¿Qué es Creciente, decreciente? — Matemáticas

Definición 3.8 Matemáticas de secundaria · Capítulo 3 — Funciones

Sea $f$ definida en un intervalo $I$ .

$f$ es creciente en $I$ cuando, para todos $u, v \in I$ , si $u < v$ entonces $f(u) \leq f(v)$ : los resultados crecen con las entradas y la gráfica sube de izquierda a derecha.
$f$ es decreciente en $I$ cuando $u < v$ implica $f(u) \geq f(v)$ : la gráfica baja de izquierda a derecha.

Con desigualdades estrictas $f(u) < f(v)$ (resp. $>$ ) se dice estrictamente creciente (resp. decreciente).

Ejemplos

Ejemplo 3.10

Consideremos la función cuya gráfica aparece abajo, en $\intcc{-2}{4}$ .

Una función definida en [-2, 4], creciente primero y decreciente después. — Una función definida en $\intcc{-2}{4}$ , creciente primero y decreciente después.

Leyendo la gráfica: $f$ crece desde $f(-2) = -1.5$ hasta su máximo $f(1) = 3$ y decrece después hasta $f(4) = -1.5$ . Su tabla de variación es

$x$	$-2$		$1$		$4$
$f$	$-1.5$	$\nearrow$	$3$	$\searrow$	$-1.5$

Ejemplo 3.11 (Demostrar una variación)

Demostremos que $f(x) = 3x + 1$ es estrictamente creciente en $\R$ . Tomamos $u < v$ cualesquiera y comparamos las imágenes:

f(v) - f(u) = (3v + 1) - (3u + 1) = 3(v - u) > 0,

porque $v - u > 0$ . Luego $f(u) < f(v)$ : la función es estrictamente creciente. El mismo cálculo con pendiente negativa, por ejemplo $g(x) = -2x + 5$ , da $g(v) - g(u) = -2(v-u) < 0$ : estrictamente decreciente.

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Definición 11.4 Matemáticas de secundaria · Capítulo 11 — Funciones y variación

Sea $f$ definida en un intervalo $I$ . La función $f$ es creciente en $I$ si conserva el orden:

\text{para todos } u, v \in I: \quad u < v \implies f(u) \leq f(v),

y decreciente si lo invierte ( $u < v \implies f(u) \geq f(v)$ ). Con desigualdades estrictas a la derecha, $f$ es estrictamente creciente (resp. decreciente). Una función creciente o decreciente en $I$ se dice monótona en $I$ .

Ejemplos

Ejemplo 11.10

Estudiemos $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ en $\R$ . La función interior $u(x) = x^2 + 1$ es positiva, decreciente en $\intoc{-\infty}{0}$ y creciente en $\intco{0}{+\infty}$ (un cuadrado desplazado). Por el punto 3, $f$ tiene la misma variación: decreciente y después creciente, con mínimo $f(0) = 1$ .

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Ejemplos

Ejemplos

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