Apa itu topology? — Matematika

Definisi 25.1 Matematika Universitas — Tahun 1 · Bab 25 — Fungsi Dua Variabel

Pada $\R^2$ , pakailah norma Euklides $\norm{(x,y)} = \sqrt{x^2 + y^2}$ (Bab 23). Bola buka, persekitaran, dan himpunan bagian terbuka pada $\R^2$ didefinisikan persis seperti pada Bab 12, dengan bola menggantikan selang. Sebuah fungsi $f \colon U \to \R$ ( $U \subseteq \R^2$ terbuka) disebut kontinu di $a \in U$ ketika

\forall\varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0, \quad \norm{X - a} \leq \delta \implies \abs{f(X) - f(a)} \leq \varepsilon,

dengan pencirian barisan yang sama seperti pada satu variabel. Adapun jumlah, hasil kali, hasil bagi dan komposisi dengan fungsi satu variabel yang kontinu mengawetkan kekontinuan; sedangkan pemetaan koordinatnya kontinu, jadi demikian pula polinomial pada $(x,y)$ .

Contoh

Contoh 25.2 (Batas kutub, cara yang bersih untuk membuktikan sebuah limit)

Tunjukkan bahwa $f(x, y) = \dfrac{x^2y^2}{x^2 + y^2}$ (dengan $f(0,0) = 0$ ) kontinu di titik asalnya. Dalam koordinat kutub $x = \rho\cos\theta$ , $y = \rho\sin\theta$ :

\abs{f} = \frac{\rho^4\cos^2\theta\sin^2\theta}{\rho^2} = \rho^2\,(\cos\theta\sin\theta)^2 \leq \frac{\rho^2}{4} \xrightarrow[\rho \to 0]{} 0 ,

yaitu batas yang tak bergantung pada $\theta$ : sehingga apa pun arah pendekatannya, nilainya terperas ke $0$ . Keseragaman pada $\theta$ itulah inti seluruhnya — karena batas seperti $\abs g = \abs{\cos\theta\sin\theta}$ (tanpa $\rho$ yang tersisa) tak membuktikan apa pun, dan memang $g$ itulah perangkap radial pada contoh berikutnya.

Contoh 25.3 (Perangkap radialnya)

Misalkan $f(x, y) = \dfrac{xy}{x^2 + y^2}$ untuk $(x,y) \neq (0,0)$ , dengan $f(0, 0) = 0$ . Sepanjang setiap sumbunya, $f = 0 \to 0$ ; tetapi sepanjang diagonal $y = x$ , $f(x, x) = \frac12 \not\to 0$ . Jadi tak ada limit di titik asalnya: karena mendekat sepanjang setiap garis, dan bahkan menemukan limit yang sama sepanjang masing-masingnya, belumlah cukup (di sini limit garisnya tak sepakat; sedangkan contoh yang lebih buruk sepakat sepanjang semua garis namun gagal sepanjang sebuah parabola, Latihan 25.3). Kekontinuan pada setiap variabel secara terpisah tak mengakibatkan kekontinuan.

Baca dalam konteks →

Definisi 6.1 Matematika Universitas — Tahun 3 · Bab 6 — Topologi Umum

Sebuah topologi pada himpunan $X$ adalah keluarga $\mathcal T$ berisi himpunan bagian $X$ — yang disebut himpunan terbuka — sedemikian sehingga: $\varnothing, X \in \mathcal T$ ; gabungan sembarang himpunan terbuka bersifat terbuka; dan irisan berhingga himpunan terbuka bersifat terbuka. Pasangan $(X, \mathcal T)$ disebut ruang topologi. Komplemen himpunan terbuka disebut tertutup. Adapun persekitaran sebuah $x$ adalah himpunan yang memuat suatu himpunan terbuka yang memuat $x$ .

Contoh

Contoh 6.2

(a) Ruang metrik, dengan “terbuka” seperti pada Tahun ke-2 (yaitu gabungan bola terbuka): itulah topologi metrik; dan metrik yang berbeda dapat memberikan topologi yang sama (metrik ekuivalen). Ruang yang topologinya lahir dari suatu metrik disebut dapat dimetrikan. (b) Topologi diskret (semua himpunan bagiannya) dan topologi indiskret $\{\varnothing, X\}$ . (c) Topologi kofinit pada himpunan tak berhingga: terbuka $=$ kosong atau berkomplemen berhingga. Ia tak dapat dimetrikan, seperti akan kita lihat (Latihan 6.3). (d) Pada $\R$ , topologi biasanya; pada $\bar\R = \R \cup \{\pm\infty\}$ , topologi urutan yang dibangkitkan sinar — yang menjadikan “ $x_n \to +\infty$ ” sekadar contoh kekonvergenan biasa.

Baca dalam konteks →

Contoh

Contoh

Istilah terkait