विन्यास, क्रमचय, संचय क्या है?

उदाहरण 2.14 (एक प्रतिबंध जोड़ना)

गोल मेज़ को आगे बढ़ाते हैं: $n \geq 3$ अतिथियों की $(n-1)!$ मेज़ों में कितनी दो दिए हुए अतिथियों $A$ और $B$ को अलग बिठाती हैं (सटा हुआ नहीं)? पूरक गिनिए। वे मेज़ें जिनमें $A$ और $B$ साथ बैठते हैं: उन्हें एक ही खंड में चिपका दीजिए — मेज़ के चारों ओर $n - 1$ वस्तुएँ, अर्थात् $(n-2)!$ वृत्तीय विन्यास — फिर युग्म को उसके खंड के भीतर क्रमित कीजिए ($2$ तरीके): $2\,(n-2)!$ सटी हुई मेज़ें। अतः

मेज़ें उन्हें अलग रखती हैं। जाँच: $n = 3$ से $0$ मिलता है (त्रिभुज के चारों ओर हर कोई हर किसी को छूता है) और $n = 4$ से $2$, जिसे हाथ से आसानी से सूचीबद्ध किया जा सकता है। चिपकाने की युक्ति — बाध्य खंड को एक वस्तु मानिए, फिर उसके भीतरी विन्यास गिनिए — सटान-प्रतिबंधों का, रैखिक हो या वृत्तीय, मानक उपाय है।

उदाहरण 2.18 (एक सर्वसमिका, दो उपपत्तियाँ)

द्विपद प्रमेय का विशेषीकरण $a = 2$, $b = 1$ यह कहता है

यही सर्वसमिका बिना किसी बीजगणित के भी मिलती है। दायाँ पक्ष वर्णमाला $\{0, 1, 2\}$ पर $n$ लंबाई के शब्द गिनता है (गुणन नियम)। प्रत्येक शब्द को अशून्य अक्षर वाले स्थानों के समुच्चय $K$ के अनुसार वर्गीकृत कीजिए: $\abs K = k$ वाला $K$ चुनने में $\binom nk$ लगता है, फिर $K$ का प्रत्येक स्थान स्वतंत्र रूप से $1$ या $2$ धारण करता है: $2^k$ तरीके। $k$ पर योग नियम बायाँ पक्ष दे देता है। सहमति के आनंद से आगे, दोनों उपपत्तियों के गुण भिन्न हैं: बीजीय उपपत्ति $a$ के किसी भी मान तक सामान्यीकृत होती है, जबकि संयोजनात्मक उपपत्ति सूत्र को समझाती है और ऐसे प्रतिबंधों के अनुकूल ढल जाती है (मान लीजिए अंतिम स्थान पर अक्षर $2$ निषिद्ध हो) जिन्हें कोई प्रतिस्थापन नहीं पकड़ पाता। दोनों तकनीकों को सक्रिय रखना ही वह व्यावहारिक कौशल है जिसका अभ्यास यह अध्याय कराता है।

उदाहरण 2.6 (परिमितता अनिवार्य है)

किसी परिमित समुच्चय पर प्रतिज्ञप्ति 2.5 एक सशक्त संक्षेप है: $E$ से स्वयं उसी में जाने वाला कोई भी एकैकी प्रतिचित्रण स्वतः $E$ का क्रमचय होता है — एकैकी आच्छादकता का आधा भाग मुफ़्त मिल जाता है। अनंत समुच्चयों पर दोनों निहितार्थ ढह जाते हैं: $n \mapsto n + 1$ $\N$ से $\N$ में एकैकी है पर $0$ तक नहीं पहुँचता, और $0 \mapsto 0$ तथा $n \geq 1$ के लिए $n \mapsto n - 1$ भेजने वाला प्रतिचित्रण $\N \to \N$ आच्छादक है पर एकैकी नहीं। जब भी यह प्रतिज्ञप्ति लगाई जाती है, परिमितता की परिकल्पना सचमुच काम कर रही होती है — यही विषय अध्याय 1 की सप्ताहांत समस्या दूसरी ओर से देखती है, जहाँ अनंत समुच्चय ठीक वही हैं जो ऐसे स्व-प्रतिचित्रण स्वीकार करते हैं।