¿Qué es Definición por foco y directriz? — Matemáticas

Definición 24.11 Matemáticas universitarias — Grado 1 · Capítulo 24 — Curvas planas

Fíjense un punto $F$ (el foco), una recta $D$ que no pase por $F$ (la directriz) y $e > 0$ (la excentricidad). La cónica de esos datos es

\mathcal{C} = \{M : d(M, F) = e\; d(M, D)\}:

una elipse para $e < 1$ , una parábola para $e = 1$ y una hipérbola para $e > 1$ . (El círculo aparece como el límite degenerado $e \to 0$ .)

Ejemplos

Ejemplo 24.12 (La definición, comprobada en una parábola)

Tómese la parábola $y^2 = 4x$ , es decir, $2p = 4$ : foco $F = (1, 0)$ y directriz $D : x = -1$ (la forma reducida del Teorema 24.13 los coloca en $\pm\frac p2$ ). En el punto $M = (1, 2)$ de la curva:

MF = \sqrt{(1-1)^2 + 2^2} = 2, \qquad d(M, D) = 1 - (-1) = 2 :

iguales, como exige $e = 1$ . En $M' = (4, 4)$ : $MF' = \sqrt{9 + 16} = 5$ y $d(M', D) = 5$ otra vez. La definición por foco y directriz no es una abstracción: es una pareja de distancias que se puede medir en cualquier punto, y el álgebra de las ecuaciones reducidas no es más que esa medición hecha de una vez por todas.

Ejemplo 24.15 (Leer una órbita en su ecuación polar)

La cónica polar $r = \dfrac{1}{1 + \frac12\cos\theta}$ (Ejercicio 24.7 con $p = 1$ , $e = \frac12$ ) es una elipse con un foco en el origen — la geometría de una órbita planetaria con el sol en $O$ . Extráigase todo de $p$ y de $e$ : por la reducción del Teorema 24.13, $a = \dfrac{p}{1 - e^2} = \dfrac{1}{3/4} = \dfrac43$ y $c = ea = \dfrac23$ . Y los dos ápsides lo comprueban sin ninguna teoría:

r(0) = \frac{1}{3/2} = \frac23 = a - c \quad (\text{perihelio}), \qquad r(\pi) = \frac{1}{1/2} = 2 = a + c \quad (\text{afelio}),

y su suma $\frac23 + 2 = \frac83 = 2a$ recupera el eje mayor. La forma polar es la natural siempre que un foco esté físicamente distinguido; y la forma cartesiana reducida, siempre que lo estén los ejes de simetría. Convertir una en otra es exactamente lo que hace el cálculo de completar cuadrados del teorema.

La excentricidad como un dial, por último: manténgase $p = 1$ y gírese $e$ en $r = \frac{1}{1 + e\cos\theta}$ . En $e = 0$ : el círculo $r = 1$ . En $e = \frac12$ : la elipse recién estudiada, con $r$ oscilando entre $\frac23$ y $2$ . En $e = 1$ : $r(\theta) \to \infty$ cuando $\theta \to \pi$ — la curva ya no se cierra: una parábola, con su punto más lejano empujado al infinito. Y en $e = 2$ : el denominador se anula en $\cos\theta = -\frac12$ , y solo sobrevive $\theta \in \intoo{-\frac{2\pi}3}{\frac{2\pi}3}$ : una rama de hipérbola, que se escapa por dos direcciones asintóticas. Una fórmula, toda la familia de las cónicas y el punto de transición $e = 1$ visible como el momento en que el denominador alcanza el cero por primera vez.

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