गणित · शब्दावली

स्वतंत्रता क्या है?

अन्य नाम: स्वतंत्र घटनाएँ · स्वातंत्र्य

परिभाषा 21.19 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 2 · अध्याय 21 — गणनीय समष्टियों पर प्रायिकता

घटनाएँ $A$ तथा $B$ स्वतंत्र हैं यदि $\P(A \cap B) = \P(A)\P(B)$ हो। घटनाओं का कोई कुल $(A_i)_{i \in I}$ (परस्पर) स्वतंत्र है यदि हर परिमित उपसमुच्चय $J \subseteq I$ के लिए

\P\Bigl(\bigcap_{i \in J} A_i\Bigr) = \prod_{i \in J} \P(A_i) .

उदाहरण

उदाहरण 21.21 (किसी गुणनफल संरचना से पढ़ी गई स्वतंत्रता)

दो निष्पक्ष पासे फेंकिए: एकसमान भारों के साथ $\Omega = \intint16^2$ । मान लीजिए $A = {}$ “पहला पासा सम” और $B = {}$ “दूसरा पासा कम से कम $5$ ” है। गिनने पर: $\abs A = 3\cdot6 = 18$ , $\abs B = 6\cdot2 = 12$ , $\abs{A\cap B} = 3\cdot2 = 6$ , अतः

\P(A\cap B) = \frac6{36} = \frac{18}{36}\cdot\frac{12}{36} = \P(A)\,\P(B) :

अर्थात् स्वतंत्र, और तंत्र दिख भी रहा है — $A$ केवल पहले निर्देशांक को बाँधता है, $B$ केवल दूसरे को, और किसी गुणनफल समुच्चय पर एकसमान माप निर्देशांक-गणनाओं को गुणित कर देता है। “असंयुक्त उछाल-समूहों पर निर्भर घटनाएँ स्वतंत्र हैं” प्रकार का हर दावा (जिसका सप्ताहांत समस्या में भारी उपयोग होता है) यही परिकलन है, बस अधिक सूचकांक पहने हुए।

उदाहरण 21.8 (संघ परिबंध: कच्चा, पर अटूट)

परिमित रूप से कई घटनाओं के साथ उप-योज्यता — अर्थात् संघ परिबंध — परिशुद्धता देकर सार्वभौमिकता ख़रीद लेती है। $23$ व्यक्तियों वाली जन्मदिन समस्या में टकराव की प्रायिकता को युग्मों पर योग से परिबद्ध करने पर सच्चे $0.507$ के सामने

\P(\text{टकराव}) \leq \binom{23}2\cdot\frac1{365} = \frac{253}{365} \approx 0.693 ,

मिलता है: काफ़ी दूर, क्योंकि टकराव आपस में अतिव्यापी होते हैं। फिर भी इस परिबंध को कोई स्वतंत्रता नहीं चाहिए, न कोई संयुक्त नियम, केवल युग्म-प्रायिकताएँ — और इसीलिए सप्ताहांत समस्या में तथा अध्याय 22 भर संघ परिबंध सबसे पहले निकाला जाने वाला औज़ार है: जब वह संयोग से छोटा निकल आए, तब बात बिना किसी और प्रतिरूपण के तय हो जाती है।

उदाहरण 21.15 (जन्मदिन का टकराव, शृंखला नियम से)

$n$ व्यक्तियों के जन्मदिन, जो स्वतंत्र हैं और $365$ दिनों पर एकसमान, लेकर मान लीजिए $D_n = {}$ “ $n$ जन्मदिन सब अलग-अलग हैं” है। व्यक्ति दर व्यक्ति प्रतिबंधन (शृंखला नियम):

\P(D_n) = \prod_{k=1}^{n-1}\Bigl(1 - \frac{k}{365}\Bigr),

जहाँ हर नए व्यक्ति को पहले से लिए गए $k$ दिनों से बचना पड़ता है। $n = 23$ के लिए: $\P(D_{23}) \approx 0.493$ — अर्थात् साझा जन्मदिन पहले ही न होने से अधिक संभावित है। $23$ के छोटेपन को समझाने वाला अंतर्ज्ञान: लघुगणक लेने पर $-\ln \P(D_n) \approx \sum_{k<n}\frac k{365} = \frac{\binom n2}{365}$ , और $\binom{23}2 = 253$ $253/365 \approx 0.693 \approx \ln 2$ दे देता है। जो मायने रखता है वह युग्मों की संख्या है, जो वर्गिक रूप से बढ़ती है: टकराव की समस्याएँ मापक्रम $n \sim \sqrt{365}$ पर जीती हैं, $n \sim 365$ पर नहीं — जन्मदिन का विरोधाभास भेस बदला हुआ वर्गमूल है।

