النشرين عند نقطة الأساس المشتركة $w = W_i$ :

f(H_i) - f(H_{i-1}) = f'(W_i)\,\frac{X_i - N_i}{\sqrt n} + \frac{f''(W_i)}{2}\,\frac{X_i^2 - N_i^2}{n} + R_i, \qquad \abs{R_i} \leq \frac{M_3}{6}\cdot \frac{\abs{X_i}^3 + \abs{N_i}^3}{n^{3/2}} .

ونأخذ الآمال. وحسب السؤال 1، يكون $f'(W_i)$ و $f''(W_i)$ مستقلَّين عن $(X_i, N_i)$ ، ومنه تتحلّل الآمال المختلطة:

\begin{align*} \E\Bigl[f'(W_i)\,\frac{X_i - N_i}{\sqrt n}\Bigr] &= \E\bigl[f'(W_i)\bigr]\,\frac{\E X_i - \E N_i}{\sqrt n} = 0, \\ \E\Bigl[f''(W_i)\,\frac{X_i^2 - N_i^2}{n}\Bigr] &= \E\bigl[f''(W_i)\bigr]\,\frac{1 - 1}{n} = 0 : \end{align*}

ويتطابق العزمان الأولان للمتغيّرين $X_i$ و $N_i$ ، فلا ينجو سوى الباقي:

\bigl|\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr| \leq \E\abs{R_i} \leq \frac{M_3}{6}\cdot\frac{\beta + \gamma}{n^{3/2}} .

وأما العزم الثالث الغاوسي: $\gamma = \E\abs{N_1}^3 = 2\int_0^\infty x^3\,\frac{\eu^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\,\dd x = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty 2u\,\eu^{-u}\dd u = \frac{4}{\sqrt{2\pi}} = \frac{2\sqrt2}{\sqrt\pi}$ (بالتعويض $u = x^2/2$ ، ثم $\Gamma(2) = 1$ ).

4. بتلسكب $\E f(T_n) - \E f(G_n) = \sum_{i=1}^n\bigl(\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr)$ وبتطبيق السؤال 3 على كلٍّ من الحدود $n$ :

\bigl|\E f(T_n) - \E f(G_n)\bigr| \leq n \cdot \frac{M_3(\beta + \gamma)}{6\,n^{3/2}} = \frac{M_3\,(\beta + \gamma)}{6\,\sqrt n} .

5. $G_n$ هو $\mathcal N(0,1)$ بالضبط من أجل كل $n$ (بوصفه مجموعًا معيَّرًا لغاوسيات معيارية مستقلة، التمرين 23.3)، ومنه $\E f(G_n) = \E f(N)$ ويُقرأ السؤال 4 $\abs{\E f(T_n) - \E f(N)} \leq \frac{M_3(\beta+\gamma)}{6\sqrt n} \to 0$ من أجل $f \in \mathcal C^3_b$ . الترقية. لتكن $f$ محدودة متصلة، مع $M = \sup\abs f$ و $\varepsilon > 0$ . نختار $A \geq 1$ يحقق $\frac1{A^2} \leq \varepsilon$ : فيعطي تشيبيشيف مع $\V(T_n) = 1$ أن $\P(\abs{T_n} > A) \leq \varepsilon$ من أجل كل $n$ ، وبالمثل $\P(\abs N > A) \leq \varepsilon$ . ولتكن $\chi$ من الصنف $\mathcal C^\infty$ مع $\mathbf 1_{\intcc{-A}A} \leq \chi \leq \mathbf 1_{\intcc{-A-1}{A+1}}$ (أي هضبة ناعمة، مبنيّة بتمليف $\mathbf 1_{\intcc{-A-\frac12}{A+\frac12}}$ ، المبرهنة 12.9)؛ فتكون $g = f\chi$ متصلة ذات حامل متراص، ومن ثَمّ متصلة بانتظام، ومنه يكون تمليفها $g_\eta = g * \rho_\eta$ من الصنف $\mathcal C^\infty$ بمشتقات محدودة من كل الرتب مع $\norm{g - g_\eta}_\infty \leq \varepsilon$ من أجل $\eta$ صغير بما يكفي. ومن أجل $T = T_n$ أو $N$ ، وبما أن $f = g$ على $\intcc{-A}A$ و $\abs{f - g} \leq 2M$ في كل مكان:

\bigl|\E f(T) - \E g_\eta(T)\bigr| \leq \E\abs{(f - g)(T)} + \norm{g - g_\eta}_\infty \leq 2M\,\P(\abs T > A) + \varepsilon \leq (2M + 1)\,\varepsilon .

وبالضمّ إلى $\E g_\eta(T_n) \to \E g_\eta(N)$ (إذ ينطبق السؤال 4: $g_\eta \in \mathcal C^3_b$ ):

\limsup_n\;\bigl|\E f(T_n) - \E f(N)\bigr| \leq 2(2M + 1)\,\varepsilon ,

و $\varepsilon$ كيفي: أي $\E f(T_n) \to \E f(N)$ من أجل كل $f$ محدودة متصلة، أي $T_n \Rightarrow \mathcal N(0,1)$ .

