Matemáticas de primaria y secundaria · Grades 1–9

64Aritmética: divisores y números primos

La aritmética estudia los números enteros y cómo se dividen entre sí. su Los personajes centrales son el numeros primos, los bloques de construcción a partir de los cuales cada número entero se ensambla mediante multiplicación. El capítulo termina con la máximo común divisor, la herramienta adecuada para simplificar fracciones una vez y para todos. Esta historia continúa, mucho más allá, en la Escuela Secundaria. Volumen y más.

64.1 Divisores y múltiplos

Definición 64.1 (Divisor múltiple)

Sean $a$ y $b$ números enteros positivos. Decimos que $b$ divide $a$ (o que $b$ sea divisor de $a$ , o que $a$ es un múltiple de $b$ ) cuando $a = b \times k$ para algún entero $k$ — es decir, cuando se realiza la división de $a$ por $b$ deja resto $0$ .

Ejemplo 64.2

Los divisores de $24$ son $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ — vienen en pares cuyo producto es $24$ : $(1,24)$ , $(2,12)$ , $(3,8)$ , $(4,6)$ . el múltiplos de $7$ son $7, 14, 21, 28, \dots$

Proposición 64.3 (Reglas de divisibilidad)

Un número entero es divisible:

por $2$ cuando su último dígito es incluso ( $0, 2, 4, 6, 8$ );
por $5$ cuando su último dígito sea $0$ o $5$ ;
por $10$ cuando su último dígito es $0$ ;
por $3$ (resp. $9$ ) cuando el suma de sus dígitos es divisible por $3$ (resp. $9$ );
por $4$ cuando sus dos últimos dígitos formen un número divisible por $4$ .

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 64.4

$7\,215$ termina en $5$ : divisible por $5$ . Su dígito suma es $7 + 2 + 1 + 5 = 15$ , divisible por $3$ pero no $9$ : entonces $7\,215$ es divisible por $3$ , no por $9$ . De hecho $7\,215 = 3 \times 5 \times 481$ .

64.2 numeros primos

Definición 64.5 (Número primo)

Un numero primo es un número entero $\geq 2$ cuyo sólo divisores son $1$ y él mismo. Los números primos debajo de $30$ son

2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29 .

El número $1$ es no primo (por convención) y un número entero $\geq 2$ que no es primo se llama compuesto.

Teorema 64.6 (Factorización prima)

Cada número entero $\geq 2$ es un producto de numeros primos, y esto La factorización es única hasta el orden de los factores.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Método 64.7 (Factorizar un número entero)

Dividir por el primo más pequeño posible, repetidamente, hasta llegar a $1$ :

intente $2$ siempre que el número sea incluso;
luego intente $3$ , luego $5$ , luego $7$ , … (solo números primos);
se detiene cuando cociente es $1$ ; recoger los factores con exponentes.

Basta probar los números primos $p$ con $p^2$ que no excedan el actual número: si no hay ninguno divide, el número en sí es primo.

Ejemplo 64.8

Factorizar $360$ , una división a la vez:

360 = 2 \times 180, \quad 180 = 2 \times 90, \quad 90 = 2 \times 45, \quad 45 = 3 \times 15, \quad 15 = 3 \times 5,

entonces

360 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5 .

El árbol de factores de 360: cada paso divide el primo más pequeño factor (en rojo). Leyendo las hojas rojas y el 5 final: 360 = 23 × 32 × 5. — El árbol de factores de $360$ : cada paso divide el primo más pequeño factor (en rojo). Leyendo las hojas rojas y el $5$ final: $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ .

Teorema 64.9 (Euclides)

Hay infinitos numeros primos.

Demostración. Supongamos que solo hubiera un número finito, digamos $p_1, p_2, \dots, p_k$ , y considerar

N = p_1 \times p_2 \times \dots \times p_k + 1 .

