Wat is Begrensde rij?

Voorbeeld 20.22

Zij $u_0 = 2$ en $u_{n+1} = \frac{1}{2}\left(u_n + \frac{2}{u_n}\right)$. Met inductie ga je na dat $u_n \geq \sqrt{2}$ voor alle $n$ (de ongelijkheid $\frac{1}{2}(x + 2/x) \geq \sqrt{2}$ voor $x>0$ is gelijkwaardig met $(x - \sqrt2)^2 \geq 0$), en daarna dat $(u_n)$ dalend is, want

Dalend en naar beneden begrensd convergeert $(u_n)$ naar een zekere $\ell \geq \sqrt{2}$, die moet voldoen aan $\ell = \frac{1}{2}(\ell + 2/\ell)$, dus aan $\ell^2 = 2$. Bijgevolg is $u_n \to \sqrt{2}$. Dat is het algoritme van Heron, al door de Babyloniërs gebruikt; de convergentie is bijzonder snel ($u_3$ geeft $\sqrt 2$ al op acht decimalen).