6. لم يدخل تماثل التوزيع إلا عبر جملة واحدة: «للمتغيّرين $X_i$ و $N_i$ العزمان الأولان نفسهما». فلتكن إذًا $X_1, \dots, X_n$ مستقلة موسَّطة بتباينات $\sigma_i^2$ وبعزوم ثالثة منتهية، $s_n^2 = \sum_i\sigma_i^2 > 0$ ، ولتكن $N_i \sim \mathcal N(0, \sigma_i^2)$ مستقلة عن كل شيء. ونعرّف الهجينات بالتعيير $s_n$ : $H_i = \frac1{s_n}(\sum_{j\leq i}X_j + \sum_{j>i}N_j)$ . وفي الاستبدال ذي الرتبة $i$ ، يلغي $\E X_i = \E N_i = 0$ و $\E X_i^2 = \E N_i^2 = \sigma_i^2$ حدّي $f'$ و $f''$ من جديد، ويعطي الباقي (باستعمال $\E\abs{N_i}^3 = \sigma_i^3\gamma$ بالتحجيم):

\bigl|\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr| \leq \frac{M_3}{6\,s_n^3}\bigl(\E\abs{X_i}^3 + \sigma_i^3\gamma\bigr) .

وبالتلسكب:

\Bigl|\E f\Bigl(\frac{X_1 + \dots + X_n}{s_n}\Bigr) - \E f(N)\Bigr| \leq \frac{M_3}{6\,s_n^3}\sum_{i=1}^n \Bigl(\E\abs{X_i}^3 + \V(X_i)^{3/2}\,\gamma\Bigr) .

وبما أن $\sigma_i^3 = (\E X_i^2)^{3/2} \leq \E\abs{X_i}^3$ (بمتراجحة متوسطات القوى، أي ينسن من أجل $t \mapsto t^{3/2}$ مطبَّقةً على $X_i^2$ )، يكون الطرف الأيمن على الأكثر $\frac{M_3(1 + \gamma)}{6}\cdot \frac{\sum_i\E\abs{X_i}^3}{s_n^3}$ : فتحت شرط ليابونوف $\frac1{s_n^3}\sum_i\E\abs{X_i}^3 \to 0$ ، تتقارب المجاميع المعيَّرة في القانون إلى $\mathcal N(0,1)$ — أي مبرهنة النهاية المركزية دون تماثل التوزيع.

7. لتكن $\rho \in \mathcal C^\infty_c(\intoo01)$ مع $\int\rho = 1$ ونضع $\psi(x) = \int_x^1\rho(s)\dd s$ : فتكون $\psi$ من الصنف $\mathcal C^\infty$ ، ومتناقصة بالمعنى الواسع، و $\psi = 1$ على $\R_-$ ، و $\psi = 0$ على $\intco1\infty$ ؛ ولتكن $K = \norm{\psi'''}_\infty$ . ومن أجل $t \in \R$ و $\delta > 0$ نعرّف $\psi_\delta(x) = \psi\bigl(\frac{x - t}\delta\bigr)$ و $\tilde\psi_\delta(x) = \psi\bigl(\frac{x - t}\delta + 1\bigr)$ : فتكونان من الصنف $\mathcal C^3_b$ بمشتقة ثالثة محدودة بالمقدار $K/\delta^3$ ، و

\mathbf 1_{\intoc{-\infty}{t-\delta}} \leq \tilde\psi_\delta \leq \mathbf 1_{\intoc{-\infty}t} \leq \psi_\delta \leq \mathbf 1_{\intoc{-\infty}{t+\delta}} .

الحدّ الأعلى: بالسؤال 4 مطبَّقًا على $\psi_\delta$ (مع $M_3 = K/\delta^3$ )،

\P(T_n \leq t) \leq \E\psi_\delta(T_n) \leq \E\psi_\delta(N) + \frac{K(\beta + \gamma)}{6\,\delta^3\sqrt n} \leq \Phi(t + \delta) + \frac{K(\beta + \gamma)}{6\,\delta^3\sqrt n} \leq \Phi(t) + \frac{\delta}{\sqrt{2\pi}} + \frac{K(\beta + \gamma)}{6\,\delta^3\sqrt n},

لأن $\Phi$ ليبشيتزية بالثابت $\frac1{\sqrt{2\pi}}$ (إذ كثافتها محدودة بالمقدار $\frac1{\sqrt{2\pi}}$ ). ويعطي الحدّ الأدنى المتناظر عبر $\tilde\psi_\delta$ التقديرَ ذا الحدّين

\sup_{t\in\R}\,\bigl|\P(T_n \leq t) - \Phi(t)\bigr| \leq \frac{K(\beta + \gamma)}{6}\cdot\frac{1}{\delta^3\sqrt n} + \frac{\delta}{\sqrt{2\pi}} \qquad(\delta > 0\ \text{كيفي}).

ويتوازن الحدّان حين $\delta^{-3}n^{-1/2} \asymp \delta$ ، أي $\delta = n^{-1/8}$ : فيكون كلاهما عندئذٍ $O(n^{-1/8})$ ، أي معدلًا منتظمًا صريحًا صحيحًا من أجل كل $n$ . (ويتطلب معدل بيري–إسين الأمثل $C\beta/\sqrt n$ متراجحةَ التنعيم الفورييهية؛ ويقايض الاستبدال الحدّةَ بالابتدائية التامة.)

