¿Qué es Sucesión convergente? — Matemáticas

Definición 20.10 Matemáticas de secundaria · Capítulo 20 — Sucesiones

Una sucesión $(u_n)$ converge al número real $\ell$ si todo intervalo abierto que contiene a $\ell$ contiene todos los términos $u_n$ a partir de cierto índice. Escribimos entonces $\lim\limits_{n\to+\infty} u_n = \ell$ .

Equivalentemente: para todo $\varepsilon > 0$ existe $N \in \N$ tal que, para todo $n \geq N$ , $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$ .

Convergencia de u_n = 2 + (-1)n/n hacia = 2: dado > 0, todos los términos a partir del índice N están en la banda [ - , + ]. — Convergencia de $u_n = 2 + \frac{(-1)^n}{n}$ hacia $\ell = 2$ : dado $\varepsilon > 0$ , todos los términos a partir del índice $N$ están en la banda $\intcc{\ell-\varepsilon}{\ell+\varepsilon}$ .

Ejemplos

Ejemplo 20.22

Sean $u_0 = 2$ y $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right)$ . Se comprueba por inducción que $u_n \geq \sqrt{2}$ para todo $n$ (la desigualdad $\frac{1}{2}(x + 2/x) \geq \sqrt{2}$ para $x>0$ equivale a $(x - \sqrt2)^2 \geq 0$ ) y después que $(u_n)$ es decreciente, ya que

u_{n+1}-u_n=\frac{2-u_n^2}{2u_n}\leq 0 .

Decreciente y acotada inferiormente, $(u_n)$ converge a cierto $\ell \geq \sqrt{2}$ , que debe cumplir $\ell = \frac{1}{2}(\ell + 2/\ell)$ , es decir, $\ell^2 = 2$ . Por tanto, $u_n \to \sqrt{2}$ . Es el algoritmo de Herón, ya usado por los babilonios; su convergencia es extremadamente rápida ( $u_3$ da ya $\sqrt 2$ con ocho decimales exactos).

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Ejemplos

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