Al dividir $N$ por cualquier $p_i$ , queda resto $1$ , por lo que no hay $p_i$ divide $N$ . Pero $N \geq 2$ tiene al menos un primo divisor (Teorema 64.6) — un primo que no está en nuestra lista. Contradicción: ninguna lista finita puede contener todos los números primos. ∎

64.3 El máximo común divisor

Definición 64.10 (MCD)

El máximo común divisor de dos Los números enteros positivos $a$ y $b$ , escritos $\gcd(a, b)$ , son los más grandes. número entero que divide a ambos. Cuando $\gcd(a, b) = 1$ , se llaman los números enteros coprimo: no comparten ningún divisor excepto $1$ .

Ejemplo 64.11

Divisores de $18$ : $1, 2, 3, 6, 9, 18$ . Divisores de $24$ : $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ . Común divisores: $1, 2, 3, 6$ ; entonces $\gcd(18, 24) = 6$ . el Los números enteros $15$ y $28$ son coprimo.

Proposición 64.12 (MCD de factorizaciones)

El MCD de dos números enteros es el producto de los números primos que aparecen en ambos factorizaciones, cada una tomada con el menor de sus dos exponentes.

Demostración. Admitido a este nivel. ∎

Ejemplo 64.13

$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ y $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ . común primos: $2$ (exponentes $3$ y $2$ : mantener $2$ ) y $3$ (exponentes $2$ y $1$ : mantener $1$ ). entonces

\gcd(360, 84) = 2^2 \times 3 = 12 .

Teorema 64.14 (algoritmo euclidiano)

Si $a = bq + r$ es la división de $a$ por $b$ con resto $r$ , entonces

\gcd(a, b) = \gcd(b, r).

Repitiendo divisiones hasta que resto sea $0$ , el MCD de $a$ y $b$ sea el last nonzero resto.

Demostración. De $a = bq + r$ : cualquier número entero que divida $b$ y $r$ divide $bq + r = a$ ; y de $r = a - bq$ : cualquier número entero que divida a $a$ y $b$ divide $r$ . entonces los pares $(a, b)$ y $(b, r)$ tienen exactamente el mismo divisores común — en particular el mismo más grande. Dado que restos disminuye estrictamente, el algoritmo termina y $\gcd(x, 0) = x$ da el último valor distinto de cero resto. ∎

Ejemplo 64.15

Calcular $\gcd(1071, 462)$ :

\begin{align*} 1071 &= 462 \times 2 + 147, \\ 462 &= 147 \times 3 + 21, \\ 147 &= 21 \times 7 + 0 . \end{align*}

El último resto distinto de cero es $21$ : $\gcd(1071, 462) = 21$ .

Método 64.16 (Simplificando una fracción por completo)

Para escribir $\dfrac ab$ en términos más bajos:

calcula $d = \gcd(a, b)$ , por ejemplo mediante el algoritmo euclidiano;
divide numerador y denominador entre $d$ : $\dfrac ab = \dfrac{a \div d}{b \div d}$ ;
el fracción resultante es irreducible: es numerador y denominador son coprimo.

Ejemplo 64.17

$\dfrac{462}{1071} = \dfrac{462 \div 21}{1071 \div 21} = \dfrac{22}{51}$ , y $\gcd(22, 51) = 1$ : irreductible.

64.4 Ceremonias

Ejercicio 64.1 ★

Enumere todos los divisores de $36$ , de $45$ y de $17$ .

Solución

Solución de Ejercicio 64.1.

Divisores de $36$ : $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ . Divisores de $45$ : $1, 3, 5, 9, 15, 45$ . Divisores de $17$ : $1$ y $17$ únicamente ( $17$ es primo).

Ejercicio 64.2 ★

Utilizando las reglas divisibilidad, determine si $2\,346$ es divisible mediante $2$ , por $3$ , por $4$ , por $5$ , por $9$ .

Solución

Solución de Ejercicio 64.2.

$2\,346$ termina en $6$ : divisible por $2$ , no por $5$ . Dígito suma $2 + 3 + 4 + 6 = 15$ : divisible por $3$ , no por $9$ . últimos dos dígitos $46$ , y $46 = 4 \times 11 + 2$ no es divisible por $4$ : $2\,346$ es no divisible por $4$ .

Ejercicio 64.3 ★

Proporcione la factorización prima de $72$ , $150$ , $210$ y $121$ .

Solución

Solución de Ejercicio 64.3.