8. من أجل $X_i = 2B_i - 1$ (أي إشارات عادلة): موسَّطة، بتباين $1$ ، و $\abs{X_i} = 1$ ومنه $\beta = 1$ . وعندئذٍ يحدّ السؤال 7 المقدارَ $\sup_t\abs{\P(\frac{S_n}{\sqrt n} \leq t) - \Phi(t)}$ صراحةً وبانتظام من أجل كل $n$ منتهٍ — أي عبارة شاملة غير مقاربة عن دالة التوزيع. أما التقدير المحلي في المسألة 11.1، السؤال 7، فيعطي بدل ذلك العباراتِ المقاربة المضبوطة لذرّة مفردة، $\P(S_{2n} = 2k) \sim \frac{\eu^{-k^2/n}}{\sqrt{\pi n}}$ : فيحلّ احتمالات من حجم $n^{-1/2}$ ، أي أدنى بكثير من دقة $n^{-1/8}$ في السؤال 7، لكنه نقطيٌّ ومقارب (دون خطأ صريح عند $n$ مثبَّت) ومقيَّد بهذا القانون الشبكي بعينه. فالدقة المحلية مقابل الانتظام الشامل: الطريقتان متكاملتان، ويستعيد جمعُ التقدير المحلي على $k \in \intint{a\sqrt n}{b\sqrt n}$ مبرهنةَ دي موافر–لابلاس على الفترات — بمعدل أحدّ، لكن من أجل هذا القانون وحده.

9. لم تستعمل حجة الاستبدال شيئًا عن قانون $X_i$ وراء $\E X_i = 0$ و $\E X_i^2 = 1$ وانتهاء $\E\abs{X_i}^3$ : فلو استبدلنا بالغاوسيات $N_i$ أي عائلة مستقلة متماثلة أخرى لها العزمان الأولان نفساهما وعزمٌ ثالث منتهٍ، لحدّ التلسكب نفسه المقدارَ $\abs{\E f(\text{مجموع}_X) - \E f(\text{مجموع}_Y)}$ بالمقدار $O(n^{-1/2})$ من أجل كل $f$ ناعمة. ومن ثَمّ فإن الإحصاءات الناعمة للمجاميع المستقلة الكبيرة شاملة: فهي، إلى غاية خطأ مكمَّم، لا تتعلق بقانون الحدود إلا عبر عددين. وهذا هو مبدأ الصمود: أن نبرهن على مبرهنة نهاية من أجل أسهل القوانين حسابًا (الغاوسي، حيث كل شيء مضبوط)، ثم ننقلها إلى جميع القوانين بالاستبدال. والمخطط نفسه — مع استبدال مؤثّرات أعقد بالمجاميع — يقود قانون نصف الدائرة لويغنر من أجل المصفوفات العشوائية، وشمولَ جذور كثيرات الحدود العشوائية، وجُلّ الاحتمالات الحديثة؛ ومبرهنة النهاية المركزية أول حالاته وأبسطها.

10. $Z$ دالةٌ بوريلية للمتغيّرات $(N_{i+1}, \dots, N_n)$ وحدها، بينما $A = W_i + \theta h - Z$ و $h$ دوالٌّ للمتغيّرات الباقية من العائلة المستقلة $(X_1, \dots, X_n, N_1, \dots, N_n)$ : فبمبدأ الائتلافات (المبرهنة 22.5)، يكون $Z$ مستقلًّا عن $(A, h)$ . وبوصفه مجموعًا للمتغيّرات المستقلة $N_j/\sqrt n \sim \mathcal N(0, \frac1n)$ ، $Z \sim \mathcal N(0, s^2)$ مع $s^2 = \frac{n-i}n$ (التمرين 23.3)، بكثافة محدودة بالمقدار $\frac1{s\sqrt{2\pi}}$ . وقانون $((A, h), Z)$ هو جداء القانونين الهامشيين، ومنه يجمّد تونيلي (بالنقل) الكتلةَ الأولى: فمع $G(a) = \E\abs{g(a + Z)} = \int\abs{g(a + z)}\,\varphi_s(z)\,\dd z \leq \frac{\norm g_{L^1}}{s\sqrt{2\pi}}$ من أجل كل $a$ ،

\E\bigl[\abs h^3\abs{g(A + Z)}\bigr] = \E\bigl[\abs h^3\,G(A)\bigr] \leq \frac{\norm g_{L^1}}{s\sqrt{2\pi}}\,\E\abs h^3 = \sqrt{\frac{n}{2\pi(n-i)}}\,\norm g_{L^1}\,\E\abs h^3 .

11. تنتج الصيغة التكاملية لتايلور بمكاملة $f(w + h) - f(w) = h\int_0^1f'(w + \theta h)\,\dd\theta$ بالتجزئة مرتين في $\theta$ . وبأخذ الآمال في الاستبدال ذي الرتبة $i$ ، تتلاشى الرتب $0, 1, 2$ تمامًا كما في السؤال 3، ويُحدّ الباقيان (من أجل $h = X_i/\sqrt n$ ومن أجل $N_i/\sqrt n$ )، من أجل $i \leq n - 1$ ، بالسؤال 10 مع $g = f'''$ :

\bigl|\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr| \leq \int_0^1\frac{(1-\theta)^2}2\,\dd\theta\; \sqrt{\frac{n}{2\pi(n-i)}}\,\norm{f'''}_{L^1} \frac{\beta + \gamma}{n^{3/2}} = \frac{\beta + \gamma}{6\,n^{3/2}} \sqrt{\frac{n}{2\pi(n-i)}}\,\norm{f'''}_{L^1} .

وبالجمع، مع $\sum_{i=1}^{n-1}\sqrt{\frac n{n-i}} = \sqrt n\sum_{m=1}^{n-1}m^{-1/2} \leq 2n$ ، وبإضافة حدّ السؤال 3 الخشن من أجل الاستبدال الأخير ( $i = n$ ، إذ لا غاوسي متبقٍّ):

\bigl|\E f(T_n) - \E f(G_n)\bigr| \leq \frac{\beta + \gamma}{3\sqrt{2\pi}}\cdot \frac{\norm{f'''}_{L^1}}{\sqrt n} + \frac{M_3(\beta + \gamma)}{6\,n^{3/2}} .

