Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

64Aritmética: divisores y números primos

La aritmética estudia los números enteros y cómo se dividen unos a otros. Sus personajes centrales son los números primos, los ladrillos con los que todo número entero se monta por multiplicación. El capítulo termina con el máximo común divisor, la herramienta adecuada para simplificar fracciones de una vez por todas. Esta historia continúa, mucho más lejos, en el volumen de secundaria superior y más allá.

64.1 Divisores y múltiplos

Definición 64.1 (Divisor, múltiplo)

Sean $a$ y $b$ números enteros positivos. Se dice que $b$ divide a $a$ (o que $b$ es un divisor de $a$ , o que $a$ es múltiplo de $b$ ) cuando $a = b \times k$ para algún número entero $k$ — es decir, cuando la división de $a$ entre $b$ da resto $0$ .

Ejemplo 64.2

Los divisores de $24$ son $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ — van por parejas cuyo producto es $24$ : $(1,24)$ , $(2,12)$ , $(3,8)$ , $(4,6)$ . Los múltiplos de $7$ son $7, 14, 21, 28, \dots$

Proposición 64.3 (Criterios de divisibilidad)

Un número entero es divisible:

entre $2$ cuando su última cifra es par ( $0, 2, 4, 6, 8$ );
entre $5$ cuando su última cifra es $0$ o $5$ ;
entre $10$ cuando su última cifra es $0$ ;
entre $3$ (resp. $9$ ) cuando la suma de sus cifras es divisible entre $3$ (resp. $9$ );
entre $4$ cuando sus dos últimas cifras forman un número divisible entre $4$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 64.4

$7\,215$ termina en $5$ : divisible entre $5$ . Su suma de cifras es $7 + 2 + 1 + 5 = 15$ , divisible entre $3$ pero no entre $9$ : así que $7\,215$ es divisible entre $3$ , no entre $9$ . En efecto, $7\,215 = 3 \times 5 \times 481$ .

64.2 Los números primos

Definición 64.5 (Número primo)

Un número primo es un número entero $\geq 2$ cuyos únicos divisores son $1$ y él mismo. Los primos menores que $30$ son

2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29 .

El número $1$ no es primo (por convenio), y un número entero $\geq 2$ que no es primo se llama compuesto.

Teorema 64.6 (Descomposición en factores primos)

Todo número entero $\geq 2$ es producto de números primos, y esa descomposición es única salvo el orden de los factores.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Método 64.7 (Descomponer un número entero)

Divide por el primo más pequeño posible, una y otra vez, hasta llegar a $1$ :

prueba con $2$ mientras el número sea par;
después prueba con $3$ , después con $5$ , después con $7$ , … (solo primos);
para cuando el cociente sea $1$ ; reúne los factores con sus exponentes.

Basta con probar los primos $p$ cuyo $p^2$ no pase del número actual: si ninguno lo divide, el número mismo es primo.

Ejemplo 64.8

Descompón $360$ , división a división:

360 = 2 \times 180, \quad 180 = 2 \times 90, \quad 90 = 2 \times 45, \quad 45 = 3 \times 15, \quad 15 = 3 \times 5,

así que

360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5 .

El árbol de factores de 360: cada paso separa el factor primo más pequeño (en rojo). Leyendo las hojas rojas y el 5 final: 360 = 23 × 32 × 5. — El árbol de factores de $360$ : cada paso separa el factor primo más pequeño (en rojo). Leyendo las hojas rojas y el $5$ final: $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ .

Teorema 64.9 (Euclides)

Hay infinitos números primos.

Demostración. Supón que solo hubiera una cantidad finita, digamos $p_1, p_2, \dots, p_k$ , y considera

N = p_1 \times p_2 \times \dots \times p_k + 1 .

Al dividir $N$ entre cualquier $p_i$ queda resto $1$ , así que ningún $p_i$ divide a $N$ . Pero $N \geq 2$ tiene al menos un divisor primo (Teorema 64.6) — un primo que no está en nuestra lista. Contradicción: ninguna lista finita puede contener todos los primos. ∎

64.3 El máximo común divisor

Definición 64.10 (MCD)

El máximo común divisor de dos números enteros positivos $a$ y $b$ , escrito $\gcd(a, b)$ , es el mayor número entero que divide a los dos. Cuando $\gcd(a, b) = 1$ , los enteros se llaman primos entre sí: no comparten ningún divisor salvo $1$ .

