परिमित समुच्चय, गणनांक क्या है?

उदाहरण 2.6 (परिमितता अनिवार्य है)

किसी परिमित समुच्चय पर प्रतिज्ञप्ति 2.5 एक सशक्त संक्षेप है: $E$ से स्वयं उसी में जाने वाला कोई भी एकैकी प्रतिचित्रण स्वतः $E$ का क्रमचय होता है — एकैकी आच्छादकता का आधा भाग मुफ़्त मिल जाता है। अनंत समुच्चयों पर दोनों निहितार्थ ढह जाते हैं: $n \mapsto n + 1$ $\N$ से $\N$ में एकैकी है पर $0$ तक नहीं पहुँचता, और $0 \mapsto 0$ तथा $n \geq 1$ के लिए $n \mapsto n - 1$ भेजने वाला प्रतिचित्रण $\N \to \N$ आच्छादक है पर एकैकी नहीं। जब भी यह प्रतिज्ञप्ति लगाई जाती है, परिमितता की परिकल्पना सचमुच काम कर रही होती है — यही विषय अध्याय 1 की सप्ताहांत समस्या दूसरी ओर से देखती है, जहाँ अनंत समुच्चय ठीक वही हैं जो ऐसे स्व-प्रतिचित्रण स्वीकार करते हैं।

उदाहरण 2.7 (आधा काम, मुफ़्त में)

$\{0, 1, \dots, 6\}$ पर उस प्रतिचित्रण $f$ पर विचार कीजिए जो $k$ को $7$ से भाग देने पर $3k$ के शेषफल पर भेजता है; उसकी मान-सारणी यह है

क्या $f$ एकैकी आच्छादक है? केवल एकैकीयता पर्याप्त है (प्रतिज्ञप्ति 2.5): यदि $3k$ और $3k'$ के शेषफल समान हों, तो $7$ $3(k - k')$ को विभाजित करता है, और चूँकि $7$ अभाज्य है और $3$ को विभाजित नहीं करता, अतः वह $k - k'$ को विभाजित करता है (यूक्लिड की प्रमेयिका, यहाँ विद्यालय स्तर पर प्रयुक्त और अध्याय 6 में सिद्ध); $\abs{k - k'} \leq 6$ के साथ इससे $k = k'$ आ जाता है। आच्छादकता मुफ़्त में मिलती है — प्रत्येक $c$ के लिए $3k \equiv c$ हल करने की आवश्यकता नहीं, यद्यपि सारणी पुष्टि करती है कि हर मान ठीक एक बार आता है। यह संक्षेप एक परिश्रमी घोड़ा है: वह मापांकी गुणन की उत्क्रमणीयता सिद्ध करता है (अध्याय 6), विल्सन की प्रमेय में युग्मन को शक्ति देता है, और रैखिक बीजगणित में “परिमित विमीय समष्टि का अंतःरूपांतरण एकैकी है यदि और केवल यदि वह आच्छादक है” के रूप में लौटता है (अध्याय 19)।

उदाहरण 2.17

दो चिरपरिचित विशेषीकरण: $a = b = 1$ से $\sum_k \binom nk = 2^n$ मिलता है; $a = -1$, $b = 1$ से $n \geq 1$ के लिए $\sum_{k} (-1)^k \binom nk = 0$ मिलता है: किसी अरिक्त समुच्चय के उपसमुच्चयों में ठीक आधे सम गणनांक वाले हैं।