وأما المنحدرات: $\psi_\delta'''(x) = \delta^{-3}\psi'''\bigl(\frac{x - t}\delta\bigr)$ ، ومنه $M_3 = K\delta^{-3}$ مع $K = \norm{\psi'''}_\infty$ و $\norm{\psi_\delta'''}_{L^1} = \delta^{-2} \norm{\psi'''}_{L^1} = K_1\delta^{-2}$ (بالتعويض). ويعطي حصر السؤال 7 عندئذٍ

\sup_t\,\bigl|\P(T_n \leq t) - \Phi(t)\bigr| \leq \frac{K_1(\beta + \gamma)}{3\sqrt{2\pi}}\cdot \frac1{\delta^2\sqrt n} + \frac{K(\beta + \gamma)}{6}\cdot \frac1{\delta^3n^{3/2}} + \frac\delta{\sqrt{2\pi}} .

وعند $\delta = n^{-1/6}$ يكون الحدّان الأول والثالث $O(n^{-1/6})$ والأوسط $O(n^{-1})$ : أي معدل منتظم $O(n^{-1/6})$ ، أفضل تمامًا من $n^{-1/8}$ في السؤال 7 — إذ أنجز النصف الغاوسي من الهجين التنعيم الإضافي.

12. $\E N_1^3 = 0$ (لأن المقدار المكامَل فردي)، وتعطي المكاملة بالتجزئة أن $\E N_1^4 = 3\,\E N_1^2 = 3$ ( $\int x^3\cdot x\varphi(x)\dd x = 3\int x^2\varphi$ ). ومن أجل $f$ من الصنف $\mathcal C^4$ بمشتقات محدودة، ننشر كل استبدال حتى الرتبة الرابعة: فتحمل حدود الرتبة الثالثة العاملَ $\E X_i^3 - \E N_i^3 = 0$ (إذ يحلّلها الاستقلال كما في السؤال 3)، فلا ينجو سوى باقي الرتبة الرابعة $\int_0^1\frac{(1-\theta)^3}6f^{(4)}(w + \theta h)h^4\dd\theta$ ، مع $\int_0^1 \frac{(1-\theta)^3}6\dd\theta = \frac1{24}$ و $\E h^4 = \beta_4n^{-2}$ أو $3n^{-2}$ . ويحدّ السؤال 10 (مع $g = f^{(4)}$ ) الاستبدالاتِ $i \leq n - 1$ ، وبالجمع كما في السؤال 11:

\bigl|\E f(T_n) - \E f(G_n)\bigr| \leq \frac{\beta_4 + 3}{12\sqrt{2\pi}}\cdot \frac{\norm{f^{(4)}}_{L^1}}{n} + \frac{M_4(\beta_4 + 3)}{24\,n^2} .

ومع $\norm{\psi_\delta^{(4)}}_{L^1} = K_2\delta^{-3}$ و $M_4 = K'\delta^{-4}$ ، يصير حدّ دالة التوزيع $C\delta^{-3}n^{-1} + C'\delta^{-4}n^{-2} + \frac\delta{\sqrt{2\pi}}$ ؛ وعند $\delta = n^{-1/4}$ يكون الحدّان الخارجيان $O(n^{-1/4})$ والأوسط $O(n^{-1})$ : أي معدل $O(n^{-1/4})$ .

13. مع $k$ من العزوم المتطابقة يكون الباقي الناجي لكل استبدال من رتبة $\E\abs h^{k+1} \asymp n^{-(k+1)/2}$ ؛ ويحمّل حدُّ الغاوسي المختبئ $\norm{f^{(k+1)}}_{L^1}$ ويسهم المجموع على الاستبدالات بالعامل $2n$ ، فيعطي $\asymp\norm{f^{(k+1)}}_{L^1}\, n^{-(k-1)/2}$ من أجل $f$ الناعمة. وتكلّف المنحدرات $\norm{\psi_\delta^{(k+1)}}_{L^1} \asymp \delta^{-k}$ ، ومنه يكون خطأ دالة التوزيع $\asymp \delta^{-k}n^{-(k-1)/2} + \delta$ ، متوازنًا عند $\delta = n^{-(k-1)/(2k+2)}$ : أي معدل $n^{-(k-1)/(2k+2)}$ ، وهو $n^{-1/6}$ من أجل $k = 2$ ، و $n^{-1/4}$ من أجل $k = 3$ ، ولا يؤول إلى $n^{-1/2}$ إلا حين $k \to \infty$ — لكن $k \geq 4$ كان سيفرض $\E X_1^4 = 3$ وما بعده، أي قانونًا يحاكي الغاوسي أصلًا. والتشبّع بنيوي: إذ يجمع الاستبدال $n$ من أخطاء الاستبدال بالقيمة المطلقة، متخليًّا عن كل تلاشٍ بين الاستبدالات. أما البرهان الفورييهي فيقارن الدوال المميِّزة، حيث تظهر الأخطاء بأطوارها المتذبذبة؛ وتحوّل متراجحة إسين في التنعيم المقدارَ $\abs{\varphi_{T_n} - \varphi_N}$ ، مكامَلًا مقابل $\frac{\dd\xi}{\abs\xi}$ ، إلى حدّ على دالة التوزيع بكلفة لوغاريتمية فقط، وتسلّم معدل بيري–إسين $C\beta n^{-1/2}$ بثلاثة عزوم. فيقايض الاستبدال الأمثلية بالمتانة — وبالقابلية للنقل، كما يبيّن الجزء السابع.

