Apa itu fungsi holomorfik?

Contoh 16.3

Polinomial dalam $z$, fungsi rasional di luar kutubnya, dan — menurut teorema penurunan suku demi suku Tahun ke-2 untuk deret pangkat, yang buktinya bekerja secara identik atas $\C$ — setiap jumlah deret pangkat $\sum a_n(z - a)^n$ di dalam cakram kekonvergenannya: semuanya holomorfik, dengan turunan $\sum na_n(z - a)^{n-1}$ (berjari-jari sama). Khususnya $\exp z = \sum z^n/n!$ bersifat utuh (yakni holomorfik pada $\C$) dengan $\exp' = \exp$. Sedangkan di sisi lain $z \mapsto \bar z$, $\abs z$, dan $\operatorname{Re}z$ tak holomorfik di mana pun (sebab Cauchy–Riemann gagal di mana-mana): jadi keholomorfikan adalah kekakuan yang mengawetkan arah dan sudut, bukan kemulusan.

Contoh 16.11 (Kesingularannya menentukan jari-jarinya)

Mengapa fungsi real yang tak berbahaya $\frac1{1 + x^2}$ mempunyai deret Taylor di $x = 3$ yang konvergen hanya untuk $\abs{x - 3} < \sqrt{10}$, padahal tak ada yang salah pada garis realnya? Sebab teorema di atas membuat jari-jari kekonvergenan di $a$ sama dengan jarak dari $a$ ke titik terdekat yang keholomorfikannya gagal. Di sini $f(z) = \frac1{1 + z^2}$ bersifat holomorfik tepat pada $\C\setminus\{\pm\iu\}$, sehingga uraiannya di $a = 3$ konvergen pada cakram terbesar yang menghindari $\pm\iu$, yakni berjari-jari $\abs{3 - \iu} = \sqrt{10}$ — dan ia tak dapat konvergen pada cakram yang lebih besar, sebab jumlahnya akan memperluas $f$ secara holomorfik ke sebuah persekitaran $\pm\iu$, tempat $\abs f \to \infty$. Jadi teori realnya melihat jari-jari misterius $\sqrt{10}$; sedangkan bidang kompleksnya melihat dua kutub. Inilah kaidah praktisnya: untuk mencari jari-jari kekonvergenan, temukanlah kesingularannya — misalnya deret Taylor $\tan$ di $0$ berjari-jari $\frac\pi2$ (yakni akar $\cos$ yang terdekat), dan fungsi pembangkit Bernoulli $\frac z{\eu^z - 1}$ (Soal 16.1, Bagian VI) berjari-jari $2\pi$ (yakni akar tak nol $\eu^z - 1$ yang terdekat: $\pm2\iu\pi$).