Ejemplo 64.11

Divisores de $18$ : $1, 2, 3, 6, 9, 18$ . Divisores de $24$ : $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ . Divisores comunes: $1, 2, 3, 6$ ; así que $\gcd(18, 24) = 6$ . Los enteros $15$ y $28$ son primos entre sí.

Proposición 64.12 (El MCD a partir de las descomposiciones)

El MCD de dos números enteros es el producto de los primos que aparecen en las dos descomposiciones, cada uno tomado con el menor de sus dos exponentes.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 64.13

$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ y $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ . Primos comunes: $2$ (exponentes $3$ y $2$ : se queda $2$ ) y $3$ (exponentes $2$ y $1$ : se queda $1$ ). Así que

\gcd(360, 84) = 2^2 \times 3 = 12 .

Teorema 64.14 (Algoritmo de Euclides)

Si $a = bq + r$ es la división de $a$ entre $b$ con resto $r$ , entonces

\gcd(a, b) = \gcd(b, r).

Repitiendo divisiones hasta que el resto sea $0$ , el MCD de $a$ y $b$ es el último resto no nulo.

Demostración. De $a = bq + r$ : todo número entero que divida a $b$ y a $r$ divide a $bq + r = a$ ; y de $r = a - bq$ : todo número entero que divida a $a$ y a $b$ divide a $r$ . Así que las parejas $(a, b)$ y $(b, r)$ tienen exactamente los mismos divisores comunes — en particular el mismo mayor. Como los restos decrecen estrictamente, el algoritmo termina, y $\gcd(x, 0) = x$ da el último resto no nulo. ∎

Ejemplo 64.15

Calcula $\gcd(1071, 462)$ :

\begin{align*} 1071 &= 462 \times 2 + 147, \\ 462 &= 147 \times 3 + 21, \\ 147 &= 21 \times 7 + 0 . \end{align*}

El último resto no nulo es $21$ : $\gcd(1071, 462) = 21$ .

Método 64.16 (Simplificar del todo una fracción)

Para escribir $\dfrac ab$ en su forma irreducible:

calcula $d = \gcd(a, b)$ , por ejemplo con el algoritmo de Euclides;
divide numerador y denominador entre $d$ : $\dfrac ab = \dfrac{a \div d}{b \div d}$ ;
la fracción resultante es irreducible: su numerador y su denominador son primos entre sí.

Ejemplo 64.17

$\dfrac{462}{1071} = \dfrac{462 \div 21}{1071 \div 21} = \dfrac{22}{51}$ , y $\gcd(22, 51) = 1$ : irreducible.

64.4 Ejercicios

Ejercicio 64.1 ★

Enumera todos los divisores de $36$ , de $45$ y de $17$ .

Solución

Solución de Ejercicio 64.1.

Divisores de $36$ : $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ . Divisores de $45$ : $1, 3, 5, 9, 15, 45$ . Divisores de $17$ : solo $1$ y $17$ ( $17$ es primo).

Ejercicio 64.2 ★

Usando los criterios de divisibilidad, determina si $2\,346$ es divisible entre $2$ , entre $3$ , entre $4$ , entre $5$ y entre $9$ .

Solución

Solución de Ejercicio 64.2.

$2\,346$ termina en $6$ : divisible entre $2$ , no entre $5$ . Suma de cifras $2 + 3 + 4 + 6 = 15$ : divisible entre $3$ , no entre $9$ . Las dos últimas cifras son $46$ , y $46 = 4 \times 11 + 2$ no es divisible entre $4$ : $2\,346$ no es divisible entre $4$ .

Ejercicio 64.3 ★

Da la descomposición en factores primos de $72$ , $150$ , $210$ y $121$ .

Solución

Solución de Ejercicio 64.3.