14. $\Sigma$ متناظرة موجبة شبه معيَّنة؛ ومع $\Sigma = PDP^{\mathsf T}$ (حيث $P$ متعامدة و $D \geq 0$ قطرية، التمرين 20.8)، تحقق المتناظرة $C = P\sqrt DP^{\mathsf T}$ أن $C^2 = \Sigma$ . ومن أجل أي $t \in \R^2$ ، يكون $\langle t, CZ\rangle = \langle Ct, Z\rangle = (Ct)_1Z^1 + (Ct)_2Z^2$ تركيبةً خطية لغاوسيات مستقلة، ومن ثَمّ غاوسيًّا (التمرين 23.3): فتكون $N = CZ$ متجهةً غاوسية؛ ومتوسطها $0$ وتغايرها $\E[NN^{\mathsf T}] = C\,\E[ZZ^{\mathsf T}]\,C^{\mathsf T} = CC^{\mathsf T} = \Sigma$ . وأما العزوم: $\norm N^3 \leq (\abs{N_1} + \abs{N_2})^3 \leq 4(\abs{N_1}^3 + \abs{N_2}^3)$ (بتحدّب $x^3$ على $\R_+$ )، وكل إحداثي غاوسيٌّ حقيقي بعزوم من كل الرتب (التمرين 11.10): $\gamma' < \infty$ . وأخيرًا كل $\langle t, G_n\rangle = \frac1{\sqrt n}\sum_i\langle t, N_i\rangle$ مجموعٌ معيَّر لمتغيّرات مستقلة متماثلة $\mathcal N(0, t^{\mathsf T}\Sigma t)$ ، ومن ثَمّ $\mathcal N(0, t^{\mathsf T}\Sigma t)$ بالضبط: فيكون $G_n$ متجهةً غاوسية بمتوسط $0$ وتغاير $\Sigma$ ، وقانونها $\mathcal N(0, \Sigma)$ (التعريف 23.10: إذ يتعيّن القانون بهذه المعطيات).

15. لتكن $\phi(t) = f(w + th)$ مع $t \in \intcc01$ : فتكون $\phi$ من الصنف $\mathcal C^3$ مع

\phi'''(t) = \sum_{j,k,l\in\{1,2\}}\partial_{jkl}f(w + th)\,h_jh_kh_l, \qquad \abs{\phi'''(t)} \leq M_3\Bigl(\sum_j\abs{h_j}\Bigr)^3 = M_3(\abs{h_1} + \abs{h_2})^3 .

ويعطي تايلور–لاغرانج من الرتبة $3$ من أجل $\phi$ بين $0$ و $1$ المتراجحةَ الأولى؛ وتعطي كوشي–شوارتز أن $\abs{h_1} + \abs{h_2} \leq \sqrt2\norm h$ ، ومن هنا الثابت $\frac{2\sqrt2M_3}6 = \frac{\sqrt2M_3}3$ .

16. نعرّف $H_i$ و $W_i$ كما في السؤال 1، لكن في $\R^2$ ؛ وحجة الائتلافات دون تغيير. وفي الاستبدال ذي الرتبة $i$ ، تعطي حدود الرتبة الأولى $\sum_j\E[\partial_jf(W_i)]\,(\E X_{i,j} - \E N_{i,j})/ \sqrt n = 0$ وتعطي حدود الرتبة الثانية $\frac1{2n}\sum_{j,k}\E[\partial_{jk}f(W_i)]\,(\Sigma_{jk} - \Sigma_{jk}) = 0$ : أي تتطابق المتوسطات والتغايرات. ويحدّ السؤال 15 الباقيين:

\bigl|\E f(H_i) - \E f(H_{i-1})\bigr| \leq \frac{\sqrt2M_3}3\cdot\frac{\E\norm{X_i}^3 + \E\norm{N_i}^3}{n^{3/2}} = \frac{\sqrt2M_3(\beta' + \gamma')}{3\,n^{3/2}},

وبالتلسكب على الاستبدالات $n$ :

\Bigl|\E f\Bigl(\frac{S_n}{\sqrt n}\Bigr) - \E f(G_n)\Bigr| \leq \frac{\sqrt2\,M_3(\beta' + \gamma')}{3\sqrt n}, \qquad G_n \sim \mathcal N(0, \Sigma)\ \text{بالضبط} .

والترقية: $\E\norm{T_n}^2 = \E\norm{X_1}^2 = \operatorname{tr}\Sigma$ (إذ تتلاشى الحدود المتقاطعة بالاستقلال والتوسيط)، ومنه $\P(\norm{T_n} > A) \leq \operatorname{tr}\Sigma/A^2$ ، وبالمثل من أجل $N$ : أي الإحكام. وبإعطاء $f$ محدودة متصلة و $\varepsilon > 0$ ، نضرب في هضبة ناعمة $\chi$ تساوي $1$ على الكرة ذات نصف القطر $A$ وحاملها في نصف القطر $A + 1$ (بتمليف دالة مميّزة في $\R^2$ ، المبرهنة 12.9)؛ فتكون $g = f\chi$ متصلة بانتظام ذات حامل متراص، ومنه يكون تمليفها الثنائي البُعد $g_\eta$ من الصنف $\mathcal C^\infty$ بمشتقات محدودة من كل الرتب مع $\norm{g - g_\eta}_\infty \leq \varepsilon$ من أجل $\eta$ صغير. وعندئذٍ تنتقل سلسلة $\varepsilon$ الثلاثية في السؤال 5 حرفيًّا: أي $\E f(T_n) \to \E f(N)$ من أجل كل $f \colon \R^2 \to \R$ محدودة متصلة. وهذه هي المبرهنة 23.12 من أجل $d = 2$ ، مبرهَنًا عليها الآن — إذ يتفادى الاستبدال مبرهنةَ ليفي الثنائية البُعد التي تركها الفصل مسلَّمًا بها.

