¿Qué es Sucesión acotada?

Ejemplo 20.22

Sean $u_0 = 2$ y $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right)$. Se comprueba por inducción que $u_n \geq \sqrt{2}$ para todo $n$ (la desigualdad $\frac{1}{2}(x + 2/x) \geq \sqrt{2}$ para $x>0$ equivale a $(x - \sqrt2)^2 \geq 0$) y después que $(u_n)$ es decreciente, ya que

Decreciente y acotada inferiormente, $(u_n)$ converge a cierto $\ell \geq \sqrt{2}$, que debe cumplir $\ell = \frac{1}{2}(\ell + 2/\ell)$, es decir, $\ell^2 = 2$. Por tanto, $u_n \to \sqrt{2}$. Es el algoritmo de Herón, ya usado por los babilonios; su convergencia es extremadamente rápida ($u_3$ da ya $\sqrt 2$ con ocho decimales exactos).