¿Qué es Independencia?

Ejemplo 21.21 (Independencia leída en una estructura de producto)

Lánzense dos dados equilibrados: $\Omega = \intint16^2$ con pesos uniformes. Sean $A = {}$“el primer dado es par” y $B = {}$“el segundo dado es al menos $5$”. Contando: $\abs A = 3\cdot6 = 18$, $\abs B = 6\cdot2 = 12$, $\abs{A\cap B} = 3\cdot2 = 6$, luego

independientes, y el mecanismo está a la vista: $A$ restringe solo la primera coordenada, $B$ solo la segunda, y la medida uniforme sobre un conjunto producto hace que los recuentos por coordenadas se multipliquen. Toda afirmación del tipo “los sucesos que dependen de grupos disjuntos de lanzamientos son independientes” (usada masivamente en el problema de fin de semana) es este cálculo, con más índices.

Ejemplo 21.8 (La cota de la unión: burda pero indestructible)

La subaditividad con un número finito de sucesos —la cota de la unión— cambia precisión por universalidad. Para el problema del cumpleaños con $23$ personas, acotar la probabilidad de colisión por la suma sobre parejas da

frente al valor verdadero $0.507$: se pasa por mucho, porque las colisiones se solapan. Y sin embargo, la cota no necesita independencia, ni ley conjunta, ni nada más que las probabilidades de las parejas; por eso, en el problema de fin de semana y a lo largo del Capítulo 22, la cota de la unión es la primera herramienta que se saca: cuando resulta ser pequeña, el asunto queda zanjado sin más modelización.

Ejemplo 21.15 (La colisión de cumpleaños, por la regla de la cadena)

Con $n$ personas cuyos cumpleaños son independientes y uniformes sobre $365$ días, sea $D_n = {}$“los $n$ cumpleaños son todos distintos”. Condicionando persona a persona (regla de la cadena):

pues cada nueva persona ha de evitar los $k$ días ya ocupados. Para $n = 23$: $\P(D_{23}) \approx 0.493$; un cumpleaños compartido es ya más probable que improbable. La heurística que explica la pequeñez de $23$: tomando logaritmos, $-\ln \P(D_n) \approx \sum_{k<n}\frac k{365} = \frac{\binom n2}{365}$, y $\binom{23}2 = 253$ da $253/365 \approx 0.693 \approx \ln 2$. Lo que importa es el número de parejas, que crece cuadráticamente: los problemas de colisión viven en la escala $n \sim \sqrt{365}$, no en $n \sim 365$; la paradoja del cumpleaños es una raíz cuadrada disfrazada.

Ejemplo 22.7 (El problema de los cumpleaños, honestamente)

Entre $n$ personas con cumpleaños independientes y uniformes sobre $N = 365$ días, la probabilidad de que todos los cumpleaños sean distintos vale

por condicionamientos sucesivos (o directamente: los $N(N-1)\cdots(N - n + 1)$ casos favorables entre los $N^n$ totales, un argumento de recuento que la fórmula del producto de la independencia hace riguroso). Tomando logaritmos y usando $-\ln(1 - x) = x + O(x^2)$:

El punto de inflexión $p_n = \frac12$ se sitúa en $n \approx \sqrt{2N\ln2} \approx 1.18\sqrt N$: para $N = 365$, $n = 23$ ($p_{23} = 0.4927$). Dos moralejas. La primera: las colisiones entre $n$ objetos en $N$ casillas aparecen a escala $n \sim \sqrt N$, no $n \sim N$ — el escalado del cumpleaños que rige las colisiones de las funciones de dispersión y el coste $\sqrt N$ de los ataques del cumpleaños en criptografía. La segunda: el cálculo es una plantilla: los $\binom n2$ sucesos de colisión por pares no son independientes y, sin embargo, la respuesta se comporta como si lo fueran ($\eu^{-\binom n2/N}$ es exactamente la heurística de pares independientes) — una primera instancia de la aproximación de Poisson, que el problema de fin de semana del Capítulo 23 hace rigurosa (desigualdad de Le Cam).

Ejemplo 22.14 (Lo que compra la ley fuerte)

(a) Frecuencias: para lanzamientos de moneda i.i.d., la frecuencia observada de caras converge c.s. a $p$ — la justificación empírica de la propia probabilidad. (b) Monte Carlo: para $g \in L^1(\intcc01)$ y $(U_n)$ uniformes i.i.d., (Teorema 22.6), $\frac1n\sum_{k\leq n}g(U_k) \to \int_0^1g$ c.s.: integrales por muestreo, en cualquier dimensión, a la velocidad independiente de la dimensión $\sim n^{-1/2}$ que precisa el Capítulo 23. (c) Números normales: casi todo número real tiene, en su desarrollo binario, frecuencia asintótica $\frac12$ de unos (aplíquese la ley fuerte a las variables de dígitos del Teorema 22.6) — el teorema de Borel, un enunciado sobre los números de todos los días demostrado por la medida: el Problema 22.1 lo completa en todas las bases.