17. من أجل $g \colon \R \to \R$ محدودة متصلة، يكون التطبيق $x \mapsto g(\langle t, x\rangle)$ محدودًا متصلًا على $\R^2$ ، ومنه يعطي السؤال 16 أن $\E g(\langle t, T_n\rangle) \to \E g(\langle t, N\rangle)$ : أي يتقارب كل إسقاط في التوزيع، و $\langle t, N\rangle \sim \mathcal N(0, t^{\mathsf T}\Sigma t)$ . (وهذا هو الاتجاه السهل من كرامر–وولد: أن التقارب المشترك يستلزم تقارب جميع الصور الخطية.) وتطبيقٌ: $V_i = (\xi_i, \xi_i^2 - 1)$ متجهات مستقلة متماثلة موسَّطة (إذ $\E\xi_1^2 = 1$ )، بعناصر تغاير $\V(\xi_1) = 1$ ، $\operatorname{Cov}(\xi_1, \xi_1^2 - 1) = \E\xi_1^3$ و $\V(\xi_1^2 - 1) = \E\xi_1^4 - 1$ ؛ والعزم الثالث $\E\norm{V_1}^3 \leq 4\bigl(\E\abs{\xi_1}^3 + \E\abs{\xi_1^2 - 1}^3\bigr)$ منتهٍ حين $\xi_1 \in L^6$ . ويعطي السؤال 16 النهايةَ الغاوسية المشتركة المعروضة، وتعطي المبرهنة 23.11(2): أن إحداثيَي النهاية مستقلان بالضبط حين ينعدم التغاير $\E\xi_1^3$ — فمن أجل القوانين المتناظرة، ينفصل المتوسط التجريبي والتباين التجريبي مقاربًا.

18. نكتب $g(x) - g(\theta) = (g'(\theta) + \eta(x))(x - \theta)$ حيث $\eta(x) = \frac{g(x) - g(\theta)}{x - \theta} - g'(\theta)$ من أجل $x \neq \theta$ و $\eta(\theta) = 0$ : فتعني القابلية للاشتقاق عند $\theta$ بالضبط أن $\eta(x) \to 0$ حين $x \to \theta$ . الخطوة 1: $\hat\theta_n \to \theta$ احتماليًّا: فمن أجل $\varepsilon > 0$ ومن أجل أي $A > 0$ ، يكون في النهاية $\varepsilon\sqrt n \geq A$ ، ومنه $\P(\abs{\hat\theta_n - \theta} > \varepsilon) \leq \P(\abs{\sqrt n(\hat\theta_n - \theta)} > A) \to \P(\sigma\abs N > A)$ (إذ تتقارب دوال التوزيع عند نقطتَي الاتصال $\pm A$ )، ويؤول الطرف الأيمن إلى $0$ حين $A \to \infty$ . الخطوة 2: $\eta(\hat\theta_n) \to 0$ احتماليًّا: فبإعطاء $\varepsilon' > 0$ ، نختار $\delta$ يحقق $\abs\eta \leq \varepsilon'$ على $\abs{x - \theta} \leq \delta$ ؛ عندئذٍ $\P(\abs{\eta(\hat\theta_n)} > \varepsilon') \leq \P(\abs{\hat\theta_n - \theta} > \delta) \to 0$ . الخطوة 3:

\sqrt n\bigl(g(\hat\theta_n) - g(\theta)\bigr) = g'(\theta)\,\sqrt n(\hat\theta_n - \theta) + \eta(\hat\theta_n)\cdot\sqrt n(\hat\theta_n - \theta) .

وبقاعدة الجداء لسلوتسكي (التمرين 23.8، مع المتتالية $\eta(\hat\theta_n) \to 0$ احتماليًّا ومع $\sqrt n(\hat\theta_n - \theta)$ المتقاربة في القانون)، يتقارب الحدّ الثاني في القانون إلى $0\cdot\mathcal N(0, \sigma^2) = 0$ ، ومن ثَمّ إلى $0$ احتماليًّا (التمرين 23.4(b))؛ ويتقارب الأول في القانون إلى $g'(\theta)\mathcal N(0, \sigma^2)$ (بسلوتسكي من جديد، أو بقاعدة التآلف للدوال المميِّزة)؛ وتركّب قاعدة المجموع لسلوتسكي بينهما: فتكون النهاية $\mathcal N(0, g'(\theta)^2\sigma^2)$ .

19. (a) تعطي مبرهنة النهاية المركزية $\sqrt n(\bar X_n - \mu) \Rightarrow \mathcal N(0, \sigma^2)$ ؛ وتعطي طريقة دلتا مع $g(x) = x^2$ و $g'(\mu) = 2\mu$ أن $\sqrt n(\bar X_n^2 - \mu^2) \Rightarrow \mathcal N(0, 4\mu^2\sigma^2)$ — وهي منحلّة (بنهاية $0$ ) حين $\mu = 0$ . وفي تلك الحالة يعيش التذبذب عند سلّم أعلى: $n\bar X_n^2 = (\sqrt n\,\bar X_n)^2$ ، ومن أجل $t > 0$

\P\bigl(n\bar X_n^2 \leq t\bigr) = \P\bigl(-\sqrt t \leq \sqrt n\,\bar X_n \leq \sqrt t\bigr) \longrightarrow \Phi\Bigl(\frac{\sqrt t}\sigma\Bigr) - \Phi\Bigl(-\frac{\sqrt t}\sigma\Bigr) = \P(\sigma^2N^2 \leq t) :

