O que é função holomorfa?

Exemplo 16.3

Os polinômios em $z$, as funções racionais fora de seus polos e — pelo teorema de derivação termo a termo para séries de potências do segundo ano, cuja demonstração funciona identicamente sobre $\C$ — toda soma de uma série de potências $\sum a_n(z - a)^n$ dentro de seu disco de convergência: holomorfos, com derivada $\sum na_n(z - a)^{n-1}$ (mesmo raio). Em particular, $\exp z = \sum z^n/n!$ é inteira (holomorfa em $\C$) com $\exp' = \exp$. Por outro lado, $z \mapsto \bar z$, $\abs z$ e $\operatorname{Re}z$ não são holomorfas em parte alguma (Cauchy–Riemann falha em todo ponto): a holomorfia é uma rigidez de preservação de ângulos e de orientação, não uma regularidade.

Exemplo 16.11 (As singularidades ditam os raios)

Por que a inocente função real $\frac1{1 + x^2}$ tem, em $x = 3$, uma série de Taylor que converge apenas para $\abs{x - 3} < \sqrt{10}$, se nada dá errado sobre a reta real? Porque o teorema acima faz o raio de convergência em $a$ ser igual à distância de $a$ ao ponto mais próximo em que a holomorfia falha. Aqui, $f(z) = \frac1{1 + z^2}$ é holomorfa exatamente em $\C\setminus\{\pm\iu\}$, de modo que a expansão em $a = 3$ converge no maior disco que evita $\pm\iu$, de raio $\abs{3 - \iu} = \sqrt{10}$ — e não pode convergir em um maior, pois a soma estenderia $f$ holomorficamente a uma vizinhança de $\pm\iu$, onde $\abs f \to \infty$. A teoria real vê o misterioso raio $\sqrt{10}$; o plano complexo vê dois polos. Eis a regra prática: para achar um raio de convergência, localize as singularidades — por exemplo, a série de Taylor de $\tan$ em $0$ tem raio $\frac\pi2$ (os zeros mais próximos de $\cos$), e a função geradora de Bernoulli $\frac z{\eu^z - 1}$ (Problema 16.1, Parte VI) tem raio $2\pi$ (os zeros não nulos mais próximos de $\eu^z - 1$: $\pm2\iu\pi$).