$72 = 2^3 \times 3^2$ ; $150 = 2 \times 3 \times 5^2$ ; $210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7$ ; $121 = 11^2$ .

Ejercicio 64.4 ★

¿Es $101$ primo? ¿Y $91$ ? ¿Y $143$ ? Justifícalo con la regla de parada del Método 64.7.

Solución

Solución de Ejercicio 64.4.

$101$ : prueba con los primos $p$ tales que $p^2 \leq 101$ , es decir $2, 3, 5, 7$ . Ninguno divide a $101$ (es impar, suma de cifras $2$ , no termina en $0/5$ , $101 = 7 \times 14 + 3$ ): $101$ es primo.

$91 = 7 \times 13$ : no es primo.

$143 = 11 \times 13$ : no es primo.

Ejercicio 64.5 ★

Calcula $\gcd(48, 60)$ de dos maneras: enumerando los divisores comunes y a partir de las descomposiciones en factores primos.

Solución

Solución de Ejercicio 64.5.

Divisores comunes de $48$ y $60$ : los divisores de 48 son $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48$ ; los divisores de $60$ son $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60$ ; los comunes son $1, 2, 3, 4, 6, 12$ , así que $\gcd(48,60) = 12$ .

Por descomposición: $48 = 2^4 \times 3$ y $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ ; primos comunes con los exponentes menores: $2^2 \times 3 = 12$ .

Ejercicio 64.6 ★★

Usa el algoritmo de Euclides para calcular $\gcd(255, 154)$ y después $\gcd(1053, 325)$ . Escribe todas las líneas de división.

Solución

Solución de Ejercicio 64.6.

$\gcd(255, 154)$ :

\begin{align*} 255 &= 154 \times 1 + 101, \\ 154 &= 101 \times 1 + 53, \\ 101 &= 53 \times 1 + 48, \\ 53 &= 48 \times 1 + 5, \\ 48 &= 5 \times 9 + 3, \\ 5 &= 3 \times 1 + 2, \\ 3 &= 2 \times 1 + 1, \\ 2 &= 1 \times 2 + 0 . \end{align*}

Último resto no nulo: $\gcd(255, 154) = 1$ (son primos entre sí).

$\gcd(1053, 325)$ :

\begin{align*} 1053 &= 325 \times 3 + 78, \\ 325 &= 78 \times 4 + 13, \\ 78 &= 13 \times 6 + 0 . \end{align*}

$\gcd(1053, 325) = 13$ .

Ejercicio 64.7 ★★

Haz irreducible la fracción $\dfrac{588}{504}$ . (Calcula el MCD por el método que prefieras y después divide.)

Solución

Solución de Ejercicio 64.7.

Algoritmo de Euclides: $588 = 504 \times 1 + 84$ ; $504 = 84 \times 6 + 0$ : $\gcd(588, 504) = 84$ . Entonces

\frac{588}{504} = \frac{588 \div 84}{504 \div 84} = \frac{7}{6},

que es irreducible.

Ejercicio 64.8 ★★

Una florista tiene $84$ rosas y $126$ tulipanes y quiere hacer ramos idénticos, usando todas las flores, con el mayor número posible de ramos. ¿Cuántos ramos puede hacer y qué lleva cada uno?

Solución

Solución de Ejercicio 64.8.

El número de ramos tiene que dividir a $84$ y a $126$ ; el mayor posible es $\gcd(84, 126)$ . Descomposiciones: $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ , $126 = 2 \times 3^2 \times 7$ , así que el MCD es $2 \times 3 \times 7 = 42$ . Puede hacer $42$ ramos, cada uno con $\frac{84}{42} = 2$ rosas y $\frac{126}{42} = 3$ tulipanes.

Ejercicio 64.9 ★★

Dos transbordadores salen del mismo muelle a las 8:00. Uno sale cada $24$ minutos y el otro cada $36$ minutos. ¿A qué hora vuelven a salir juntos? (Busca el menor múltiplo común de $24$ y $36$ ; las descomposiciones ayudan.)

Solución

Solución de Ejercicio 64.9.