$72 = 2^3 \times 3^2$ ; $150 = 2 \times 3 \times 5^2$ ; $210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7$ ; $121 = 11^2$ .

Ejercicio 64.4 ★

¿ $101$ es primo? ¿Es $91$ ? ¿Es $143$ ? Justifique el uso de la regla de parada de Método 64.7.

Solución

Solución de Ejercicio 64.4.

$101$ : prueba los números primos $p$ con $p^2 \leq 101$ , es decir $2, 3, 5, 7$ . Ninguno divide $101$ (extraño, dígito suma $2$ , no termina en $0/5$ , $101 = 7 \times 14 + 3$ ): $101$ es primo.

$91 = 7 \times 13$ : no primo.

$143 = 11 \times 13$ : no primo.

Ejercicio 64.5 ★

Calcule $\gcd(48, 60)$ de dos maneras: enumerando divisores común y desde las factorizaciones primas.

Solución

Solución de Ejercicio 64.5.

divisores común de $48$ y $60$ : divisores de 48 son $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48$ ; divisores de $60$ son $1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60$ ; los más comunes son $1, 2, 3, 4, 6, 12$ , por lo que $\gcd(48,60) = 12$ .

Por factorización: $48 = 2^4 \times 3$ y $60 = 2^2 \times 3 \times 5$ ; primos comunes con exponentes más pequeño: $2^2 \times 3 = 12$ .

Ejercicio 64.6 ★★

Utilice el algoritmo euclidiano para calcular $\gcd(255, 154)$ , luego $\gcd(1053, 325)$ . Escribe cada línea de división.

Solución

Solución de Ejercicio 64.6.

$\gcd(255, 154)$ :

\begin{align*} 255 &= 154 \times 1 + 101, \\ 154 &= 101 \times 1 + 53, \\ 101 &= 53 \times 1 + 48, \\ 53 &= 48 \times 1 + 5, \\ 48 &= 5 \times 9 + 3, \\ 5 &= 3 \times 1 + 2, \\ 3 &= 2 \times 1 + 1, \\ 2 &= 1 \times 2 + 0 . \end{align*}

Último resto distinto de cero: $\gcd(255, 154) = 1$ (son coprimo).

$\gcd(1053, 325)$ :

\begin{align*} 1053 &= 325 \times 3 + 78, \\ 325 &= 78 \times 4 + 13, \\ 78 &= 13 \times 6 + 0 . \end{align*}

$\gcd(1053, 325) = 13$ .

Ejercicio 64.7 ★★

Haga que el fracción $\dfrac{588}{504}$ sea irreducible. (Calcule el MCD por el método de su elección, luego divida).

Solución

Solución de Ejercicio 64.7.

Algoritmo euclidiano: $588 = 504 \times 1 + 84$ ; $504 = 84 \times 6 + 0$ : $\gcd(588, 504) = 84$ . entonces

\frac{588}{504} = \frac{588 \div 84}{504 \div 84} = \frac{7}{6},

que es irreductible.

Ejercicio 64.8 ★★

Un florista tiene rosas $84$ y tulipanes $126$ y quiere hacer rosas idénticas. ramos, utilizando todas las flores, con tantos ramos como sea posible. ¿Cuántos ramos puede hacer y qué contiene cada uno?

Solución

Solución de Ejercicio 64.8.

El número de ramos deberá dividir tanto a $84$ como a $126$ ; el mas grande posible es $\gcd(84, 126)$ . Factorizaciones: $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ , $126 = 2 \times 3^2 \times 7$ , por lo que el MCD es $2 \times 3 \times 7 = 42$ . Puede hacer ramos $42$ , cada uno de los cuales contiene $\frac{84}{42} = 2$ rosas y $\frac{126}{42} = 3$ tulipanes.

Ejercicio 64.9 ★★

Dos ferries salen del mismo muelle a las 8:00. Uno sale cada $24$ minutos, el otro cada $36$ minutos. ¿A qué hora volverán a salir juntos? (Busque el común más pequeño múltiple de $24$ y $36$ ; factorizaciones ayuda.)

Solución

Solución de Ejercicio 64.9.