أي $n\bar X_n^2 \Rightarrow \sigma^2N^2$ ، وهو مربّع غاوسي (أي قانون «مربّع كاي») — فحين تموت المشتقة الأولى، يملي حدُّ تايلور من الرتبة الثانية نهايةً غير غاوسية. (b) وهنا $\sqrt n(\hat p_n - p) \Rightarrow \mathcal N(0, p(1 - p))$ ، وللمقدار $g(p) = \arcsin\sqrt p$ القيمةُ $g'(p) = \frac1{2\sqrt{p(1 - p)}}$ ، ومنه $g'(p)^2\,p(1 - p) = \frac14$ : فتكون النهاية $\mathcal N(0, \frac14)$ من أجل كل $p \in \intoo01$ . وعلى سلّم $\arcsin$ يكون شريط الخطأ المقارب $95\%$ هو $\pm \frac{0.98}{\sqrt n}$ ، معروفًا سلفًا — بينما تضمّن العرض في المثال 23.9 المقدارَ المجهول $\sigma = \sqrt{p(1-p)}$ ، ليُعالَج بأسوأ حالة $\frac12$ أو يُقدَّر: فالتحويل يثبّت التباين.

20. لتكن $A^* = \{k : \mu(\{k\}) > \nu(\{k\})\}$ ولتكن $\Delta_k = \mu(\{k\}) - \nu(\{k\})$ ، ومنه $\sum_k\Delta_k = 0$ . ومن أجل أي $A \subseteq \N$ : $\mu(A) - \nu(A) = \sum_{k\in A}\Delta_k \leq \sum_{k\in A^*}\Delta_k$ ، مع التساوي عند $A = A^*$ ؛ وبما أن للجزأين الموجب والسالب من $(\Delta_k)$ الكتلةَ الكلية نفسها، $\sum_{A^*}\Delta_k = \frac12\sum_k\abs{\Delta_k}$ . وبتبادل $\mu, \nu$ نعالج الإشارة: $d_{\mathrm{TV}}(\mu, \nu) = \frac12\sum_k\abs{\Delta_k}$ . وأما الاقتران: فمن أجل أي $A$ ،

\mu(A) - \nu(A) = \E\bigl[\mathbf 1_A(X) - \mathbf 1_A(Y)\bigr] = \E\bigl[(\mathbf 1_A(X) - \mathbf 1_A(Y))\,\mathbf 1_{X\neq Y}\bigr] \leq \P(X \neq Y),

ثم نأخذ السوپريموم على $A$ .

21. يشحن القانونان: $k = 0$ : $1 - p$ مقابل $\eu^{-p}$ ، مع $\eu^{-p} > 1 - p$ ؛ و $k = 1$ : $p$ مقابل $p\,\eu^{-p} < p$ ؛ و $k \geq 2$ : $0$ مقابل باقي بواسون $1 - \eu^{-p} - p\eu^{-p} \geq 0$ . ومنه

d_{\mathrm{TV}} = \tfrac12\bigl[(\eu^{-p} - 1 + p) + (p - p\eu^{-p}) + (1 - \eu^{-p} - p\eu^{-p})\bigr] = \tfrac12\bigl(2p - 2p\eu^{-p}\bigr) = p(1 - \eu^{-p}),

ويعطي $1 - \eu^{-p} \leq p$ الحدَّ $p^2$ .

22. نكتب $H_{i-1} = W_i + X_i$ و $H_i = W_i + Y_i$ مع $W_i = \sum_{j<i}Y_j + \sum_{j>i}X_j$ ، مستقلًّا عن الزوج $(X_i, Y_i)$ (بالائتلافات). ومن أجل $A \subseteq \N$ ، بالشرطنة على القيم القابلة للعدّ بالاستقلال،

\P(H_{i-1} \in A) = \sum_{k\geq0}\P(X_i = k)\,\P(W_i + k \in A),

وبالمثل من أجل $H_i$ مع $Y_i$ . وبالطرح، مع $c_k = \P(W_i + k \in A) \in \intcc01$ و $\Delta_k = \P(X_i = k) - \P(Y_i = k)$ ذات المجموع المعدوم:

\abs{\P(H_{i-1} \in A) - \P(H_i \in A)} = \Bigl|\sum_k\Delta_k\bigl(c_k - \tfrac12\bigr)\Bigr| \leq \tfrac12\sum_k\abs{\Delta_k} = d_{\mathrm{TV}}\bigl(\mathcal B(1, p_i), \mathcal P(p_i)\bigr) .

وبالتلسكب من $H_0 = S$ إلى $H_n = \sum_iY_i \sim \mathcal P(\lambda)$ (التمرين 23.1، مكرَّرة) وباستعمال السؤال 21:

\abs{\P(S \in A) - \P(\mathcal P(\lambda) \in A)} \leq \sum_{i=1}^np_i\bigl(1 - \eu^{-p_i}\bigr) \leq \sum_{i=1}^np_i^2 \qquad\text{من أجل كل} A :

أي متراجحة لوكام. (ويعطي حدُّ الاقتران في السؤال 20 طريقًا بديلًا: أن نقرن كل زوج على متغيّر منتظم واحد بحيث $\P(X_i \neq Y_i) \leq p_i^2$ ونحدّ $\P(S \neq \sum Y_i)$ ؛ ولا يحتاج الاستبدال إلى أي بناء البتة.)