Hace falta el mínimo común múltiplo. $24 = 2^3 \times 3$ y $36 = 2^2 \times 3^2$ ; tomando cada primo con el mayor exponente: $\lcm = 2^3 \times 3^2 = 72$ . Los transbordadores vuelven a salir juntos $72$ minutos después de las 8:00, a las 9:12.

Ejercicio 64.10 ★★★

Sea $n$ un número entero positivo.

demuestra que $\gcd(n, n+1) = 1$ (dos enteros consecutivos siempre son primos entre sí);
deduce que la fracción $\dfrac{n}{n+1}$ es siempre irreducible.

Solución

Solución de Ejercicio 64.10.

1. Todo divisor común $d$ de $n$ y $n+1$ divide también a su diferencia $(n+1) - n = 1$ , luego $d = 1$ : $\gcd(n, n+1) = 1$ .

2. Una fracción es irreducible exactamente cuando su numerador y su denominador son primos entre sí, que es el caso de $n$ y $n + 1$ por el apartado 1.

64.5 Problema: Jarras de agua, cigarras y cien taquillas

Problema 64.1

Problema de fin de semana — el MCD decide qué cantidades pueden medir dos jarras; los primos protegen a las cigarras; y las taquillas que quedan abiertas son los cuadrados perfectos

Tres acertijos que parecen adivinanzas y son en realidad aritmética: medir agua con jarras sin marcas (el MCD disfrazado), ciclos de vida de insectos que evolucionaron hasta números primos y un famoso pasillo de cien taquillas cuyo estado final se decide contando divisores. Todo funciona con la maquinaria de este capítulo: la divisibilidad, la descomposición en factores primos (Teorema 64.6) y el algoritmo de Euclides (Teorema 64.14).

Parte I — Las jarras de agua. Estás en una fuente con dos jarras sin marcas, de $5$ L y $3$ L. Movimientos permitidos: llenar una jarra hasta el borde, vaciar una jarra del todo, verter una jarra en la otra hasta que la de origen quede vacía o la de destino esté llena.

mide exactamente $1$ L (describe tu sucesión de movimientos y el contenido de las dos jarras después de cada uno);
mide exactamente $4$ L — el acertijo de una famosa película de acción (se puede hacer en seis movimientos);
¿qué números enteros de litros de $1$ a $8$ puedes exhibir (en una jarra o repartidos entre las dos)? Completa la lista reutilizando tus sucesiones;
jarras nuevas: $6$ L y $4$ L. Intenta medir $1$ L — y después explica por qué no hay nada que hacer: comprueba que cada uno de los tres movimientos permitidos mantiene el contenido de cada jarra como múltiplo de $2$ , así que toda cantidad alcanzable es par;
el argumento de la pregunta 4 vale en general: con jarras de $a$ y $b$ litros, toda cantidad alcanzable es múltiplo de $\gcd(a, b)$ . Calcula $\gcd(6, 4)$ y $\gcd(5, 3)$ y di qué predice la ley para cada pareja de jarras.

Parte II — Euclides en la fuente.

calcula con el algoritmo de Euclides: $\gcd(91, 65)$ y $\gcd(2\,026, 46)$ ;
explica, con tus palabras, por qué las cantidades que aparecen en las jarras son los restos de Euclides disfrazados: con jarras de $13$ L y $5$ L, llena una y otra vez la jarra pequeña y viértela en la grande (vaciando la grande cada vez que se llene). ¿Qué cantidades nuevas aparecen primero? Y compáralas con los restos del algoritmo de Euclides para $(13, 5)$ ;
deduce la respuesta del campeón: con jarras de $13$ y $5$ litros, ¿puedes medir exactamente $1$ L? Justifícalo en una línea con la pregunta 5 y $\gcd(13, 5)$ ;
una demostración rápida de coprimalidad al estilo del Ejercicio 64.10: demuestra que $\gcd(n, 2n + 1) = 1$ para todo número entero positivo $n$ (¿a qué tiene que dividir un divisor común de $n$ y $2n + 1$ ?);
dos autobuses salen juntos de la terminal a las 7:00; uno sale cada $12$ minutos y el otro cada $18$ . Enumera las próximas horas de salida de cada uno y halla el primer momento en que vuelven a salir juntos. Comprueba en este ejemplo la bonita ley: (primer múltiplo común) $\times$ $\gcd$ $=$ producto de los dos números — y pruébala otra vez con $5$ y $3$ .