Necesitamos el múltiple menos común. $24 = 2^3 \times 3$ y $36 = 2^2 \times 3^2$ ; tomando cada prima con el más grande exponente: $\lcm = 2^3 \times 3^2 = 72$ . Los ferries salen juntos a continuación. $72$ minutos después de las 8:00, a las 9:12.

Ejercicio 64.10 ★★★

Sea $n$ un número entero positivo.

Demuestre que $\gcd(n, n+1) = 1$ (los números enteros consecutivos siempre son coprimo).
Deduzca que el fracción $\dfrac{n}{n+1}$ es siempre irreductible.

Solución

Solución de Ejercicio 64.10.

1. Cualquier divisor común $d$ de $n$ y $n+1$ también divide sus diferencia $(n+1) - n = 1$ , entonces $d = 1$ : $\gcd(n, n+1) = 1$ .

2. A fracción es irreducible exactamente cuando es numerador y denominador son coprimo, que es el caso de $n$ y $n + 1$ por parte 1.

64.5 Problema: Jarras de agua, cigarras y cien taquillas.

Problema 64.1

Problema de fin de semana — el GCD decide qué cantidades que pueden medir dos jarras; los números primos protegen a las cigarras; y el los casilleros que permanecen abiertos son los cuadrados perfectos

Tres acertijos que parecen acertijos y que en realidad son aritméticos: medir agua con jarras sin marcar (el GCD disfrazado), insecto ciclos de vida que evolucionaron hasta numeros primos, y un famoso pasillo de cien taquillas cuyo estado final lo deciden contando divisores. Todo funciona con la maquinaria de este capítulo: divisibilidad, factorización prima (Teorema 64.6) y el algoritmo de Euclides (Teorema 64.14).

Parte I — The water jugs. Estás parado frente a una fuente con dos jarras sin marcar, de $5$ L y $3$ L. Movimientos permitidos: llenar una jarra hasta el borde, vaciar una jarra por completo, vierte una jarra en la otra hasta que la fuente esté vacío o el objetivo está lleno.

Mide exactamente $1$ L. (Describe tu secuencia de movimientos y el contenido de las dos jarras después de cada una.)
Mide exactamente $4$ L — el rompecabezas de un famoso película de acción. (Se puede hacer en seis movimientos).
¿Qué números enteros de litros de $1$ a $8$ puedes? ¿Exposición (en una jarra o dividida en ambas)? Completa el lista, reutilizando tus secuencias.
Nuevas jarras: $6$ L y $4$ L. Intente medir $1$ L — luego explique por qué no tiene remedio: compruebe que cada uno de los tres Los movimientos permitidos mantienen el contenido de cada jarra en múltiple de $2$ , por lo que cada monto alcanzable es incluso.
El argumento de la pregunta 4 funciona en general: con jarras de $a$ y $b$ litros, cada cantidad alcanzable es un múltiple de $\gcd(a, b)$ . Calcule $\gcd(6, 4)$ y $\gcd(5, 3)$ , y Di lo que predice la ley para cada par de jarras.

Parte II — Euclid at the fountain.

Calcular con el algoritmo de Euclides: $\gcd(91, 65)$ y $\gcd(2\,026, 46)$ .
Explique, con sus propias palabras, por qué los importes que aparecen en las jarras son el restos de Euclides disfrazado: con jarras de $13$ L y $5$ L, llene repetidamente la jarra pequeña y viértelo en la grande (vaciando la jarra grande cada vez que se llena). Qué nuevas cantidades aparecen primero — y compararlos con el restos en el algoritmo de Euclides para $(13, 5)$ .
Deduce la respuesta del campeón: con jarras de $13$ y $5$ litros, ¿puedes medir exactamente $1$ L? justificar en uno línea con la pregunta 5 y $\gcd(13, 5)$ .
Una prueba rápida de coprimalidad al estilo de Ejercicio 64.10: muestra que $\gcd(n, 2n + 1) = 1$ para cada número entero positivo $n$ . (¿Qué significa un común divisor de $n$ y $2n + 1$ tienen que dividirse?)
Dos autobuses salen juntos de la terminal a las 7:00; uno sale cada $12$ minutos, el otro cada $18$ . Lista los próximos horarios de salida de cada uno y encontrar el primero momento en que se van juntos de nuevo. Verifique en este ejemplo la bella ley: (primera común múltiple) $\times$ $\gcd$ $=$ producto de los dos números — y pruébalo nuevamente en $5$ y $3$ .