23. (a) مع $p_i = \frac\lambda n$ : $d_{\mathrm{TV}}(\text{قانون}S, \mathcal P(\lambda)) \leq \frac{\lambda^2}n$ . وهذا يحدّ التمرين 23.5 ثلاث مرات: بخطأ صريح عند كل $n$ منتهٍ، وبانتظام على جميع الحوادث $A$ دفعةً واحدة (لا فترةً فترةً)، ودون حاجة إلى $p_i$ متساوية — بل يكفي أن يكون $\sum_ip_i^2$ صغيرًا، مثلًا $\sum p_i^2 \leq \lambda\max_ip_i$ : أي حوادث نادرة كثيرة، لا مهيمن فيها. (b) وهنا $n = 500$ و $p_i = \frac1{500}$ و $\lambda = 1$ : فيخطئ نموذج بواسون بما لا يتجاوز $500\cdot\frac1{500^2} = 0.002$ على كل حادثة؛ وعلى وجه الخصوص، بأخذ $A = \{0\}$ ،

\P(\text{لا رسالة تضلّ}) = \Bigl(1 - \frac1{500}\Bigr)^{500}, \qquad \Bigl|\P(\text{لا رسالة تضلّ}) - \eu^{-1}\Bigr| \leq 0.002,

ومنه يكون الجواب $\eu^{-1} \approx 0.368$ إلى غاية $0.002$ مضمونة (والفارق الحقيقي نحو $4\cdot10^{-4}$ ). (c) وتُختتم المسألة على طريقة واحدة بنظامين. فحين تحمل $n$ من الإسهامات المتقارنة تباينًا $\frac1n$ لكلٍّ منها، تجعل مطابقةُ عزمين مقابل الغاوسي أخطاءَ الاستبدال $o(\frac1n)$ لكلٍّ منها: فتذهب المجاميع إلى الغاوسي — بتايلور أداةً للمقارنة المحلية. وحين تكون $n$ من الإسهامات دوالًّا مميّزة باحتمالات $p_i$ ، تجعل مطابقةُ المتوسط مقابل ذرّة بواسونية كلفةَ كل استبدال $p_i^2$ : فتذهب عدّادات الحوادث النادرة إلى بواسون — بالتغيّر الكلي أداةً للمقارنة المحلية المضبوطة. فالهجينات نفسها، والتلسكب نفسه، وتقديرٌ محلي مختلف: فالاستبدال استراتيجية لا مبرهنة، والنهايتان الغاوسية والبواسونية أقدم عوائده.

24. تعطي مبرهنة النهاية المركزية أن $\sqrt n(\bar X_n - \mu) \Rightarrow \mathcal N(0, \sigma^2)$ ، و $g(x) = \ln x$ قابل للاشتقاق عند $\mu > 0$ مع $g'(\mu) = \frac1\mu$ : فتعطي طريقة دلتا (الجزء السادس) أن $\sqrt n(\ln\bar X_n - \ln\mu) \Rightarrow \mathcal N(0, \sigma^2/\mu^2)$ . وبفكّ الفترة $\abs{\ln\bar X_n - \ln\mu} \leq \frac{1.96\,\sigma}{\mu\sqrt n}$ بأخذ الأُسّي:

\mu \in \bar X_n\cdot \eu^{\pm1.96\,\sigma/(\mu\sqrt n)} \qquad\text{باحتمال مقارب} 95\%

(وعمليًّا يُستبدل بالمقدار $\sigma/\mu$ نظيرُه التجريبي، وبسلوتسكي كما في التمرين 23.8). والفترة الضربية هي الطبيعية حين تكون المعطيات موجبة بأخطاء متناسبة مع حجمها — المداخيل، والتراكيز، وأزمنة نصف العمر: أي كميات تعيش على سلّم لوغاريتمي، حيث قد تعبر الفتراتُ الجمعية المتناظرة الصفرَ.

25. $\E[(X - p)^3] = (1-p)^3p + (-p)^3(1 - p) = p(1-p)\bigl[(1-p)^2 - p^2\bigr] = p(1-p)(1 - 2p)$ . وفي تحليل الاستبدال (الجزء الرابع)، يحمل حدّ الخطأ الرئيسي بعد مطابقة عزمين العزمَ الثالث بإشارته: فمن أجل $p < \frac12$ يكون موجبًا (إذ يميل القانون يمينًا: بنزوات كبيرة نادرة فوق المتوسط)، ويسيء التقريبُ الغاوسي وضعَ الكتلة نظاميًّا — فيقلّل من الذيل الأيسر القصير ويبالغ في الأيمن — بخطأ من رتبة $n^{-1/2}$ ؛ وعند $p = \frac12$ ينعدم العزم الثالث، ويوافق قانون برنولي الغاوسيَّ حتى الرتبة الثالثة، ويتحسّن المعدل (أي سؤال العزوم المتطابقة في الجزء الرابع). وعدديًّا: $\P(S = 0) = 0.9^{20} = 0.1216$ ، بينما يعطي الغاوسي $\mathcal N(2, 1.8)$ المقدارَ $\Phi\bigl(\frac{0.5 - 2}{\sqrt{1.8}}\bigr) = \Phi(-1.118) \approx 0.132$ : فيضع المنحني الطبيعي، جاهلًا الجدارَ عند $0$ والالتواءَ نحو اليمين، كتلةً أكبر مما ينبغي عند الأسفل — أي إشارة الخطأ المتنبَّأ بها، مرئيةً عند $n = 20$ .

المصطلحات المعرَّفة في هذا الفصل

عرض كل المصطلحات (395) في المسرد