¿Qué es función holomorfa?

Ejemplo 16.3

Los polinomios en $z$, las funciones racionales fuera de sus polos y — por el teorema de derivación término a término de las series de potencias de segundo año, cuya demostración funciona idénticamente sobre $\C$ — toda suma de una serie de potencias $\sum a_n(z - a)^n$ dentro de su disco de convergencia: holomorfa, con derivada $\sum na_n(z - a)^{n-1}$ (mismo radio). En particular, $\exp z = \sum z^n/n!$ es entera (holomorfa en $\C$) con $\exp' = \exp$. En cambio, $z \mapsto \bar z$, $\abs z$ y $\operatorname{Re}z$ no son holomorfas en ningún punto (Cauchy–Riemann falla en todas partes): la holomorfía es rigidez que conserva ángulos y orientación, no suavidad.

Ejemplo 16.11 (Las singularidades dictan los radios)

¿Por qué la inocente función real $\frac1{1 + x^2}$ tiene en $x = 3$ una serie de Taylor que converge solo para $\abs{x - 3} < \sqrt{10}$, si nada va mal sobre la recta real? Porque el teorema anterior iguala el radio de convergencia en $a$ a la distancia de $a$ al punto más próximo donde falla la holomorfía. Aquí $f(z) = \frac1{1 + z^2}$ es holomorfa exactamente en $\C\setminus\{\pm\iu\}$, de modo que el desarrollo en $a = 3$ converge en el mayor disco que evita $\pm\iu$, de radio $\abs{3 - \iu} = \sqrt{10}$ — y no puede converger en uno mayor, pues la suma extendería $f$ holomorfamente a un entorno de $\pm\iu$, donde $\abs f \to \infty$. La teoría real ve el misterioso radio $\sqrt{10}$; el plano complejo ve dos polos. Esta es la regla práctica: para hallar un radio de convergencia, localícense las singularidades — por ejemplo, la serie de Taylor de $\tan$ en $0$ tiene radio $\frac\pi2$ (ceros más próximos de $\cos$), y la función generatriz de Bernoulli $\frac z{\eu^z - 1}$ (el Problema 16.1, Parte VI) tiene radio $2\pi$ (ceros no nulos más próximos de $\eu^z - 1$: $\pm2\iu\pi$).