O que é Definição por foco e diretriz? — Matemática

Definição 24.11 Matemática universitária — Graduação 1 · Capítulo 24 — Curvas Planas

Fixe um ponto $F$ (foco), uma reta $D$ que não passa por $F$ (diretriz) e $e > 0$ (excentricidade). A cônica destes dados é

\mathcal{C} = \{M : d(M, F) = e\; d(M, D)\}:

uma elipse para $e < 1$ , uma parábola para $e = 1$ , uma hipérbole para $e > 1$ . (O círculo aparece como o limite degenerado $e \to 0$ .)

Exemplos

Exemplo 24.12 (A definição, conferida numa parábola)

Tome a parábola $y^2 = 4x$ , isto é, $2p = 4$ : foco $F = (1, 0)$ e diretriz $D : x = -1$ (a forma reduzida do Teorema 24.13 os coloca em $\pm\frac p2$ ). No ponto $M = (1, 2)$ da curva:

MF = \sqrt{(1-1)^2 + 2^2} = 2, \qquad d(M, D) = 1 - (-1) = 2 :

iguais, como $e = 1$ exige. Em $M' = (4, 4)$ : $MF' = \sqrt{9 + 16} = 5$ e $d(M', D) = 5$ de novo. A definição por foco e diretriz não é uma abstração: é um par de distâncias que se pode medir em qualquer ponto, e a álgebra das equações reduzidas nada mais é do que essa medição feita uma vez por todas.

Exemplo 24.15 (Ler uma órbita a partir da sua equação polar)

A cônica polar $r = \dfrac{1}{1 + \frac12\cos\theta}$ (o Exercício 24.7 com $p = 1$ , $e = \frac12$ ) é uma elipse com um foco na origem — a geometria de uma órbita planetária com o sol em $O$ . Extraia tudo de $p$ e de $e$ : pela redução do Teorema 24.13, $a = \dfrac{p}{1 - e^2} = \dfrac{1}{3/4} = \dfrac43$ e $c = ea = \dfrac23$ . As duas ápsides conferem isso sem teoria alguma:

r(0) = \frac{1}{3/2} = \frac23 = a - c \quad (\text{periélio}), \qquad r(\pi) = \frac{1}{1/2} = 2 = a + c \quad (\text{afélio}),

e a sua soma $\frac23 + 2 = \frac83 = 2a$ recupera o eixo maior. A forma polar é a natural sempre que um foco é fisicamente distinguido; a forma cartesiana reduzida, sempre que o são os eixos de simetria. Converter entre as duas é exatamente o que faz o cálculo do quadrado completado do teorema.

A excentricidade como um botão, por fim: mantenha $p = 1$ e gire $e$ em $r = \frac{1}{1 + e\cos\theta}$ . Em $e = 0$ : o círculo $r = 1$ . Em $e = \frac12$ : a elipse que acabamos de estudar, com $r$ oscilando entre $\frac23$ e $2$ . Em $e = 1$ : $r(\theta) \to \infty$ quando $\theta \to \pi$ — a curva já não se fecha: uma parábola, com o seu ponto mais distante empurrado para o infinito. Em $e = 2$ : o denominador anula-se em $\cos\theta = -\frac12$ , e só $\theta \in \intoo{-\frac{2\pi}3}{\frac{2\pi}3}$ sobrevive: um ramo de hipérbole, escapando ao longo de duas direções assintóticas. Uma fórmula, a família das cônicas inteira, e o ponto de transição $e = 1$ visível como o instante em que o denominador atinge zero pela primeira vez.

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