प्रतिचित्रण, प्रतिबिंब, पूर्वप्रतिबिंब क्या है?

उदाहरण 1.22 (प्रतिबिंब और पूर्वप्रतिबिंब की संगणना)

मान लीजिए $f \colon \R \to \R$, $x \mapsto x^2$। तब:

पहले के लिए: प्रत्येक $x \in \intcc{-1}2$ के लिए $x^2 \in \intcc04$, और प्रत्येक $y \in \intcc04$ $y = (\sqrt y)^2$ के रूप में प्राप्त होता है, जहाँ $\sqrt y \in \intcc02 \subseteq \intcc{-1}2$ — ध्यान दीजिए कि प्रतिबिंब $\intcc14 = \{(-1)^2, 2^2\}$ नहीं है: अंतरालों के प्रतिबिंब केवल सिरों से नहीं निकाले जाते। दूसरे के लिए: $1 \leq x^2 \leq 4 \iff 1 \leq \abs x \leq 2$, जो दो टुकड़ों में बँट जाता है। तीसरा दिखाता है कि पूर्वप्रतिबिंब रिक्त भी हो सकता है — $f^{-1}(B)$ सदा अर्थपूर्ण है, चाहे $B$ का प्रतिबिंब से प्रतिच्छेदन कितना ही छोटा हो। अंत में इसी उदाहरण पर ऊपर की टिप्पणी वाली कठोरता की परिघटना देखिए: $A = \intcc{-1}0$ और $A' = \intcc01$ लेने पर $f(A \cap A') = f(\{0\}) = \{0\}$ मिलता है, जबकि $f(A) \cap f(A') = \intcc01$।

उदाहरण 1.27 (बिंदु (2) तीक्ष्ण है)

प्रतिज्ञप्ति 1.26 (2) में निष्कर्षों को और आगे नहीं बढ़ाया जा सकता: $g \circ f$ का एकैकी आच्छादक होना $f$ को आच्छादक या $g$ को एकैकी होने के लिए बाध्य नहीं करता। लीजिए $E = G = \{1\}$, $F = \{1, 2\}$, जिनमें $f(1) = 1$ और $g(1) = g(2) = 1$: तब $g \circ f = \mathrm{id}_E$ एकैकी आच्छादक है, फिर भी $f$ अवयव $2$ तक नहीं पहुँचता और $g$ दोनों अवयवों को एक में मिला देता है। इसका उपदेश एक सुनिश्चित लेखा-नियम है: संयोजन की सूचना एकैकीयता के लिए भीतरी प्रतिचित्रण की ओर बहती है और आच्छादकता के लिए बाहरी प्रतिचित्रण की ओर, कभी उलटी दिशा में नहीं। (अभ्यास 1.9 इसी परिघटना को अनंत समुच्चयों के साथ बनाता है, जहाँ यही एकपक्षीय प्रतिलोमों का इंजन है।)

उदाहरण 1.28

$f \colon \R \to \R$, $x \mapsto x^2$ न तो एकैकी है ($f(-1) = f(1)$) और न आच्छादक ($-1$ का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं)। प्रांत और सहप्रांत को सीमित करने पर $f \colon \R_+ \to \R_+$, $x \mapsto x^2$ एकैकी आच्छादक है, जिसका प्रतिलोम $y \mapsto \sqrt y$ है। किसी प्रतिचित्रण की एकैकीयता या आच्छादकता घोषित प्रांत और सहप्रांत पर निर्भर करती है, केवल सूत्र पर नहीं।