Parte III — Cigarras, divisores y taquillas.

ciertas cigarras norteamericanas emergen solo cada $17$ años; supón que la población de un depredador alcanza su máximo cada $4$ años. Si las dos cosas ocurren este año, ¿dentro de cuántos años volverá a coincidir una emergencia con un máximo? La misma pregunta si el ciclo de las cigarras fuera de $16$ años: ¿cada cuánto serían masacradas entonces? Explica en una frase por qué la evolución empujó el ciclo hacia una duración prima;
usando la descomposición $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ , cuenta los divisores de $360$ sin enumerarlos: un divisor elige un exponente para $2$ (cuatro opciones: $0, 1, 2, 3$ ), otro para $3$ y otro para $5$ . ¿Cuántos divisores hay en total?;
demuestra que en la descomposición de un cuadrado perfecto $n = m^2$ todo primo lleva un exponente par. Deduce, sin calcular ninguna raíz cuadrada, que $360$ no es un cuadrado perfecto;
empareja cada divisor $d$ de $n$ con su compañero $\frac{n}{d}$ (para $n = 36$ : $1 \leftrightarrow 36$ , $2 \leftrightarrow 18$ , $3 \leftrightarrow 12$ , $4 \leftrightarrow 9$ , $6 \leftrightarrow 6$ ). ¿Cuándo es un divisor su propio compañero? Deduce el criterio: $n$ tiene un número impar de divisores exactamente cuando $n$ es un cuadrado perfecto. Compruébalo con $36$ y con $360$ ;
las cien taquillas. Las taquillas $1$ a $100$ empiezan cerradas. El alumno $1$ cambia el estado de todas las taquillas; el alumno $2$ cambia el de las taquillas $2, 4, 6, \dots$ ; el alumno $k$ cambia el de los múltiplos de $k$ ; y así hasta el alumno $100$ . Explica qué alumnos tocan la taquilla $n$ , cuántas veces se le cambia el estado y — usando la pregunta 14 — exactamente qué taquillas acaban abiertas. ¿Cuántas quedan abiertas?

Solución

Solución de Problema 64.1.

1. Llena la de $3$ y viértela en la de $5$ (contenidos $0/3 \to 3$ en la grande). Vuelve a llenar la de $3$ y viértela en la de $5$ hasta que esté llena: la jarra grande solo admite $2$ más, y quedan

3 - 2 = 1 \text{ L en la jarra pequeña.}

Movimientos: llena $3$ ; vierte $3 \to 5$ ; llena $3$ ; vierte $3 \to 5$ .

2. Llena la de $5$ ; viértela en la de $3$ (quedan $2$ en la grande); vacía la de $3$ ; vierte los $2$ en la de $3$ ; llena la de $5$ ; viértela en la de $3$ hasta llenarla — admite $1$ , y quedan $\mathbf{4}$ L en la jarra grande. Seis movimientos.

3. Todas: $1$ (pregunta 1), $2$ (tras dos movimientos de la pregunta 2), $3$ y $5$ (con un solo llenado), $4$ (pregunta 2), $6 = 3 + 3$ (la jarra pequeña llena más $3$ vertidos en la grande), $7 = 5 + 2$ , $8 = 5 + 3$ (las dos llenas). Toda cantidad entera de $1$ a $8$ L se puede medir con la de $5$ y la de $3$ .

4. Al principio las dos jarras contienen $0$ , múltiplo de $2$ . Llenar pone un contenido a $6$ o a $4$ : par. Vaciar lo pone a $0$ : par. Verter mueve algo de agua entre jarras cuyos contenidos eran pares, y la cantidad vertida es diferencia de números pares (el hueco libre o la cantidad disponible): todos los contenidos siguen siendo pares para siempre. Un objetivo impar como $1$ L es inalcanzable.

