ما معنى التعريف بالبؤرة والدليل؟

مثال 24.12 (التعريف، متحققًا منه على قطع مكافئ)

خذ القطع المكافئ $y^2 = 4x$، أي $2p = 4$: فالبؤرة $F = (1, 0)$ والدليل $D : x = -1$ (وتضعهما الصورة المختزلة المبرهنة 24.13 عند $\pm\frac p2$). وعند النقطة $M = (1, 2)$ من المنحني:

فهما متساويان، كما يقتضي $e = 1$. وعند $M' = (4, 4)$: $MF' = \sqrt{9 + 16} = 5$ و $d(M', D) = 5$ مرة أخرى. فالتعريف بالبؤرة والدليل ليس تجريدًا: بل هو زوج مسافات يمكن قياسه على أيّ نقطة، وجبر المعادلات المختزلة ليس إلا هذا القياس مصنوعًا مرة واحدة و إلى الأبد.

مثال 24.15 (قراءة مدار من معادلته القطبية)

المقطع المخروطي القطبي $r = \dfrac{1}{1 + \frac12\cos\theta}$ (التمرين 24.7 مع $p = 1$ و $e = \frac12$) قطعٌ ناقص ببؤرة عند المبدأ — أي هندسة مدار كوكبي والشمس عند $O$. واستخرج كل شيء من $p$ و $e$: فمن اختزال المبرهنة 24.13، $a = \dfrac{p}{1 - e^2} = \dfrac{1}{3/4} = \dfrac43$ و $c = ea = \dfrac23$. ويتحقق الحضيضان منه دون أيّ نظرية أصلًا:

ومجموعهما $\frac23 + 2 = \frac83 = 2a$ يستعيد المحور الأكبر. والصورة القطبية هي الطبيعية كلما تميّزت بؤرة فيزيائيًا؛ والصورة الديكارتية المختزلة كلما تميّزت محاور التناظر. والتحويل بينهما هو بالضبط ما يفعله حساب إتمام المربع في المبرهنة.

والانحراف المركزي مؤشرًا، أخيرًا: أبقِ $p = 1$ وأدر $e$ في $r = \frac{1}{1 + e\cos\theta}$. فعند $e = 0$: الدائرة $r = 1$. وعند $e = \frac12$: القطع الناقص المدروس للتوّ، و $r$ يتذبذب بين $\frac23$ و $2$. وعند $e = 1$: $r(\theta) \to \infty$ عندما $\theta \to \pi$ — فلا ينغلق المنحني بعد: أي قطع مكافئ، أُبعدت نقطته الأبعد إلى اللانهاية. وعند $e = 2$: ينعدم المقام عند $\cos\theta = -\frac12$، ولا ينجو إلا $\theta \in \intoo{-\frac{2\pi}3}{\frac{2\pi}3}$: أي فرع واحد من قطع زائد، يفلت على امتداد اتجاهين مقاربين. أي صيغة واحدة، وعائلة المقاطع المخروطية كلها، ونقطتا الانتقال $e = 1$ مرئيتان لحظةَ يبلغ المقام الصفرَ أول مرة.