Wat is Definitie met brandpunt en richtlijn? — Wiskunde

Definitie 24.11 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Hoofdstuk 24 — Vlakke krommen

Leg een punt $F$ (brandpunt), een rechte $D$ die niet door $F$ gaat (richtlijn) en $e > 0$ (excentriciteit) vast. De kegelsnede van deze gegevens is

\mathcal{C} = \{M : d(M, F) = e\; d(M, D)\}:

een ellips voor $e < 1$ , een parabool voor $e = 1$ , een hyperbool voor $e > 1$ . (De cirkel verschijnt als ontaarde limiet $e \to 0$ .)

Voorbeelden

Voorbeeld 24.12 (De definitie, getoetst op een parabool)

Neem de parabool $y^2 = 4x$ , dus $2p = 4$ : brandpunt $F = (1, 0)$ en richtlijn $D : x = -1$ (de gereduceerde vorm Stelling 24.13 plaatst ze in $\pm\frac p2$ ). In het punt $M = (1, 2)$ van de kromme:

MF = \sqrt{(1-1)^2 + 2^2} = 2, \qquad d(M, D) = 1 - (-1) = 2 :

gelijk, zoals $e = 1$ eist. In $M' = (4, 4)$ : $MF' = \sqrt{9 + 16} = 5$ en opnieuw $d(M', D) = 5$ . De definitie met brandpunt en richtlijn is geen abstractie: het is een paar afstanden dat men in elk punt kan meten, en de algebra van de gereduceerde vergelijkingen is niets anders dan die meting, eens en voor altijd uitgevoerd.

Voorbeeld 24.15 (Een omloopbaan lezen uit haar poolvergelijking)

De poolkegelsnede $r = \dfrac{1}{1 + \frac12\cos\theta}$ (Oefening 24.7 met $p = 1$ , $e = \frac12$ ) is een ellips met een brandpunt in de oorsprong — de meetkunde van een planeetbaan met de zon in $O$ . Haal alles uit $p$ en $e$ : uit de reductie van Stelling 24.13 volgt $a = \dfrac{p}{1 - e^2} = \dfrac{1}{3/4} = \dfrac43$ en $c = ea = \dfrac23$ . De twee apsiden bevestigen het zonder enige theorie:

r(0) = \frac{1}{3/2} = \frac23 = a - c \quad (\text{perihelium}), \qquad r(\pi) = \frac{1}{1/2} = 2 = a + c \quad (\text{aphelium}),

en hun som $\frac23 + 2 = \frac83 = 2a$ vindt de lange as terug. De poolvorm is de natuurlijke telkens wanneer een brandpunt fysisch is onderscheiden; de gereduceerde cartesische vorm telkens wanneer de symmetrieassen dat zijn. Tussen beide omzetten is precies wat de berekening met het afgesplitste kwadraat in de stelling doet.

De excentriciteit als draaiknop, ten slotte: houd $p = 1$ vast en draai aan $e$ in $r = \frac{1}{1 + e\cos\theta}$ . Bij $e = 0$ : de cirkel $r = 1$ . Bij $e = \frac12$ : de zojuist bestudeerde ellips, met $r$ schommelend tussen $\frac23$ en $2$ . Bij $e = 1$ : $r(\theta) \to \infty$ als $\theta \to \pi$ — de kromme sluit zich niet meer: een parabool, met haar verste punt tot in het oneindige geduwd. Bij $e = 2$ : de noemer wordt nul bij $\cos\theta = -\frac12$ , en alleen $\theta \in \intoo{-\frac{2\pi}3}{\frac{2\pi}3}$ overleeft: één tak van een hyperbool, die langs twee asymptotische richtingen ontsnapt. Eén formule, de hele familie van de kegelsneden, en het overgangspunt $e = 1$ zichtbaar als het moment waarop de noemer voor het eerst nul bereikt.

Lees in het hoofdstuk →