Parte III — Cicadas, divisores and lockers.

Ciertas cigarras norteamericanas emergen solo cada $17$ años; supongamos que la población de un depredador alcanza su punto máximo cada $4$ años. Si ambas cosas suceden este año, ¿en cuántos años ¿El próximo surgimiento coincide con un pico? La misma pregunta si El ciclo de las cigarras fue $16$ años — ¿con qué frecuencia ¿Luego serán masacrados? Explica en una frase por qué La evolución empujó el ciclo a una longitud principal.
Usando la factorización $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ , contar el divisores de $360$ sin enumerarlos: a divisor elige un exponente para $2$ (cuatro opciones: $0, 1, 2, 3$ ), uno para $3$ , uno para $5$ . cuantos divisores en total?
Demuestre que en la factorización de un cuadrado perfecto $n = m^2$ , cada número primo lleva un incluso exponente. Deduzca, sin calcular ninguna raíz cuadrada, que $360$ es no es un cuadrado perfecto.
Emparejar cada divisor $d$ de $n$ con su compañero $\frac{n}{d}$ (para $n = 36$ : $1 \leftrightarrow 36$ , $2 \leftrightarrow 18$ , $3 \leftrightarrow 12$ , $4 \leftrightarrow 9$ , $6 \leftrightarrow 6$ ). cuando es un divisor ¿su propio socio? Deducir el criterio: $n$ tiene un extraño número de divisores exactamente cuando $n$ es un cuadrado perfecto. Compruébelo en $36$ y en $360$ .
Las cien taquillas. Las taquillas $1$ a $100$ comienzan cerradas. El estudiante $1$ alterna cada casillero; estudiante $2$ alterna taquillas $2, 4, 6, \dots$ ; estudiante $k$ alterna el múltiplos de $k$ ; y así sucesivamente hasta el estudiante $100$ . explicar qué estudiantes tocan el casillero $n$ , cuántas veces sucede alternado, y — usando la pregunta 14 — exactamente qué Los casilleros terminan abiertos. ¿Cuantos estan abiertos?

Solución

Solución de Problema 64.1.

1. Llene el $3$ y viértalo en el $5$ (contenido $0/3 \to 3$ en grande). Llene nuevamente el $3$ y viértalo en el $5$ hasta llenarse: la jarra grande sólo toma $2$ más, quedando

3 - 2 = 1 \text{ L in the small jug.}

Movimientos: llenar $3$ ; vierta $3 \to 5$ ; llenar $3$ ; para $3 \to 5$ .

2. Llene el $5$ ; vierta en el $3$ (deja $2$ en el grande); vaciar el $3$ ; vierta el $2$ en el $3$ ; llenar el $5$ ; vierta en el $3$ hasta que esté lleno — se necesita $1$ , dejando $\mathbf{4}$ L en la jarra grande. Seis movimientos.

3. Todos ellos: $1$ (pregunta 1), $2$ (después de dos movimientos de la pregunta 2), $3$ y $5$ (rellenos únicos), $4$ (pregunta 2), $6 = 3 + 3$ (una jarra pequeña llena más $3$ vertida en el grande), $7 = 5 + 2$ , $8 = 5 + 3$ (ambos completos). cada cantidad entera de $1$ a $8$ L se puede medir con el $5$ y el $3$ .

4. Inicio: ambas jarras contienen $0$ , una múltiple de $2$ . El llenado establece un contenido en $6$ o $4$ : incluso. Al vaciarlo se establece $0$ : incluso. El vertido mueve un poco de agua entre jarras cuyo contenido eran incluso y la cantidad vertida es diferencia de incluso numeros (espacio restante o cantidad disponible): todo el contenido permanece incluso para siempre. Un objetivo extraño como $1$ L es inalcanzable.

