Wat is holomorfe functie?

Voorbeeld 16.3

Veeltermen in $z$, rationale functies buiten hun polen, en — volgens de stelling over term voor term differentiëren van machtreeksen uit het volume van bachelorjaar 2, waarvan het bewijs over $\C$ identiek werkt — elke som van een machtreeks $\sum a_n(z - a)^n$ binnen haar convergentieschijf: holomorf, met afgeleide $\sum na_n(z - a)^{n-1}$ (dezelfde straal). In het bijzonder is $\exp z = \sum z^n/n!$ geheel (holomorf op $\C$) met $\exp' = \exp$. Anderzijds zijn $z \mapsto \bar z$, $\abs z$ en $\operatorname{Re}z$ nergens holomorf (Cauchy–Riemann faalt overal): holomorfie is starheid die oriëntatie en hoeken behoudt, geen gladheid.

Voorbeeld 16.11 (Singulariteiten dicteren stralen)

Waarom heeft de onschuldige reële functie $\frac1{1 + x^2}$ in $x = 3$ een taylorreeks die enkel convergeert voor $\abs{x - 3} < \sqrt{10}$, terwijl er op de reële lijn niets misgaat? Omdat de bovenstaande stelling de convergentiestraal in $a$ gelijkmaakt aan de afstand van $a$ tot het dichtstbijzijnde punt waar de holomorfie faalt. Hier is $f(z) = \frac1{1 + z^2}$ precies holomorf op $\C\setminus\{\pm\iu\}$, dus convergeert de ontwikkeling in $a = 3$ op de grootste schijf die $\pm\iu$ mijdt, met straal $\abs{3 - \iu} = \sqrt{10}$ — en ze kan niet op een grotere convergeren, want de som zou $f$ dan holomorf uitbreiden tot een omgeving van $\pm\iu$, waar $\abs f \to \infty$. De reële theorie ziet de raadselachtige straal $\sqrt{10}$; het complexe vlak ziet twee polen. Dat is de praktische regel: om een convergentiestraal te vinden, lokaliseer de singulariteiten — zo heeft de taylorreeks van $\tan$ in $0$ straal $\frac\pi2$ (de dichtstbijzijnde nulpunten van $\cos$), en de genererende functie van Bernoulli $\frac z{\eu^z - 1}$ (Probleem 16.1, Deel VI) straal $2\pi$ (de dichtstbijzijnde nulpunten $\neq 0$ van $\eu^z - 1$: $\pm2\iu\pi$).