5. $\gcd(6, 4) = 2$ : solo cantidades pares — lo confirma la pregunta 4. $\gcd(5, 3) = 1$ : la ley permite toda cantidad entera, y la pregunta 3 las realizó todas. El MCD es exactamente la unidad de medida de las jarras.

6. $91 = 1 \times 65 + 26$ ; $65 = 2 \times 26 + 13$ ; $26 = 2 \times 13 + 0$ : $\gcd(91, 65) = 13$ . Y $2\,026 = 44 \times 46 + 2$ ; $46 = 23 \times 2 + 0$ : $\gcd(2\,026, 46) = 2$ .

7. Vertiendo la de $5$ en la de $13$ una y otra vez: tras dos llenados la jarra grande contiene $10$ ; en el tercer llenado solo caben $3$ , y quedan $5 - 3 = 2$ en la jarra pequeña — el resto de $13$ entre $5$ era $3$ , y las cantidades $3$ (el hueco) y $2$ (lo sobrante) son exactamente los números de Euclides ( $13 = 2 \times 5 + 3$ , $5 = 1 \times 3 + 2$ ). Siguiendo, aparece $3 - 2 = 1$ : el resto siguiente del algoritmo. La fuente ejecuta con agua las divisiones de Euclides.

8. $\gcd(13, 5) = 1$ , así que la ley de la pregunta 5 permite toda cantidad entera — y la cascada de la pregunta 7 produjo de hecho $1$ L. Sí.

9. Un divisor común de $n$ y $2n + 1$ divide a $2n + 1 - 2 \times n = 1$ : tiene que ser $1$ . Por tanto $\gcd(n, 2n+1) = 1$ siempre.

10. Autobús A: 7:12, 7:24, 7:36, 7:48, 8:00 …; autobús B: 7:18, 7:36, 7:54 … Primera salida común: 7:36, al cabo de $36$ minutos — el primer múltiplo común de $12$ y $18$ . Ley: $36 \times \gcd(12, 18) = 36 \times 6 = 216 = 12 \times 18$ . Para $5$ y $3$ : primer múltiplo común $15$ , y $15 \times \gcd(5,3) = 15 \times 1 = 15 = 5 \times 3$ .

11. Con un ciclo de $17$ años: la próxima coincidencia es el primer múltiplo común de $17$ y $4$ ; como $\gcd(17, 4) = 1$ , eso son $17 \times 4 = 68$ años — las cigarras se topan con el máximo una vez de cada cuatro emergencias. Con un ciclo de $16$ años: $16$ es múltiplo de $4$ , así que cada emergencia cae en un máximo. Una duración de ciclo prima no comparte ningún factor con ningún ciclo de depredador más corto, lo que separa las coincidencias todo lo posible: la aritmética como camuflaje.

12. Cuatro opciones de exponente para $2$ , tres para $3$ y dos para $5$ : $4 \times 3 \times 2 = 24$ divisores.

13. Si $m = 2^{a} \times 3^{b} \times \cdots$ , entonces $m^2 = 2^{2a} \times 3^{2b} \times \cdots$ : todos los exponentes quedan duplicados, luego pares. En $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ , los exponentes de $2$ y de $5$ son impares: $360$ no es un cuadrado perfecto.

14. Un divisor es su propio compañero exactamente cuando $d = \frac nd$ , es decir $n = d^2$ : solo los cuadrados tienen un divisor central así. Para todos los demás $n$ , los divisores se reparten en parejas, una cantidad par. Así que: número impar de divisores $\Leftrightarrow$ cuadrado perfecto. Comprobación: $36$ tiene por divisores $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ — nueve, impar, y $36 = 6^2$ ; mientras que $360$ tiene $24$ (pregunta 12), par, y no es cuadrado (pregunta 13).

15. A la taquilla $n$ le cambia el estado una vez cada alumno $k$ cuyo número divide a $n$ : en total, tantas veces como divisores tenga $n$ . Una taquilla acaba abierta cuando se le cambia el estado un número impar de veces — por la pregunta 14, exactamente cuando $n$ es un cuadrado perfecto. Taquillas abiertas: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$ — diez.

Términos definidos en este capítulo

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