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परिभाषा 22.4 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · अध्याय 22 — प्रायिकता: आधार और बृहत् संख्याओं का नियम

उप- $\sigma$ -बीजगणित $\mathcal A_1, \dots, \mathcal A_n \subseteq \mathcal A$ स्वतंत्र कहलाते हैं यदि सभी $A_i \in \mathcal A_i$ के लिए $\P(A_1\cap\dots\cap A_n) = \prod\P(A_i)$ हो; घटनाएँ स्वतंत्र कहलाती हैं यदि $\sigma$ -बीजगणित $\{\varnothing, A_i, A_i^c, \Omega\}$ स्वतंत्र हों; और यादृच्छिक चर $X_1, \dots, X_n$ स्वतंत्र कहलाते हैं यदि $\sigma$ -बीजगणित $\sigma(X_i) = X_i^{-1}(\mathcal B(\R))$ स्वतंत्र हों। कोई अनंत कुल स्वतंत्र कहलाता है यदि उसका प्रत्येक परिमित उपकुल स्वतंत्र हो।

उदाहरण

उदाहरण 22.7 (जन्मदिन समस्या, ईमानदारी से)

$N = 365$ दिनों पर स्वतंत्र, एकसमान जन्मदिनों वाले $n$ व्यक्तियों में सभी जन्मदिनों के भिन्न होने की प्रायिकता पुनरावृत्त सप्रतिबंधन से

p_n = \prod_{k=1}^{n-1}\Bigl(1 - \frac kN\Bigr),

है (अथवा सीधे: कुल $N^n$ में से अनुकूल $N(N-1)\cdots(N - n + 1)$ , और स्वातंत्र्य का गुणनफल सूत्र इस गणना-तर्क को कठोर बना देता है)। लघुगणक लेकर और $-\ln(1 - x) = x + O(x^2)$ का उपयोग करके:

\ln p_n = -\frac{n(n-1)}{2N} + O\Bigl(\frac{n^3}{N^2}\Bigr), \qquad\text{अतः}\qquad p_n \approx \eu^{-n^2/2N} .

पलटाव बिंदु $p_n = \frac12$ $n \approx \sqrt{2N\ln2} \approx 1.18\sqrt N$ पर बैठता है: $N = 365$ के लिए $n = 23$ ( $p_{23} = 0.4927$ )। दो शिक्षाएँ। पहली, $N$ पेटियों में $n$ वस्तुओं के बीच टकराव $n \sim \sqrt N$ के मापक्रम पर प्रकट होते हैं, न कि $n \sim N$ पर — यही वह जन्मदिन मापन है जो हैश टकरावों को और कूटलेखन में जन्मदिन आक्रमणों की $\sqrt N$ लागत को नियंत्रित करता है। दूसरी, यह परिकलन एक प्रतिमान है: $\binom n2$ युग्म-टकराव घटनाएँ स्वतंत्र नहीं हैं, फिर भी उत्तर ऐसे व्यवहार करता है मानो वे स्वतंत्र हों ( $\eu^{-\binom n2/N}$ ठीक-ठीक स्वतंत्र-युग्मों वाली अनुमान-विधि है) — यह प्वासों आसन्नन का पहला उदाहरण है, जिसे अध्याय 23 की सप्ताहांत समस्या में कठोर बनाया गया है (ले काम असमिका)।

उदाहरण 22.14 (प्रबल नियम से क्या मिलता है)

(क) आवृत्तियाँ: स्वतंत्र सम-बंटित सिक्का-उछालों के लिए चित की प्रेक्षित आवृत्ति लगभग निश्चित रूप से $p$ की ओर अभिसरित होती है — अर्थात् स्वयं प्रायिकता का आनुभविक औचित्य। (ख) मोंते कार्लो: $g \in L^1(\intcc01)$ और स्वतंत्र सम-बंटित एकसमान $(U_n)$ (प्रमेय 22.6) के लिए लगभग निश्चित रूप से $\frac1n\sum_{k\leq n}g(U_k) \to \int_0^1g$ : अर्थात् प्रतिचयन से समाकल, किसी भी विमा में, अध्याय 23 में परिशुद्ध की गई विमा-निरपेक्ष दर $\sim n^{-1/2}$ पर। (ग) सामान्य संख्याएँ: लगभग प्रत्येक वास्तविक संख्या के द्विआधारी प्रसार में एकों की अनंतस्पर्शी आवृत्ति $\frac12$ होती है (प्रमेय 22.6 के अंक चरों पर प्रबल नियम लगाइए) — यह बोरेल की प्रमेय है, जो रोज़मर्रा की संख्याओं के बारे में एक कथन है और माप से सिद्ध होता है: समस्या 22.1 उसे सभी आधारों में पूरा कर देता है।

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उदाहरण

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