Apa itu Definisi fokus–direktriks? — Matematika

Definisi 24.11 Matematika Universitas — Tahun 1 · Bab 24 — Kurva Bidang

Tetapkanlah sebuah titik $F$ (fokus), sebuah garis $D$ yang tak lewat $F$ (direktriks) dan $e > 0$ (eksentrisitas). Maka irisan kerucut atas data ini adalah

\mathcal{C} = \{M : d(M, F) = e\; d(M, D)\}:

yaitu elips untuk $e < 1$ , parabola untuk $e = 1$ , dan hiperbola untuk $e > 1$ . (Adapun lingkarannya muncul sebagai limit yang merosot $e \to 0$ .)

Contoh

Contoh 24.12 (Definisinya, diperiksa pada sebuah parabola)

Ambillah parabola $y^2 = 4x$ , yaitu $2p = 4$ : dengan fokus $F = (1, 0)$ dan direktriks $D : x = -1$ (karena bentuk tereduksinya pada Teorema 24.13 menempatkannya di $\pm\frac p2$ ). Pada titik $M = (1, 2)$ kurvanya:

MF = \sqrt{(1-1)^2 + 2^2} = 2, \qquad d(M, D) = 1 - (-1) = 2 :

sama, sebagaimana dituntut $e = 1$ . Di $M' = (4, 4)$ : $MF' = \sqrt{9 + 16} = 5$ dan $d(M', D) = 5$ lagi. Jadi definisi fokus–direktriksnya bukan abstraksi: melainkan sepasang jarak yang dapat diukur orang pada sebarang titik, dan aljabar persamaan tereduksinya tak lain pengukuran ini yang dikerjakan sekali untuk selamanya.

Contoh 24.15 (Membaca sebuah orbit dari persamaan kutubnya)

Irisan kerucut kutub $r = \dfrac{1}{1 + \frac12\cos\theta}$ (Latihan 24.7 dengan $p = 1$ , $e = \frac12$ ) merupakan elips dengan fokus di titik asalnya — yaitu geometri sebuah orbit planet dengan mataharinya di $O$ . Tariklah segalanya dari $p$ dan $e$ : karena dari reduksi Teorema 24.13, $a = \dfrac{p}{1 - e^2} = \dfrac{1}{3/4} = \dfrac43$ dan $c = ea = \dfrac23$ . Adapun kedua apsisnya memeriksanya tanpa teori sama sekali:

r(0) = \frac{1}{3/2} = \frac23 = a - c \quad (\text{perihelion}), \qquad r(\pi) = \frac{1}{1/2} = 2 = a + c \quad (\text{aphelion}),

dan jumlahnya $\frac23 + 2 = \frac83 = 2a$ memulihkan sumbu mayornya. Adapun bentuk kutubnya yang alami kapan pun sebuah fokus terbedakan secara fisik; sedangkan bentuk kartesius tereduksinya, kapan pun sumbu kesetangkupannya terbedakan. Mengalihkan antara keduanya tepat apa yang dikerjakan perhitungan kuadrat lengkap pada teoremanya.

Akhirnya, eksentrisitasnya sebagai sebuah tombol: jagalah $p = 1$ lalu putarlah $e$ pada $r = \frac{1}{1 + e\cos\theta}$ . Di $e = 0$ : yaitu lingkaran $r = 1$ . Di $e = \frac12$ : yaitu elips yang baru dipelajari, dengan $r$ berayun antara $\frac23$ dan $2$ . Di $e = 1$ : $r(\theta) \to \infty$ ketika $\theta \to \pi$ — sehingga kurvanya tak lagi menutup: jadi sebuah parabola, dengan titik terjauhnya terdorong ke takhingga. Di $e = 2$ : penyebutnya lenyap di $\cos\theta = -\frac12$ , dan hanya $\theta \in \intoo{-\frac{2\pi}3}{\frac{2\pi}3}$ yang bertahan: yaitu satu cabang hiperbola, yang lolos sepanjang dua arah asimtotik. Jadi satu rumus, seluruh keluarga irisan kerucutnya, dan titik peralihannya $e = 1$ kasatmata sebagai saat penyebutnya pertama kali mencapai nol.

Baca dalam konteks →