Qu'est-ce que « Définition par foyer et directrice » ? — Mathématiques

Définition 24.11 Mathématiques universitaires — Licence 1 · Chapitre 24 — Courbes planes

Fixons un point $F$ (le foyer), une droite $D$ ne passant pas par $F$ (la directrice) et $e > 0$ (l’excentricité). La conique associée à ces données est

\mathcal{C} = \{M : d(M, F) = e\; d(M, D)\}:

c’est une ellipse si $e < 1$ , une parabole si $e = 1$ , une hyperbole si $e > 1$ . (Le cercle apparaît comme cas limite dégénéré $e \to 0$ .)

Exemples

Exemple 24.12 (La définition, vérifiée sur une parabole)

Prenons la parabole $y^2 = 4x$ , c’est-à-dire $2p = 4$ : foyer $F = (1, 0)$ et directrice $D : x = -1$ (la forme réduite du Théorème 24.13 les place en $\pm\frac p2$ ). Au point $M = (1, 2)$ de la courbe :

MF = \sqrt{(1-1)^2 + 2^2} = 2, \qquad d(M, D) = 1 - (-1) = 2 :

égaux, comme $e = 1$ l’exige. En $M' = (4, 4)$ : $MF' = \sqrt{9 + 16} = 5$ et $d(M', D) = 5$ également. La définition par foyer et directrice n’est pas une abstraction : c’est un couple de distances que l’on peut mesurer en tout point, et l’algèbre des équations réduites n’est rien d’autre que cette mesure faite une fois pour toutes.

Exemple 24.15 (Lire une orbite sur son équation polaire)

La conique en polaires $r = \dfrac{1}{1 + \frac12\cos\theta}$ (Exercice 24.7 avec $p = 1$ , $e = \frac12$ ) est une ellipse dont un foyer est à l’origine — la géométrie d’une orbite planétaire avec le soleil en $O$ . Tout s’extrait de $p$ et $e$ : d’après la réduction du Théorème 24.13, $a = \dfrac{p}{1 - e^2} = \dfrac{1}{3/4} = \dfrac43$ et $c = ea = \dfrac23$ . Les deux apsides le confirment sans la moindre théorie :

r(0) = \frac{1}{3/2} = \frac23 = a - c \quad (\text{périhélie}), \qquad r(\pi) = \frac{1}{1/2} = 2 = a + c \quad (\text{aphélie}),

et leur somme $\frac23 + 2 = \frac83 = 2a$ redonne le grand axe. La forme polaire est la forme naturelle dès qu’un foyer est physiquement distingué ; la forme cartésienne réduite l’est dès que les axes de symétrie le sont. Passer de l’une à l’autre est exactement ce que fait le calcul par complétion du carré du théorème.

L’excentricité comme un bouton de réglage, enfin : gardons $p = 1$ et faisons tourner $e$ dans $r = \frac{1}{1 + e\cos\theta}$ . En $e = 0$ : le cercle $r = 1$ . En $e = \frac12$ : l’ellipse qu’on vient d’étudier, $r$ oscillant entre $\frac23$ et $2$ . En $e = 1$ : $r(\theta) \to \infty$ quand $\theta \to \pi$ — la courbe ne se referme plus : une parabole, son point le plus lointain repoussé à l’infini. En $e = 2$ : le dénominateur s’annule en $\cos\theta = -\frac12$ , et seul $\theta \in \intoo{-\frac{2\pi}3}{\frac{2\pi}3}$ subsiste : une branche d’une hyperbole, s’échappant selon deux directions asymptotiques. Une seule formule, toute la famille des coniques, et le point de transition $e = 1$ visible comme l’instant où le dénominateur atteint zéro pour la première fois.

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