Qu'est-ce que « fonction holomorphe » ?

Exemple 16.3

Les polynômes en $z$, les fractions rationnelles hors de leurs pôles, et — par le théorème de dérivation terme à terme des séries entières de deuxième année, dont la preuve fonctionne identiquement sur $\C$ — toute somme d’une série entière $\sum a_n(z - a)^n$ à l’intérieur de son disque de convergence : holomorphes, de dérivée $\sum na_n(z - a)^{n-1}$ (même rayon). En particulier $\exp z = \sum z^n/n!$ est entière (holomorphe sur $\C$) avec $\exp' = \exp$. En revanche $z \mapsto \bar z$, $\abs z$, $\operatorname{Re}z$ ne sont nulle part holomorphes (Cauchy–Riemann échoue partout) : l’holomorphie est une rigidité qui préserve orientation et angles, non une simple régularité.

Exemple 16.11 (Les singularités dictent les rayons)

Pourquoi l’innocente fonction réelle $\frac1{1 + x^2}$ a-t-elle une série de Taylor en $x = 3$ ne convergeant que pour $\abs{x - 3} < \sqrt{10}$, alors que rien ne se passe de mal sur la droite réelle ? Parce que le théorème ci-dessus rend le rayon de convergence en $a$ égal à la distance de $a$ au point le plus proche où l’holomorphie échoue. Ici $f(z) = \frac1{1 + z^2}$ est holomorphe exactement sur $\C\setminus\{\pm\iu\}$, donc le développement en $a = 3$ converge sur le plus grand disque évitant $\pm\iu$, de rayon $\abs{3 - \iu} = \sqrt{10}$ — et ne peut converger sur un plus grand, car la somme étendrait $f$ holomorphiquement à un voisinage de $\pm\iu$, où $\abs f \to \infty$. La théorie réelle voit le mystérieux rayon $\sqrt{10}$ ; le plan complexe voit deux pôles. Règle pratique : pour trouver un rayon de convergence, localiser les singularités — p. ex. la série de Taylor de $\tan$ en $0$ a pour rayon $\frac\pi2$ (zéros les plus proches de $\cos$), et la fonction génératrice de Bernoulli $\frac z{\eu^z - 1}$ (le Problème 16.1, partie VI) a pour rayon $2\pi$ (zéros non nuls les plus proches de $\eu^z - 1$ : $\pm2\iu\pi$).