5. $\gcd(6, 4) = 2$ : sólo importes incluso — confirmado por pregunta 4. $\gcd(5, 3) = 1$ : todo monto entero está permitido por la ley, y la pregunta 3 los cumplió todos. El GCD es exactamente la unidad de medida de las jarras.

6. $91 = 1 \times 65 + 26$ ; $65 = 2 \times 26 + 13$ ; $26 = 2 \times 13 + 0$ : $\gcd(91, 65) = 13$ . y $2\,026 = 44 \times 46 + 2$ ; $46 = 23 \times 2 + 0$ : $\gcd(2\,026, 46) = 2$ .

7. Verter $5$ en la jarra $13$ repetidamente: después de dos rellenos la jarra grande contiene $10$ ; el tercer relleno solo cabe $3$ , dejando $5 - 3 = 2$ en la jarra pequeña — el resto de $13$ por $5$ era $3$ , y las cantidades $3$ (espacio) y $2$ (sobrantes) son exactamente los números de Euclides ( $13 = 2 \times 5 + 3$ , $5 = 1 \times 3 + 2$ ). Continuando aparece $3 - 2 = 1$ : el Siguiente resto del algoritmo. La fuente representa la obra de Euclides. divisiones con agua.

8. $\gcd(13, 5) = 1$ , por lo que la ley de la pregunta 5 permite cada cantidad entera — y la cascada de la pregunta 7 en realidad producido $1$ L. Sí.

9. Un divisor común de $n$ y $2n + 1$ divide $2n + 1 - 2 \times n = 1$ : debe ser $1$ . Por lo tanto $\gcd(n, 2n+1) = 1$ siempre.

10. Autobús A: 7:12, 7:24, 7:36, 7:48, 8:00 …; autobús B: 7:18, 7:36, 7:54 … Primera salida común: 7:36, después $36$ minutos — el primer múltiple común de $12$ y $18$ . Ley: $36 \times \gcd(12, 18) = 36 \times 6 = 216 = 12 \times 18$ . Para $5$ y $3$ : primer múltiple $15$ común, y $15 \times \gcd(5,3) = 15 \times 1 = 15 = 5 \times 3$ .

11. Con un ciclo de $17$ años: la siguiente coincidencia es el primer múltiple común de $17$ y $4$ ; desde $\gcd(17, 4) = 1$ , es decir $17 \times 4 = 68$ años — el las cigarras alcanzan el pico una vez cada cuatro apariciones. con un Ciclo de año $16$ : $16$ es un múltiple de $4$ , por lo que cada El surgimiento alcanza su punto máximo. La duración de un ciclo principal no comparte ningún factor con cualquier ciclo depredador más corto, llevando las coincidencias tan lejos lo más apartado posible: la aritmética como camuflaje.

12. Cuatro opciones de exponente para $2$ , tres para $3$ , dos para $5$ : $4 \times 3 \times 2 = 24$ divisores.

13. Si $m = 2^{a} \times 3^{b} \times \cdots$ , entonces $m^2 = 2^{2a} \times 3^{2b} \times \cdots$ : cada exponente es duplicado, por lo tanto incluso. En $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ , el exponentes de $2$ y de $5$ son extraño: $360$ no es un perfecto cuadrado.

14. Un divisor es su propio socio exactamente cuando $d = \frac nd$ , es decir $n = d^2$ : sólo los cuadrados tienen tal medio divisor. Para todos los demás $n$ , el divisores se divide en pares, un recuento incluso. Entonces: número impar de divisores $\Leftrightarrow$ cuadrado perfecto. Comprobar: $36$ tiene divisores $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ — nueve de ellos, extraño, y $36 = 6^2$ ; mientras que $360$ tiene $24$ (pregunta 12), incluso, y es sin cuadrado (pregunta 13).

15. El casillero $n$ lo cambia una vez cada estudiante $k$ cuyo número divide $n$ : en total, tantas veces como $n$ tenga divisores. Un casillero termina abierto cuando se alterna un impar numero de veces — por la pregunta 14, exactamente cuando $n$ es un cuadrado perfecto. Casilleros abiertos: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100$ — diez de ellos.